Método de Newton-Raphson

Transcrição

1 Método de Newton-Raphson Método de Newton-Raphson Joinville, 29 de Abril de 2013

2 Escopo dos Tópicos Abordados Solução de equações via métodos iterativos Método de Newton-Raphson 2

3 Operação de Sistemas Elétricos de Potência A operação de Sistemas Elétricos de Potência (SEP) balanceados (equilibrados) sob regime permanente necessita dos seguintes requisitos: Geração igual à carga somadas às perdas; Tensões das barras próximas aos valores de referência especificados; Geradores, linhas de transmissão, transformadores, dentre outros equipamentos, operando dentro de seus limites; 3

4 Operação de Sistemas Elétricos de Potência A ferramenta básica para investigar tias requisitos são programas de fluxo de potência ou fluxo de carga. Tais programas calculam os fasores de tensão (módulo e ângulo) em cada barra sob condições de regime permanente trifásico equilibrado Fluxo desequilibrado e trifásico terá uma breve abordagem; Também calculam: A potência ativa e reativa em todos os equipamentos que interligam as barras; As perdas nestes equipamentos; 4

5 Operação de Sistemas Elétricos de Potência São objetos de estudo via fluxo de potência: Tanto o SEP existente, como as alterações propostas, incluindo adição de novas fontes de energia e linhas de transmissão, utilizadas para atender o aumento da demanda 5

6 Resolução das Equações Nodais Foram vistos métodos de resolução de equações (lineares) nodais via: Inversão da matriz Ybus; Eliminação de Gauss; Fatoração LU; Obs: A solução de um sistema matricial de ordem 10000, com operações com duração de 1ns, pode levar 1000s utilizando o método de Gauss. Também os métodos convencionais de análise nodal e de malhas, solucionados via métodos supramencionados, não são convenientes para realização de estudos de fluxo de potência. 6

7 Resolução das Equações do Fluxo de Potência Análise nodal e de malhas não são convenientes para estudos de fluxo de potência, pois: Dados de cargas são normalmente representados em termos de impedância e não em termos de potência; Geradores são considerados como fontes de tensão ou de corrente e não como fontes de potência; Para atender aos requisitos mencionados, os estudos de fluxo de potência são formulados por conjuntos de equações algébricas não-lineares, convenientemente resolvidas computacionalmente via métodos numéricos iterativos. 7

8 Algébricas Os métodos de resolução de equações (lineares) via: Inversão da matriz Ybus; Eliminação de Gauss; Fatoração LU; São considerados métodos diretos. Métodos iterativos comumente utilizados para solucionar equações algébricas são: Médoto de Jacobi e de Gauss-Seidel; Método de Newton-Raphson 8

9 Algébricas Métodos iterativos de Jacobi e o de Gauss-Seidel Convergência bastante lenta; Em alguns casos, mesmo havendo solução, o processo iterativo não converge (principalmente se os elementos da diagonal principal da matriz não forem dominantes) Método de Gauss-Seidel Exemplo de um processo convergente e de um divergente: Processo convergente: Processo divergente: 9

10 Resolução via método iterativo de Newton-Raphson: É o mais utilizado para a solução de sistemas de equações algébricas não-lineares; Consiste em aplicar a série de Taylor, truncada no primeiro termo no sistema de equações a ser resolvido e, por aproximações sucessivas, dado um valor arbitrário inicial, encontrar a solução do problema. 10

11 Exemplo do método de Newton-Raphson: Dado a equação algébrica: Aplique a série de Taylor, e elimine os termos de ordem superior infinitésimos de ordem superior (trunque a série): Assuma: Com: 11

12 Exemplo do método de Newton-Raphson: Assuma: Dado X0, a primeira aproximação é dada por: Realizando sucessivas aproximações: 12

13 Exemplo do método de Newton-Raphson: Quando: O processo é interrompido e há convergência para uma das raízes do processo. 13

14 Exemplo do método de Newton-Raphson: Resolva: Dado X0 =6, encontre a raíz mais próxima de X0: Passo 1: Graficamente: 14

15 Exemplo do método de Newton-Raphson: Dado X0 =6, graficamente, tem-se a solução: 15

16 Algoritmo no Matlab: 16

17 Resposta no Matlab gerada pela saída do algoritmo apresentado: Critério de parada 17

18 O método de Newton-Raphson pode ser extendido para um sistema de várias equações não lineares: Especifique os valores iniciais de E os valores de correções 18

19 As correções satisfazem as seguintes equações: Expanda em série de Taylor, desprezando os termos de ordem superior: 19

20 Reescreva em forma matricial: Sendo J a matriz Jacobiana do sistema na iteração t: 20

21 As sucessivas aproximações dadas por: E o critério de parada dado na iteração t por: Ou via número máximo de iterações: n<100, por exemplo 21

22 Resolva agora no Matlab: 22

23 Resolva agora no Matlab: 23

24 Resposta via Matlab: 24