Interpretação Geométrica

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1 .. Método da Iteração Linear MIL Seja uma unção contínua em [a, com α [ a, tal que α. O Método de Iterações Lineares consiste em: a transormar a equação numa unção de iteração ϕ ; b adotar um valor inicial o ; c gerar uma sequência { } unção de aproimações para α pela relação ϕ, pois a ϕ é tal que α se e somente se α ϕα. Eemplo: A unção de iteração em geral não é única. Para o eemplo tem-se como possíveis unções de iterações: a ϕ ; b ϕ ± ; c ϕ ; d ϕ. Interpretação Geométrica Seja a unção de iteração ϕ. Fazendo ϕ e ϕ ϕ. 8 i i o

2 i - i Observe que nos dois eemplos dos gráicos anteriores o processo iterativo converge para a raiz. i i Observe neste caso que o processo diverge.

3 Para uma unção pode eistir mais de uma unção de iteração ϕ, contudo não é para qualquer ϕ que o processo ϕ gera uma sequência convergente para a raiz α. Seja o eemplo: Esta unção tem como raízes os valores e. Seja a unção de iteração ϕ. Adotando como valor inicial o, 5 e o processo iterativo ϕ, tem-se:,75 8,5 59,9 75,9 Pode-se observar que, para esta unção de iteração, o processo é divergente. Pode-se chegar a mesma conclusão a partir da análise gráica. 5 o Como pode ser observado na igura, o processo é divergente. Tomando agora como unção de iteração: ϕ com, 5, tem-se: o,,99,7,9989 5,8

4 5 i i - o Para a nova unção de iteração, o processo é convergente. Estudo da Convergência Teorema Seja ϕ uma unção de iteração para e α uma raiz de isolada no intervalo [a, e centrada em α. Se: ϕ e ϕ são contínuas em [a,; ϕ M [ a, ; o [ a, Então a sequência {, } para a raiz α. o,,..., gerado pela unção de iteração ϕ converge Eemplos Caso: Seja a unção de iteração ϕ do eemplo anterior. O método de Iteração Linear converge para a raiz α? De acordo com o Teorema, deve-se encontrar um intervalo [a,, centrado em α, que satisaça as condições e do teorema. a ϕ e ϕ são contínuas no conjunto dos números R eais.

5 b ϕ < < < <. Não eiste um intervalo [a, centrado em, tal que ϕ [ a,, portanto ϕ não satisaz a condição do teorema. < Caso: Seja a unção de iteração ϕ do eemplo anterior. O método de Iteração Linear converge para a raiz α? Novamente, de acordo com o Teorema, deve-se encontrar um intervalo [a,, centrado em α, que satisaça as condições e do teorema. c ϕ e ϕ são contínuas em S { R tal que < }. d ϕ < < 5,75 < < 5, 75. É possível obter-se um intervalo [a, centrado em, tal que ϕ < [ a,, portanto ϕ satisaz a condição do teorema e o processo é convergente. Caso: Seja a unção de iteração ϕ do eemplo anterior. O método de Iteração Linear converge para a raiz α? Novamente, de acordo com o Teorema, deve-se encontrar um intervalo [a,, centrado em α, que satisação as condições e do teorema. e ϕ e ϕ são contínuas emr, para. ϕ < < > < e >. Não é possível obterse um intervalo [a, centrado em, tal que ϕ < [ a,, portanto ϕ não satisaz a condição do teorema e o processo não converge. Entretanto, pode-se veriicar que o processo converge para a raiz α. É possível encontrar-se um intervalo centrado em que satisaça todas as condições do teorema. Os critérios de parada para o Método de Iteração Linear pode ser o mesmo utilizado no Método da Bissecção... Método de Newton-Raphson NR Descrição:

6 5 Seja uma unção contínua no intervalo [a, e α o único zero da unção no intervalo. A primeira derivada e a segunda derivada também são contínuas em [a,. a Escolhe-se uma solução o para α zero da unção. b Epande-se a unção através da Série de Taylor em torno de....!! Considerando apenas os termos lineares:! Esta equação representa a equação da reta tangente a unção no ponto. Igualando essa equação a zero, encontra-se o ponto onde essa reta corta o eio das abscissas. Esse ponto é uma nova estimativa para o zero da unção, ou seja:! c Como, chega-se a epressão: c O processo é repetido até a convergência.

7 Interpretação Geométrica 8 teta o A partir do triângulo retângulo ormado pelos pontos, o e o, tem-se a seguinte relação: o tg θ tg θ o Entretanto, a partir da deinição de derivada no ponto o, tem-se que o, o que resulta na epressão do Método Newton-Raphson. processo. o o o Esta interpretação geométrica pode ser estendida para as outras iterações do