Prof. MSc. David Roza José 1/35

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2 Métodos Iterativos Objetivos: Compreender a diferença entre os métodos de Gauss-Seidel e Jacobi; Saber analisar a dominância diagonal e entender o quê significa; Reconhecer como a relaxação pode ser utilizada para melhorar a convergência de métodos iterativos; Compreender como resolver sistemas de equações não lineares com substituições sucessivas e Newton-Raphson. 2/35

3 Visão Geral Os métodos iterativos, ou aproximados, fornecem uma alternativa aos métodos de eliminação vistos anteriormente. Tais algoritmos são similares às técnicas de localização de raízes: estimar um valor e usar um método sistemático para obter uma estimativa refinada da raiz. Veremos métodos que servirão tanto para sistemas lineares como para sistemas nãolineares. 3/35

4 Gauss-Seidel O método de Gauss-Seidel é o método iterativo mais comumente utilizado para resolução de sistemas lineares. Suponha o seguinte sistema: Podemos resolver a primeira equação para x1, a segunda para x2 e a terceira para x3, obtendo: 4/35

5 Gauss-Seidel Tal que j e j-1 são as iterações atual e anterior. Para se iniciar o processo de solução, uma estimativa inicial deve ser feita para todos os x s. Um método simples é supor que todos sejam zero. Assim, os valores vão sendo recalculados na sequência até que a convergência seja atingida. A convergência pode ser conferida através do seguinte critério: 5/35

6 Exemplo: Gauss-Seidel Utilizar o método de Gauss-Seidel para obter a solução para: Sabendo-se que a solução exata é x1=3, x2=-2.5 e x3=7. O primeiro passo é resolver cada uma das equações para a variável da diagonal: 6/35

7 Exemplo: Gauss-Seidel Supondo que x2 e x3 sejam zero, calculamos o primeiro valor para x1: Este valor, juntamente com x3=0 será utilizado para calcular x2: E a primeira iteração é encerrada ao utilizarmos os valores calculados de x 1 e x2 para calcular o valor de x3: 7/35

8 Exemplo: Gauss-Seidel Para a segunda iteração, o procedimento é repetido: Podemos observar que o método está convergindo na solução. Mais iterações seriam necessárias para se melhorar a resposta. Entretanto normalmente não conheceríamos as soluções a priori. Deveríamos então utilizar o erro absoluto, baseado na diferença porcentual de valores entre iterações como critério de parada e convergência. 8/35

9 Gauss-Seidel Note que todo novo valor calculado é imediatamente utilizado no cálculo da determinação de um outro valor de x. Assim, se a solução está convergindo, garante-se que a melhor estimativa da variável está sempre sendo utilizada. Uma proposta alternativa, chamada de Iteração de Jacobi, utiliza uma tática diferente. Ao invés de utilizar os valores mais recentes de x, essa técnica utiliza os valores antigos dentro da mesma iteração. 9/35

10 Gauss-Seidel vs Jacobi 10/35

11 Convergência e Dominância Diagonal Note que existe uma similaridade entre o método de Gauss-Seidel e a Iteração de PontoFixo utilizado para encontrar raízes de equações. Por vezes, a Iteração de Ponto-Fixo era divergente; enquanto as iterações prosseguiam, a estimativa afastava-se da resposta correta. Apesar do método de Gauss-Seidel também poder divergir, sua convergência pode ser prevista de forma muito mais garantida que a Iteração de Ponto-Fixo para equações não-lineares. Se a seguinte condição for respeitada, o método de Gauss-Seidel convergirá: 11/35

12 Convergência e Dominância Diagonal Ou seja, o valor absoluto do coeficiente do elemento diagonal de cada equação deve ser maior que a soma dos valores absolutos dos outros coeficientes daquela equação. Tais sistemas são chamados de diagonalmente dominantes. Este critério é suficiente, porém não é necessário, para garantir a convergência. Ou seja, um problema pode não satisfazer a condição e mesmo assim convergir; porém um problema que satisfazer a condição obrigatoriamente convergirá. 12/35

13 MATLAB Antes de apresentar o algoritmo, reescrevemos Gauss-Seidel numa maneira que seja compatível com a álgebra matricial do MATLAB. 13/35

14 MATLAB Perceba que a solução pode ser expressada concisamente de forma matricial: Verificar o arquivo GaussSeidel.m 14/35

15 Relaxação A relaxação representa uma pequena modificação do método de Gauss-Seidel com o intuito de melhorar a convergência. Após cada valor de x ser calculado, este valor é modificado por uma média ponderada dos resultados da iteração anterior e atual: Caso lambda seja 1, o resultado fica sem modificação alguma. Porém caso o valor esteja entre 0 e 1, o resultado é uma média ponderada dos valores atual e anterior. Este tipo de modificação chama-se de sub-relaxação. É utilizado para fazer sistemas nãoconvergentes convergirem, ou para acelerar a convergência ao amortecer as oscilações. Caso o valor esteja entre 1 e 2, peso extra é colocado no valor atual. Aqui, existe uma anuência implícita de que o novo valor está indo na direção correta, convergindo para a solução verdadeira de maneira demorada. Assim, coloca-se peso extra na solução atual para acelerar este processo. Isto serve para acelerar a convergência de um processo já convergente, e chama-se de sobre-relaxação. 15/35

16 Exemplo: Relaxação Resolver o seguinte sistema através do método de Gauss-Seidel com sobre-relaxação de = 1.2 e um critério de parada de = 10%. O primeiro passo é rearranjar as equações para que o sistema torne-se diagonalmente dominante. O segundo passo é reescrever as equações isolando o termo diagonal: 16/35

17 Exemplo: Relaxação Utilizando x1 = x2 = 0 como estimativa inicial, efetuamos a primeira iteração: E procede-se à segunda iteração: 17/35

18 Exemplo: Relaxação Calculando-se o erro para as duas variáveis: Apesar do erro da primeira variável estar dentro da tolerância estabelecida, o erro da segunda variável não obedece ao critério de parada. Uma nova iteração faz-se necessária. 18/35

19 Exemplo: Relaxação A terceira iteração torna-se: E os erros são dados por: 19/35

20 Sistemas Não Lineares O sistema abaixo é um conjunto de duas equações não-lineares de duas incógnitas: A solução do sistema se dá pela intersecção das duas curvas 20/35

21 Substituição Sucessiva Um método simples é o mesmo adotado para a iteração de ponto-fixo e o método de Gauss-Seidel. Cada equação não-linear pode ser resolvida para uma das variáveis. Estas equações podem ser implementadas iterativamente para calcular os novos valores que podem ou não convergir para a solução. Este método é chamado de substituição sucessiva e será ilustrado a seguir. 21/35

22 Exemplo: Substituição Sucessiva O exemplo visto anteriormente Pode ser reescrito como: E as iterações podem ser iniciadas a partir das estimativas inicias de x1=1.5 e x2= /35

23 Exemplo: Substituição Sucessiva Obviamente, o método está divergindo. Agora reescreveremos as equações, mas num formato diferente. Assim: Procedendo às iterações a partir das estimativas inicias de x1=1.5 e x2= /35

24 Substituição Sucessiva O maior defeito da substituição sucessiva é que a convergência depende da maneira como as equações são formuladas. Mesmo quando as equações são formuladas da maneira adequada, o sistema pode divergir se as estimativas iniciais são insuficientemente próximas da solução verdadeira. Estes critérios são tão restritivos que a iteração de ponto fixo substituição sucessiva possui utilidade limitadíssima para resolver sistemas não-lineares. 24/35

25 Newton-Raphson Assim como a iteração de ponto-fixo pôde ser utilizada para resolver um sistema de equações não-lineares, outros métodos abertos de localização de raiz como o NewtonRaphson podem ser utilizados para o mesmo propósito. Para um sistema de duas equações e duas incógnitas, a expansão da série de Taylor torna-se: Assim como para somente uma equação, a estimativa da raiz é obtida quando os valores da função no instante seguinte são zero. Para esta situação, reorganiza-se o sistema: 25/35

26 Newton-Raphson Como todos os valores de índice i são conhecidos, as únicas incógnitas são x1,i+1 e x2,i+2. Por ser um sistema linear de duas equações e duas incógnitas, manipulação algébrica pode ser utilizada para resolver o sistema. 26/35

27 Exemplo Newton-Raphson Resolver o seguintes sistema a partir das estimativas inicias de x1=1.5 e x2=3.5. Como primeiro passo, avaliaremos as derivadas parciais. 27/35

28 Exemplo Newton-Raphson Com todos os ingredientes calculados, podemos proceder à primeira interação: E já pode ser observado que os valores estão convergindo para as raízes reais de x1=2 e x2=3. O cálculo é repetido até que uma precisão aceitável é obtida. 28/35

29 Newton-Raphson O método de NR para sistemas apresenta a mesma convergência quadrática para a obtenção de raízes. Entretanto, assim como a Substituição Sucessiva, o método pode divergir se as estimas iniciais não forem próximas o bastante das raízes verdadeiras. Normalmente pode-se obter boas estimativas inicias a partir de tentativa e erro do conhecimento do sistema físico. Note que a abordagem feita para um sistema de duas equações e duas incógnitas é pouco prático ao ser estendido para sistemas maiores. Porém, existe uma generalização que pode ser feita para sistemas maiores. 29/35

30 Newton-Raphson A expansão feita anteriormente Pode ser generalizada para n equações. O primeiro índice, k, representa a equação ou incógnita, enquanto o segundo índice denota se o valor ou a função em questão está no valor presente (i) ou no valor seguinte (i+1). Todas as quantidades localizadas no presente são conhecidas e estão do lado direito. 30/35

31 Newton-Raphson Podemos representar o sistema inteiro através da notação matricial: Tal que as derivadas parciais avaliadas no instante (i) são escritas como a Matriz Jacobiana, que as contém na totalidade: 31/35

32 Newton-Raphson E os vetores com os valores atuais das incógnitas e os valores da iteração seguinte são expressados da seguinte forma: E os valores da função em (i) completam o sistema. 32/35

33 Newton-Raphson Desejamos obter a solução do sistema matricial para {xi+1}. Isso pode ser feito ao se multiplicar ambos os lados pela inversa da matriz Jacobiana, resultando em: Verificar o arquivo newtmult.m 33/35

34 Newton-Raphson Entre os problemas que o método de NR apresenta está a dificuldade de se avaliar a matriz Jacobiana. Variações do método já foram utilizadas para evitar este problema, e a maioria envolve métodos de diferenças finitas para o cálculo das derivadas parciais que envolvem [J]. Outro contratempo é que boas estimativas iniciais são necessárias para se garantir a convergência. Assim, métodos alternativos que são mais lentos que o de Newton-Raphson foram desenvolvidos e são utilizados para se garantir um comportamento melhor em relação a convergência. 34/35

35 Informações Exercícios: /35