Disciplina: Cálculo Numérico IPRJ/UERJ. Sílvia Mara da Costa Campos Victer. Aula 6 - Solução de Sistema de Equações Algébricas

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1 Disciplina: Cálculo Numérico IPRJ/UERJ Sílvia Mara da Costa Campos Victer Aula 6 - Solução de Sistema de Equações Algébricas Métodos diretos: 1- Eliminação de Gauss com substituição recuada 2- Decomposição LU Métodos indiretos (ou iterativos): 1- Gauss-Jacobi 2- Gauss-Seidel Serão vistos alguns métodos numéricos (diretos e iterativos) para resolução de sistemas de equações lineares. A resolução de sistemas lineares é um problema que surge nas mais diversas áreas (ex. previsão do tempo, otimização de sinais de transito e linhas de metro, mecânica quântica, etc..). Os métodos numéricos para resolução de um sistema linear podem ser divididos em dois grupos: 1- Métodos diretos a menos de erros de arredondamento, fornecem a solução exata do sistema linear, caso ela exista, após um número finito de operações. 2- Métodos iterativos geram uma sequência de vetores, a partir de uma aproximação inicial. Em algumas condições esta sequência converge para a solução x*, caso ela exista. Sistemas Lineares: Definição: Sistemas Lineares são sistemas de equações com m equações e n incógnitas formados por equações lineares. Um sistema linear com m equações e n incógnitas é escrito usualmente na forma: onde: são os coeficientes, são as incógnitas, são as constantes (ou termos independentes), A resolução de um sistema linear consiste em calcular os valores de,, caso eles existam, que satisfaçam as m equações simultaneamente. 1

2 Em notação matricial, o sistema linear pode ser representado por AX=B. A matriz completa ou matriz aumentada do sistema é dada por: A é a matriz dos coeficientes: X é o vetor de incógnitas: B é o vetor constante (termos independentes): Exemplo: 2

3 Classificação quanto ao número de soluções: Um sistema linear pode ser classificado em: Compatível: - Determinado (solução única) Exemplo: - Indeterminado (admite infinitas soluções) Exemplo: Incompatível: - Não admite solução Exemplo: 3

4 Quando todos os termos independentes forem nulos, isto é, se, o sistema é dito homogêneo. Todo sistema homogêneo é compatível, pois admitirá pelo menos a solução trivial ( ). Para analisar o caso geral, m equações e n variáveis, usaremos conceitos de Álgebra linear. Métodos diretos (algoritmos diretos): 1- Método da Eliminação de Gauss Este método consiste em transformar o sistema linear original num outro sistema linear equivalente com matriz dos coeficientes triangular superior, pois estes são de resolução imediata. Dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes quando possuem a mesma solução. Os determinantes de sistemas lineares equivalentes são iguais. Com passos o sistema linear AX = B é transformado num sistema triangular equivalente: UX = C, o qual se resolve facilmente por substituições. Cálculo da solução de AX = B em três etapas: 1ª etapa: Matriz Completa Consiste em escrever a matriz completa ou aumentada do sistema linear original. 2ª etapa: Triangulação Consiste em transformar a matriz A numa matriz triangular superior, mediante uma sequência de operações elementares nas linhas da matriz. 3ª etapa: Retrossubstituição Consiste no cálculo dos componentes, solução de AX = B, a partir da solução do último componente ( ), e então substituirmos regressivamente nas equações anteriores. Teorema: Seja AX = B um sistema linear. Aplicando sobre as equações deste sistema uma sequência de operações elementares escolhidas entre: i) Trocar a ordem de duas equações do sistema; ii) Multiplicar uma equação do sistema por uma constante não nula; iii) Adicionar um múltiplo de uma equação a outra equação; obtemos um novo sistema UX = C e os sistemas AX = B e UX = C são equivalentes. Resolução de sistemas triangulares: Seja o sistema linear AX = B, onde A: matriz n x n, triangular superior, com elementos da diagonal diferentes de zero. Escrevendo as equações deste sistema, temos: 4

5 Da última equação deste sistema temos: Da penúltima equação deste sistema temos: e assim sucessivamente obtém-se e finalmente : Estratégia de pivoteamento O algoritmo para o método de eliminação de Gauss requer o cálculo dos multiplicadores: a cada etapa k do processo. O coeficiente é chamado de pivô. O que acontece se o pivô for zero? - é impossível de se trabalhar. E se o pivô estiver próximo de zero? - pode resultar em resultados totalmente imprecisos. Em qualquer calculadora ou computador os cálculos são efetuados com precisão finita, e pivôs próximos de zero dão origem a multiplicadores bem maiores que a unidade que, por sua vez, origina uma ampliação dos erros de arredondamento. Como contornar estes problemas? - adotar uma estratégia de pivoteamento, ou seja, adotar um processo de escolha da linha e/ou coluna pivotal. Esta estratégia consiste em: i) no inicio da etapa k da fase de escalonamento, escolher para pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes: ; 5

6 ii) trocar as linhas k e i se for necessário. Classificação do sistema triangular: Seja U um sistema triangular superior escalonado de m equações e n incógnitas, teremos as seguintes possibilidades: i) m = n : sistema compatível e determinado; ii) m < n : sistema compatível e indeterminado. Se durante o escalonamento surgir equações do tipo:, então: i) Se, então eliminaremos a equação e continuamos o escalonamento; ii) Se, então conclui-se que o sistema é incompatível. Exemplo: Resolução do sistema abaixo pelo método de Gauss: 6

7 Primeira etapa: matriz completa Segunda etapa: triangulação E1: primeira equação, E2: segunda equação, etc. O componente <x> indica o pivô Terceira etapa: retrossubstituição Da terceira linha temos: Substituindo na segunda linha temos: Substituindo e na primeira linha temos: A solução deste sistema é Exercícios: Resolva os sistemas lineares abaixo pelo método de Gauss: Exercício 1: A solução deste sistema é Exercício 2: Resolução: 7

8 Exercício 3: Exercício 4: Resolução: 8

9 Exercício 5: Exercício 6: Exercício 7: 9

10 2- Método da Fatoração ou Decomposição LU Seja o sistema linear AX=B. O processo de fatoração para resolução deste sistema consiste em decompor a matriz A dos coeficientes em um produto de dois ou mais fatores e, em seguida, resolver uma sequência de sistemas lineares que nos conduzirá a solução do sistema linear original. Vamos supor que seja possível fatorar a matriz A dos coeficientes num produto de uma matriz triangular inferior com diagonal unitária L e uma matriz triangular superior U, isto é: A=LU Nestas condições, o sistema AX = B pode ser reescrito na forma LUX = B, o que permite o desmembramento em dois sistemas triangulares: LY=B e UX=Y Resolvendo o primeiro sistema, calculamos Y que, usado no segundo sistema, fornecerá o vetor procurado X. Cálculo dos fatores L e U: Obtenção das matrizes L e U através do método de Gauss: Resolver o sistema linear abaixo usando a fatoração LU: Resolução: Para triangular A temos: 10

11 Etapa 1: Então: Etapa 2: Então: Os fatores L e U são: 11

12 Exercício 1: Resolver o sistema linear a seguir usando a fatoração LU: Exercício 2: Resolver o sistema linear a seguir usando a fatoração LU: Refazer todos os exercícios anteriores para eliminação de Gauss utilizando a fatoração LU. Métodos iterativos (Algoritmos iterativos): 1- Método de Gauss-Jacobi Seja o sistema abaixo: Isola-se em cada uma das equações ordenadamente, uma das incógnitas. onde são as atribuições iniciais do método. 12

13 e Critério de convergência - Critério das linhas O método de Gauss-Jacobi gera uma sequência convergente se o sistema estiver na forma diagonalmente dominante, isto é: independente da escolha da aproximação inicial, x (0). 13

14 Exemplo: Condições de parada: 14

15 15

16 Exercício 1: Dado o sistema, pede-se sua solução por Gauss-Jacobi, com 4 casas decimais com arredondamento e erro menor ou igual a 0,02. Exemplo 2: Resolva o sistema linear pelo método de Gauss-Jacobi com: O processo iterativo é: 16

17 ou Prosseguindo as iterações temos: 17

18 Outros exemplos podem ser encontrados nos livros das referências. 2- Método de Gauss-Seidel Não será cobrado. Referências: 1- Livro. Cálculo numérico. Márcia Ruggiero e Vera Lopes. 2- Livro Análise Numérica Richard L. Burden e J. Douglas Faires 3- Apostila. Cálculo Numérico. Faculdade de Engenharia, Arquitetura e urbanismo. Prof. Dr. Sérgio Pilling. 18