Laboratório de Simulação Matemática. Parte 7 2

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Luiz Felipe Domingos Cruz
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1 Matemática - RC/UFG Laboratório de Simulação Matemática Parte 7 2 Prof. Thiago Alves de Queiroz 2/ [Cap. 7] BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D. Numerical Analysis (9th ed). Cengage Learning, Thiago Queiroz (IMTec) Parte 7 2/ / 19

2 Norma de Vetores e Matrizes Seja R n o conjunto de todos os vetores colunas n-dimensionais formado de componentes reais. A definição de distância no R n usa a noção de norma, que é uma generalização de valor absoluto nos reais R. Definição. A norma de um vetor no R n é uma função,, que leva do R n para R com as seguintes propriedades: (i) x 0 para todo x R n ; (ii) x = 0 se e somente se x for o vetor nulo; (iii) αx = α x para todo α R e x R n ; (iv) x + y x + y para todo x, y R n. Vetores no R n são vetores colunas representados por x 1 x 2 x =. x n podendo ser escritos como x = (x 1, x 2,..., x n ) t. Thiago Queiroz (IMTec) Parte 7 2/ / 19

3 Norma de Vetores e Matrizes Definição. As normas l 2 e l do vetor x = (x 1, x 2,..., x n ) t são definidas, respectivamente, por: { n } x 2 = xi 2 e x = max x i. (1) 1 i n i=1 A norma l 2 é chamada de norma Euclidiana do vetor x, pois ela representa a notação usual de distância com relação a origem do sistema de coordenadas. A figura abaixo ilustra a l 2. Thiago Queiroz (IMTec) Parte 7 2/ / 19

4 Norma de Vetores e Matrizes A figura abaixo representa a norma l no plano e no espaço. Thiago Queiroz (IMTec) Parte 7 2/ / 19

5 Exemplo Exemplo. Determine a norma l 2 e l do vetor x = ( 1, 1, 2) t. Resposta. O vetor está no R 3, de forma que as normas são: Teorema. A desigualdade de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz diz que para cada x = (x 1, x 2,..., x n ) t e y = (y 1, y 2,..., y n ) t em R n, tem-se: Thiago Queiroz (IMTec) Parte 7 2/ / 19

6 Distância entre Vetores Definição. Se x = (x 1, x 2,..., x n ) t e y = (y 1, y 2,..., y n ) t são vetores no R n, então as distâncias l 2 e l são definidas por: { n } x y 2 = (x i y i ) 2 i=1 e x y = max 1 i n x i y i. (2) Exemplo. A solução exata do sistema linear abaixo é x = (1, 1, 1), enquanto a solução aproximada pelo método de Eliminação de Gauss é x = (1, 2001; 0, 99991; 0, 92538). Determine as distâncias l 2 e l. Thiago Queiroz (IMTec) Parte 7 2/ / 19

7 Exemplo Resposta. As distâncias são: Observe que a primeira componente de x domina em ambas as distâncias, pois ela diverge bem do valor exato. Definição. A sequência de vetores {x (k) } no R n converge para x R n com respeito a norma, se dado qualquer ɛ > 0, existe um inteiro N(ɛ) tal que: x (k) x ɛ, para todo k N(ɛ). (3) Thiago Queiroz (IMTec) Parte 7 2/ / 19

8 Norma de Matriz e Distâncias Definição. A norma de uma matriz sobre o conjunto de todas as matrizes n n é uma função real,, definida sobre este conjunto, satisfazendo para todas as matrizes A e B de ordem n n e todos os números reais α: (i) A 0; (ii) A = 0 se e somente se A for a matriz nula; (iii) αa = α A ; (iv) A + B A + B ; (v) AB A B ; A distância entre as matrizes A e B de ordem n n com relação a norma de uma matriz é A B. Teorema. A norma l de uma matriz A de ordem n n é: A = max 1 i n n a ij. (4) j=1 Thiago Queiroz (IMTec) Parte 7 2/ / 19

9 Exemplo Exemplo. Determine a norma l para a matriz: A = Resposta. Para cada linha i da matriz, faz-se: Pelo Teorema anterior, o resultado é A = max{4, 4, 7} = 7. Thiago Queiroz (IMTec) Parte 7 2/ / 19

10 Produto Interno O produto interno entre dois vetores n-dimensionais x e y é denotado por x, y = x t y. Teorema. Para quaisquer vetores x, y e z e qualquer número real α, tem-se que: (i) x, y = y, x ; (ii) αx, y = x, αy = α x, y ; (iii) x + z, y = x, y + z, y ; (iv) x, x 0; (iv) x, x = 0 se e somente se x for o vetor nulo. Nos casos em que uma matriz A é positiva definida, então x, Ax = x t Ax > 0, a menos que x = 0. Segue também que x, Ay = (Ax) t y = x t A t y = x t Ay = Ax, y. Thiago Queiroz (IMTec) Parte 7 2/ / 19

11 Técnicas Iterativas Métodos iterativos são usados para resolver sistemas lineares grandes e esparsos, em especial, em problemas de valor de contorno e equações diferenciais parciais. Uma técnica iterativa para resolver um sistema Ax = b inicia com uma solução aproximada x (0) da solução x e gera uma sequência de vetores {x (k) } k=0 que convergem para x. O método iterativo de Jacobi é obtido resolvendo a i-ésima equação em Ax = b para x i de forma a obter, sabendo que a ii 0: Em seguida, para cada k 1, geram-se as componentes x (k) i vetor x (k) a partir das respectivas componentes de x (k 1). Thiago Queiroz (IMTec) Parte 7 2/ / 19 do

12 Método de Jacobi Ou seja: O método de Jacobi pode ser escrito na forma x (k) = Tx (k 1) + c, em que a matriz A pode ser dividida em matrizes diagonais e não diagonais. Por exemplo, para o sistema de equações Ax = b adiante, obtêm-se as matrizes T e c a partir do isolamento das variáveis x i para cada linha E i. Thiago Queiroz (IMTec) Parte 7 2/ / 19

13 Método de Jacobi Ao isolar as variáveis x i, tem-se: Thiago Queiroz (IMTec) Parte 7 2/ / 19

14 Método de Jacobi O método finaliza ao satisfazer o critério de parada: x (k) x (k 1) x (k) < TOL Ao considerar a aproximação inicial x (0) = (0, 0, 0, 0) para o exemplo anterior, obtém-se x (1) fazendo: Thiago Queiroz (IMTec) Parte 7 2/ / 19

15 Método de Jacobi Thiago Queiroz (IMTec) Parte 7 2/ / 19

16 Método de Jacobi Figura: Pseudo-código para o método iterativo de Jacobi. Thiago Queiroz (IMTec) Parte 7 2/ / 19

17 Método de Gauss-Seidel Considera-se durante o cálculo de x (k) i todos os valores já calculados para x (k) 1, x (k) 2,..., x (k) i 1, além dos valores da iteração anterior em x (k 1). Ou seja: Essa modificação resulta no método iterativo de Gauss-Siedel. Aplicando sobre o sistema linear anterior, tem-se: Thiago Queiroz (IMTec) Parte 7 2/ / 19

18 Método de Gauss-Seidel Thiago Queiroz (IMTec) Parte 7 2/ / 19

19 Método de Gauss-Seidel Figura: Pseudo-código para o método iterativo de Gauss-Siedel. Em geral, o método de Gauss-Siedel é superior ao método de Jacobi. Thiago Queiroz (IMTec) Parte 7 2/ / 19

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