Funções de varias variáveis

Transcrição

1 F : R n R (1,,..., n ) w Funções de varias variáveis F( 1,,.., 3 ) Dom n ( F) S R S é um subconjunto de R n Eemplo 1: Seja F tal que F : R R (, ) w 1 Identiique o domínio e a imagem de F

2 Eemplos

3 Eemplos z 1

4 Eemplos Dominio : semi-plano superior a = Imagen : toda reta real.

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6 Observações importantes Disco aberto, disco echado Identiique o domínio e a imagem de F

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8 Gráico ={(,, z) ϵ R 3,z=(,)} (,,c) : curva de nível Gráico ={(,, z, w) ϵ R 4, w=(,,z)} (,,z,c) : superície de nível

9 Curvas de nível: c=(,); c=cte. Gráico: z=(,)

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12 w 1 Curvas de nível Gráico

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14 : R 3 R w= (,,z) = z- -, gráica: 4D não da para ver Superície de nível: c=z- -

15 Limite e continuidade

16 Limite e continuidade

17 Limite e continuidade Eemplo: Calcule o limite de (,) quando (,) (0,0) (, )

18 Limite e continuidade

19 seja Eemplo: (, ) Analisar continuidade no ponto (1,1) a) (1,1)=-1 eiste 1 b) (, ) 1 eiste lim 1,1) ( 11 c) os dois são iguais. Logo, (,) é contínua no ponto (1,1).

20 Derivada parcial

21 Derivada parcial em relação a Desde que o limite eista. h h h ), ( ), ( lim ), ( 0 0 Derivada parcial em relação a h h h ), ( ), ( lim ), ( 0 0 Desde que o limite eista

22 Derivada parcial : interpretação geométrica

23 Derivada parcial : interpretação geométrica: (,) g( ) (, 0) Coe. angular da reta tangente as curvas vermelhas h( ) ( 0, )

24 ln( 1) g ( 1) h ( 1)

25 Derivada parcial como taa de variação. A derivada parcial (, 0 0) é a taa de variação de ao longo da reta que passa pelo ponto (0, 0) e na direção e1 = (1, 0), A derivada parcial ( 0, 0) é a taa de variação de ao longo da reta que passa pelo ponto (0, 0) e na direção e = (0, 1), Isto é, as derivadas parciais medem a velocidade da variação parcial da unção em relação a cada variável, quando as outras estão iadas.

26 Notação: Derivada parcial de segunda ordem. ; ; ; ; ) ( ); ( notação

27 Teorema das derivas mistas. Se (,) e suas derivadas parciais,, orem deinidas em uma região contendo o ponto (a,b) e todas orem contínuas em (a,b) então ), ( ), ( b a b a

28 Dierenciabilidade de uma unção z=(,). A unção z=(,) é dierenciável em ( 0, 0 ) se, sejam deinidas em uma região que contenha o ponto ( 0, 0 ) e que z ( 0, 0 ) ( 0, 0) satisaz z ( 0, 0) ( 0, 0) 1 Na qual, 0 quando 0, 0 1 0

29 Continuidade de derivadas parciais implica Dierenciabilidade. Dada a unção z=(,) se, são contínuas ao longo de uma região do seu domínio então é dierenciável. Dierenciabilidade implica continuidade

30 Regra da cadeia:unções de variáveis independes Dada a unção w=(,), e se, são contínuas e se =g(t), =h(t) orem unções dierenciáveis de t então a unção composta w(t)=(g(t),h(t)) será uma unção dierençável de t, logo d dt. d dt. d dt, d dt é chamada de derivada total Eemplo : Seja (,)= ; e seja = cos(t), = t, determine d dt

31 d dt Esta derivada total indica como esta variando a unção ao longo da curva r(t) = (cos(t),t, cos(t) t) que descansa na superície z=(,)

32 Taa de variação da unção z=(,) ao longo da curva r(t) = (cos(t), t, cos(t) t)

33 Regra da cadeia Regra da cadeia:unções de variáveis independes Dada a unção w=(,,z), e se,, z são contínuas e se =g(t,s), =h(t,s),z=k(t,s) orem unções dierenciáveis de t e s então a unção composta w(t,s) = (g(t,s),h(t,s),k(t,s)) será uma unção dierençável de t, logo d dt. d dt. d dt z. t, d ds. d ds. d ds z. dz ds, d dt, d ds São chamadas de derivadas totais.

34 Eercícios 1.- identiique o domínio e a imagem da unção w = w(,) deinida assim w 1.-Desenhe a superície deinida pela equação z encontre as curvas de nível da equação z= Calcule lim (, ) (0,0) (, ) a), ) b) se ( (, )

35 Eercícios 5.- A unção z=(,) esta deinida como quando para (,) (0,0), e seria 0 para (,)=(0,0). Mostre se ela não é continua no ponto (,)=(0,0). 6.- utilize o teste dos caminhos para mostrar que não eiste, lim (, ) (0,0) (, ) Dado (,)= +, determine,,, 8.- Sendo (,,z)=+ + cos(z+), determine,, z,, zz, (, ) 9.- Seja determine e 10.- Mostrar a dierenciabilidade de (,) = +4, em qualquer ponto do se domínio. z (, ) 3 4

36 Eercícios 11) Uma caia em orma de paralelepípedo de lados e z estão variando de volume, de tal orma que num instante dado esses 3 lados medem 0 =1m, 0 =m, z 0 =3m respectivamente. No mesmo instante a taa de variação dos lados, e z em relação ao tempo é respectivamente 1m/s, 1m/s e -3m/s. Determine a taa de variação do volume e da superície total da caia em relação ao tempo no mesmo instante. 1) Seja uma unção duas vezes dierençável em R; seja u(, t) = a (+c t) + b (-c t) sendo a, b, c constantes reais e c 0. Mostre que Equação de onda u 1 c t u 0