Sistemas de Equações Lineares

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1 Capítulo 3 Sistemas de Equações Lineares Um sistema com n equações lineares pode ser escrito na forma : ou na forma matricial onde com a 1,1 x 1 + a 1,2 x a x n = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,n x n = b 2 a n,1 x 1 + a n,2 x a x n = b n Ax = b a 1,1 a 1,2 a a 2,1 a 2,2 a 2,n A = a n,1 a n,2 a x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 e b = Nas expressões anteriores, A nxn é a matriz dos coeficientes, x nx1 é o vetor das incógnitas e b nx1 é o vetor de termos independentes Resolver um sistema linear é obter o valor do vetor x Os métodos de resolução de equações lineares são classificados em dois grupos : Métodos Diretos - permitem obter a solução de um sistema linear através da realização de um número finito de operações sobre o sistema, e Métodos Iterativos - permitem calcular uma seqüência de aproximações para os valores de x até que uma precisão pré-estabelecida seja alcançada Apresentaremos alguns métodos diretos e alguns métodos iterativos que podem ser utilizados na resolução de sistemas lineares 1 b n

2 Métodos Computacionais em Engenharia - PSMP/Versão 02/ Métodos Diretos Dentre os métodos diretos de resolução de sistemas lineares, destacam-se o método de resolução de sistemas triangulares, o método de Gauss e o método da decomposição LU Inicialmente, definimos uma matriz aumentada [A b], criada a partir da inserção do vetor b em uma nova coluna da matriz A, como : [A b] a 1,1 a 1,2 a a 2,1 a 2,2 a 2,n a n,1 a n,2 a b 1 b 2 b n Os métodos diretos baseiam-se em manipulações da matriz aumentada 311 Solução de Sistemas Triangulares Uma matriz A nxn é chamada de triangular superior quando a i,j = 0, i > j Se ocorrer a i,j = 0, i < j, a matriz A é chamada de triangular inferior Se A é triangular superior, o sistema linear Ab = x é chamado de sistema triangular superior Se A for triangular inferior, o sistema será chamado de sistema triangular inferior No que se segue, iremos analisar apenas os sistemas lineares triangulares superiores A extensão para os sistemas lineares triangulares inferiores é direta Vamos considerar, então, sistemas lineares da forma : a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 + a 1,3 x a 1 x n 1 + a x n = b 1 a 2,2 x 2 + a 2,3 x a 2,n 1 x n 1 + a 2,n x n = b 2 a 3,3 x a 3,n 1 x n 1 + a 3,n x n = b 3 a n 1 x n 1 + a n 1 x n = b n 1 a x n = b n Estes sistemas podem ser representados por uma matriz aumentada, [A b] a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 0 a 2,2 a 2,3 a 2,n 0 0 a 3,3 a 3,n a b 1 b 2 b 3 b n O sistema é, então,resolvido por substituição reversa utilizando as expressões :

3 Métodos Computacionais em Engenharia - PSMP/Versão 02/ x n = b n a x r = b r n j=r+1 a r,j x j a r,r r = n 1, n 2,, 1 A substituição reversa pode ser implementada através do algoritmo : b n x n = a (n) for r = n 1 até 1 do soma = 0 for j = r + 1 até n do soma = soma + a r,j x j b(r) soma x r = a r,r Vamos considerar o sistema triangular : Algorithm 1: Substituição Reversa cuja matriz aumentada é : 4x 1 x 2 + 2x 3 + 2x 4 x 5 = 4 2x 2 + 6x 3 + 2x 4 + 7x 5 = 0 x 3 x 4 2x 5 = 3 2x 4 x 5 = 10 3x 5 = 6 [A b] = Vamos resolver este sistema utilizando o Scilab A matriz aumentada, neste caso, é armazenada em um arquivo ASCII puro, que chamaremos de arquivo1, pmotta:~/funcoes/aula3 > cat arquivo

4 Métodos Computacionais em Engenharia - PSMP/Versão 02/ Este arquivo é lido pelo Scilab através do comando : Ab = read( arquivo1, 5, 6) Ab =! !! !! !! !! ! onde Ab está representando a matriz aumentada A matriz dos coeficientes, A, e o vetor dos termos independentes, b, podem ser obtidos da matriz Ab através da seqüência de comandos : // Numero de linhas, nl, numero de colunas, nc, de Ab [nl nc] = size(ab) nc = 6 nl = 5 // Matriz dos coeficientes e vetor dos termos independentes A = Ab(:,1:nc-1) A =! !! !! !! !! ! b = Ab(:,nc) b =! 4!

5 Métodos Computacionais em Engenharia - PSMP/Versão 02/2000 5! 0!! 3!! 10!! 6! O programa abaixo implementa o algoritmo da substituição reversa, Algoritmo 1 : function X = subst(tsup) // Entrada : matriz triangular superior, Tsup // Saida : Vetor solucao X [nl, nc] = size(tsup); n = nc-1; A = Tsup(:,1:n); // Matriz A b = Tsup(:,nc) // Vetor b X = zeros(n,1); X(n) = b(n)/a(); for r = n-1:-1:1, soma = 0, for j = r+1:n, soma = soma + A(r,j) * X(j); end, X(r) = (b(r) - soma)/a(r,r); end Usando a matriz triangular superior Ab como entrada para este programa, obtemos como vetor solução, subst(ab) ans =! 5!! 4!! 1!! - 6!! 2! 312 Método de Gauss O método de Gauss é, também, conhecido como método da eliminação gaussiana O processo começa com a construção da matriz aumentada [A b],

6 Métodos Computacionais em Engenharia - PSMP/Versão 02/ [A b] = 1,1 1,2 2,1 2,2 2,n n,1 n,2 b 2 b 1 b n = 1,1 1,2 2,1 2,2 2,n n,1 n,2 +1 2,n+1 +1 A notação r,c indica que é a primeira vez que o elemento a r,c foi armazenado na posição (r, c) da matriz O método da eliminação gaussiana consiste na aplicação de uma seqüência de operações elementares sobre as linhas da matriz aumentada com o objetivo de transformá-la em um sistema triangular superior Estas operações são : 1 Trocar a posição de duas linhas, 2 Multiplicar uma linha por uma constante diferente de zero, e 3 Adicionar um múltiplo de uma linha a outra linha Para transformar a matriz aumentada em um sistema triangular superior, é necessária a eliminação dos coeficientes de x 1 na segunda linha da matriz aumentada, dos coeficientes de x 1 e x 2 na terceira linha da matriz aumentada e assim sucessivamente até que, na última linha da matriz aumentada, sejam eliminados os coeficientes de x 1, x2,, x n 1 Esta eliminação de coeficientes é realizada utilizando-se as operações elementares sobre linhas descritas em parágrafo precedente Inicialmente, vamos analisar como eliminar o coeficiente de x 1 nas linhas 2, 3,, n, isto é, eliminar os elementos 2,1, a(1) 3,1,, a(1) n,1 Para isso, multiplicamos a primeira linha da matriz aumentada pelo fator m 2,1 = a(1) 2,1 1,1 e o resultado subtraímos o resultado da segunda linha Temos, assim : 1,1 1,2 2,1 m 2,1 1,1 2,2 m 2,1 1,2 2,n m 2,1 n,1 n,2 L 2 m 2,1 L 1 1,1 1,2 0 a (2) 2,2 a (2) 2,n n,1 n,2 +1 2,n+1 m 2, a (2) 2,n =

7 Métodos Computacionais em Engenharia - PSMP/Versão 02/ As outras linhas não foram modificadas pois o cálculo realizado afeta apenas a segunda linha Continuando, para eliminar o coeficiente de x 1 na terceira linha da matriz aumentada, multiplicamos a primeira linha pelo fator : m 3,1 = a(1) 3,1 1,1 e subtraímos o resultado da terceira linha Temos, assim : 1,1 1,2 0 a (2) 2,2 a (2) 2,n 3,1 m 3,1 1,1 3,2 m 3,1 1,2 3,n m 3,1 n,1 n,2 +1 a (2) 2,n+1 3,n+1 m 3,1 3,n+1 +1 = L 3 m 3,1 L 1 1,1 1,2 0 a (2) 2,2 a (2) 2,n 0 a (2) 3,2 a (2) 3,n n,1 n,2 +1 a (2) 2,n+1 a (2) 3,n+1 +1 O processo continua até que todos os coeficientes de x 1 da primeira coluna, com exceção de 1,1, sejam eliminados Devemos agora, a partir da terceira linha, eliminar os coeficientes de x 2 Depois, a partir da quarta linha, eliminar os coeficientes de x 3, e assim sucessivamente O processo de eliminação pode ser generalizado através do algoritmo : Algorithm 2: Triangularização da Matriz Aumentada for p = 1 até n 1 do for r = p + 1 até n do Fazer m r,p = a(p) r,p a (p) p,p Fazer a (p+1) r,p = 0 for c = p + 1 até n + 1 do a (p+1) r,c = a (p) r,c m r,p a (p) p,c

8 Métodos Computacionais em Engenharia - PSMP/Versão 02/ Se algum a (p) p,p = 0, a linha p não poderá ser utilizada para eliminar os elementos da coluna p abaixo da diagonal Torna-se necessário, desta maneira, encontrar uma outra linha, k, com a (p) k,p 0, k > p, para trocar de posição as linhas k e p de modo que um elemento diferente de zero seja encontrado e o processo possa continuar Caso seja impossível encontrar essa linha k, a matriz A é uma matriz não-singular e o sistema linear não possui solução O elemento a (p) p,p é chamado de pivô e o processo é chamado de pivotamento A aplicação do algoritmo transforma a matriz aumentada em um sistema triangular superior, [A b] = 1,1 1,2 0 a (2) 2,2 a (2) 2,n 0 0 a (3) 3,n 0 0 a (n) +1 a (2) 2,n+1 a (3) 3,n+1 a (n) +1 que pode ser resolvido por substituição reversa utilizando as expressões : com x n = b n a (n) x r = br n j=r+1 a r,j x j a r,r r = n 1, n 2,, 1 b 1 b2 b = b = 3 b 4 +1 a (2) 2,n+1 a (3) 3,n+1 a (n) +1 O vetor b representa as modificações que o vetor b sofreu ao longo da aplicação do processo de eliminação gaussiana Seja o sistema linear : x 1 + x 2 + 2x 3 = 8 x 1 2x 2 + 3x 3 = 1 3x 1 7x 2 + 4x 3 = 10 A partir do sistema dado, contruímos a matriz aumentada [A b],

9 Métodos Computacionais em Engenharia - PSMP/Versão 02/ [A b] = Vamos aplicar o processo de triangularização à matriz [A b] Os resultados obtidos são : Fatores Matriz Resultados m 2,1 = m 3,1 = +3 m 3,2 = Na tabela, cada linha é multiplicada pelo seu respectivo fator e o resultado é subtraído da linha subseqüente No final do procedimento, um sistema triangular superior foi gerado, x 1 + x 2 + 2x 3 = 8 x 2 + 5x 3 = 9 52x 3 = 104 que pode ser resolvido usando as fórmulas de substituição reversa apresentadas anteriormente Encontramos, então, 3 x = 1 2 O Scilab pode ser utilizado para resolver o sistema linear : A matriz aumentada, [A b], é : 020x x x x 4 = x x x x 4 = x x x x 4 = x x x x 4 = [A b] = A matriz aumentada é armazenada em um arquivo ASCII chamado dados :

10 Métodos Computacionais em Engenharia - PSMP/Versão 02/ pmotta:~/funcoes/aula3> cat dados Este arquivo é lido pelo Scilab através do comando : Ab = read( dados, 4, 5) Ab =! !! !! !! ! onde Ab está representando a matriz aumentada O programa apresentado a seguir implementa diretamente o algoritmo de triangularização, Algoritmo 2 : function Tsup = triang(ab) // Triangularizacao // Entrada : Matriz aumentada, Ab // Saida : Matriz triangular superior, Tsup [nl, nc] = size(ab); n = nc-1; // Numero de colunas de A Tsup = zeros(nl,nc); for p = 1:n-1, for r = p+1:n, m = Ab(r,p)/Ab(p,p); Ab(r,p) = 0; for c = p+1:n+1, Ab(r,c) = Ab(r,c) - m * Ab(p,c); end, end, end, // Matriz triangular superior, Tsup Tsup = Ab; A saída do programa, no caso do sistema considerado, é o sistema triangular superior : triang(ab) ans =! !! !

11 Métodos Computacionais em Engenharia - PSMP/Versão 02/ ! !! ! Alimentando o programa da substituição reversa com o sistema triangular superior obtido, temos o valor do vetor solução x, subst(tsup) ans =! 1!! 1!! 1!! 1! 313 Método LU O método LU é conhecido também como método da decomposição LU ou método da fatoração LU O objetivo do método é fatorar a matriz dos coeficientes, A, em um produto entre duas matrizes Uma delas, L, é uma matriz triangular inferior, com todos os elementos da diagonal principal iguais a 1 A outra, U, é uma matriz triangular superior com os elementos da diagonal principal diferentes de zero A matriz A, então, pode ser escrita como : A = LU Além de ser utilizado para decompor a matriz A, o método LU pode ser utilizado para resolver sistemas lineares da forma Ax = b Se A = LU, podemos escrever o sistema linear Ax = b como Definindo o vetor y, podemos obter x resolvendo LUx = b y = Ux Ly = b resolvendo para y, e Ux = y resolvendo para x A primeira equação resolve-se por substituição direta enquanto que a segunda equação resolve-se por substituição reversa

12 Métodos Computacionais em Engenharia - PSMP/Versão 02/ As matrizes envolvidas tem a forma : e m 2, L = m 3,1 m 3,2 1 0 m n,1 m (1) n,2 m n,3 1 U = 1,1 1,2 1,3 0 a (2) 2,2 a (2) 2,2 a (2) 2,n 0 0 a (3) 3,3 a (3) 3,n a (n) b 1 b 2 b = b = 3 b 4 y = +1 a (2) 2,n+1 a (3) 3,n+1 a (n) ,n+1 3,n+1 +1 Vamos considerar a matriz aumentada [A b], [A b] = 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3 2,n 3,1 3,2 3,3 3,n n,1 n,2 n,3 b 1 b 2 b 3 b n = 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3 2,n 3,1 3,2 3,3 3,n n,1 n,2 n,3 +1 2,n+1 3,n+1 +1 O processo de triangularização é realizado de maneira a gerar elementos das matrizes L e U nas posições dos elementos da matriz A na matriz aumentada [A b] Este processo gera, também, o vetor y na coluna n + 1 da matriz aumentada A solução do sistema, então, é obtida através do método da substituição reversa do sistema triangular superior Ux = y eliminando, desta forma, a necessidade da resolução do sistema Ly = b O procedimento de triangularização de [A b] é descrito pelo algoritmo :

13 Métodos Computacionais em Engenharia - PSMP/Versão 02/ Algorithm 3: Matrizes L e U e vetor y por triangularização da matriz aumentada Modificar a matriz aumentada [A b] for p = 1 até n 1 do for r = p + 1 até n do Fazer m r,p = a(p) r,p a (p) p,p Fazer a r,p = m r,p = for c = p + 1 até n + 1 do a (p+1) r,c = a (p) r,c m r,p a (p) p,c A modificação com relação ao algoritmo da triangularização já apresentado é indicada pelo símbolo = Estamos supondo que o processo de triangularização pode ser aplicado sem a necessidade da troca de linhas na matriz aumentada O processo, desta forma, é chamado de fatoração direta Ao final da aplicação do algoritmo, a matriz aumentada terá se transformado na matriz : 1,1 1,2 1,3 +1 m 2,1 a (2) 2,2 a (2) 2,3 a (2) 2,n a (2) 2,n+1 m 3,1 m 3,2 a (3) 3,3 a (3) 3,n a (3) 3,n+1 m n,1 m n,2 m n,3 a (n) a (n) } {{ } elementos das matrizes L e U Vamos aplicar o algoritmo ao sistema : +1 } {{ } vetor y A matriz aumentada, [A b], é : 4x 1 + 3x 2 1x 3 = 2 2x 1 4x 2 + 5x 3 = 20 1x 1 + 2x 2 + 6x 3 = 7 [A b] = Os resultados obtidos são mostrados na tabela :

14 Métodos Computacionais em Engenharia - PSMP/Versão 02/ Fatores Matriz Intermediário Matriz ALU m 2,1 = m 3,1 = m 3,2 = Os valores que aparecem na coluna intermediária são resultantes da triangularização da matriz aumentada A matriz ALU é construída pela colocação dos multiplicadores nos lugares dos elementos que foram zerados pelo processo de triangularização A matriz ALU possui os valores das matrizes L e U e do vetor y Para encontrar o vetor solução x, basta resolver o sistema Ux = y O sistema linear do exemplo anterior pode ser resolvido através do Scilab utilizando a função trialu, contruída a partir de uma pequena modificação na função triang apresentada anteriormente Esta função permite obter a matriz modificada pelo processo de triangularização ALU, as matrizes L e U e o vetor y A saída da função trialu é : // Entrada : matriz aumentada, Ab Ab = [ ; ; ] Ab =! !! !! ! getf( trialusci ) // funcao triang modificada [ALU L U y] = trialu(ab) y =! - 2!! 19!! 17! U =! 4 3-1!! !! ! L =! 1 0 0!! !! !

15 Métodos Computacionais em Engenharia - PSMP/Versão 02/ ALU =! !! !! ! As matrizes L e U também podem ser obtidas através da utilização da função interna do Scilab, lu() Temos, A = Ab(:,1:3) A = // Entrada : matriz A! 4 3-1!! !! 1 2 6! [L U] = lu(a) U = // Decomposicao LU usando funcao do Scilab! 4 3-1!! !! ! L =! 1 0 0!! !! ! A solução do sistema linear é obtida resolvendo-se, por substituição reversa, usando a matriz aumentada [U y] Ux = y [U y] = Os resultados, obtidos com a utilização da função subst() apresentada anteriormente, são : Uy = [U y] Uy =

16 Métodos Computacionais em Engenharia - PSMP/Versão 02/ ! !! !! ! getf( substituicaosci ) X = subst(uy) X =! 3!! - 4!! 2! 32 Métodos Iterativos Analisaremos os métodos iterativos de Jacobi e de Gauss-Siedel Vamos considerar os sistemas lineares do tipo escritos na forma 321 Método de Jacobi Ax = b a 1,1 x 1 + a 1,2 x a x n = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,n x n = b 2 a n,1 x 1 + a n,2 x a x n = b n O método de Jacobi consiste na geração de aproximações sucessivas para o vetor solução x a partir das equações : ou, para i = 1, 2,, n, x 1 = 1 (a 1,2 x 2 + a 1,3 x a x n ) + b 1 a 1,1 a 1,1 x 2 = 1 (a 2,1 x 1 + a 2,3 x a 2,n x n ) + b 2 a 2,2 a 2,2 x n = 1 (a n,1 x 1 + a n,2 x a 1 x n 1 ) + b n a a x k+1 i = 1 a i,i (b i n a i,j x k j ) j=1 j i

17 Métodos Computacionais em Engenharia - PSMP/Versão 02/ Nas expressões anteriores estamos admitindo que os elementos da diagonal da matriz dos coeficientes, a i,i para i = 1, 2,, n não são nulos Se ocorrer esta situação, as equações devem ser reorganizadas Pela expressão, verificamos que a aproximação (k + 1)-ésima depende apenas da aproximação obtida no passo anterior, k O método de Jacobi pode ser descrito pelo seguinte algoritmo : for k = 0 até Max do for i = 1 até n do Fazer x k+1 i = 1 (b i a i,i ( (k+1) x i if abs x (k) i x (k+1) i ) Algorithm 4: Método de Jacobi n a i,j x k j ) j=1 j i 1 i n Fazer x = x (k+1) Apresentar x; FIM end if Fazer x (k) = x (k+1) Não converge em Max iterações < δ then Vamos considerar o sistema : 400x x 2 008x 3 = x x 2 015x 3 = x 1 008x x 3 = 2000 com aproximação inicial x (0) =[ ], δ = 10 4 e número máximo de iterações igual a 15 Utilizando o Scilab, temos a entrada de dados, A = [ ; ; ] A =! !! !! ! b = [8; 9; 20] b =! 8!! 9!! 20!

18 Métodos Computacionais em Engenharia - PSMP/Versão 02/ x0 = [0; 0; 0] x0 =! 0!! 0!! 0! Max = 15 Max = 15 delta = 10^(-4) delta = A função jacobi, desenvolvida a partir do Algoritmo de Jacobi, apresenta os seguintes resultados : getf( jacobisci ) jacobi(a, b, x0, Max, delta) k X1 X2 X Vetor solucao : Método de Gauss-Siedel O método de Gauss-Siedel pode ser considerado como uma modificação do método de Jacobi visando acelerar o processo de convergência Neste método, o valor recém-calculado para x (k+1) 1 já é utilizado para calcular o valor de x (k+1) 2 A equação utilizada para realizar as iterações é : x k+1 i = 1 i 1 (b i a i,j x (k+1) j a i,i j=1 n j=i+1 a i,j x (k) j ) O método de Gauss-Siedel pode ser descrito pelo seguinte algoritmo :

19 Métodos Computacionais em Engenharia - PSMP/Versão 02/ for k = 0 até Max do for i = 1 até n do Fazer x k+1 i = 1 (b i a i,i ( (k+1) x i if abs x (k) i x (k+1) i ) Algorithm 5: Método de Gauss-Siedel i 1 j=1 1 i n Fazer x = x (k+1) Apresentar x; FIM end if Fazer x (k) = x (k+1) Não converge em Max iterações a i,j x (k+1) j < δ then n j=i+1 a i,j x (k) j ) Utilizando o exemplo mostrado no método de Jacobi, temos : A = [ ; ; ] A =! !! !! ! b = [8; 9; 20] b =! 8!! 9!! 20! x0 = [0;0;0] x0 =! 0!! 0!! 0! Max = 15 Max = 15

20 Métodos Computacionais em Engenharia - PSMP/Versão 02/ delta = 10^(-4) delta = getf( siedelsci ) siedel(a, b, x0, Max, delta) k X1 X2 X Vetor solucao :

21 Referências Bibliográficas [1] John H Mathews, Numerical Methods for Mathematics, Science, and Engineering, 2 nd Edition, Prentice-Hall, 1992, Capítulo 1 [2] Leônidas C Barroso e outros, Cálculo Numérico (com aplicações), 2 a Edição, Editora Harbra, 1987, Capítulo 2 [3] Cristina Cunha, Métodos Numéricos para as Engenharias e Ciências Aplicadas, Editora da Unicamp, 1993, Capítulo 2 [4] SD Conte, Elementos de Análise Numérica, 2 a Edição, Editora Globo, 1975, Capítulo 5 21