Solução de sistemas de equações lineares

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1 Cálculo Numérico Solução de sistemas de equações lineares Prof Daniel G Alfaro Vigo dgalfaro@dccufrjbr Departamento de Ciência da Computação IM UFRJ

2 Parte I Métodos diretos

3 Motivação: Circuito elétrico A figura mostra um circuito elétrico simples Queremos determinar as correntes que circulam no circuito, sabendo que R 1 = 10 Ω, R 2 = 20 Ω, R 3 = 30 Ω, E 1 = 3 V e E 2 = 4 V (Fonte: Wikipédia)

4 Motivação: Circuito elétrico Usando as leis de Kirchhoff, temos pela Lei dos nós que i 1 i 2 i 3 = 0 Da Lei das malhas, em s 1 temos R 1 i 1 R 2 i 2 + E 1 = 0 = R 1 i 1 R 2 i 2 = E 1, e em s 2 R 3 i 3 E 2 E 1 + R 2 i 2 = 0 = R 2 i 2 R 3 i 3 = E 2 + E 1

5 Motivação: Circuito elétrico Usando as leis de Kirchhoff, temos pela Lei dos nós que i 1 i 2 i 3 = 0 Da Lei das malhas, em s 1 temos R 1 i 1 R 2 i 2 + E 1 = 0 = R 1 i 1 R 2 i 2 = E 1, e em s 2 R 3 i 3 E 2 E 1 + R 2 i 2 = 0 = R 2 i 2 R 3 i 3 = E 2 + E 1 Assim, chegamos no sistema de equações lineares i 1 i 2 i 3 = 0 10i 1 20i 2 = 3 20i 2 30i 3 = 7

6 Motivação: Redes elétricas Eletrônica de Potência Cálculo para Geração, Transmissão dee Distribuição sistemas de Energia Elétrica elétricos J A Pomilio Transmissão Geração Distribuição Indústria Comércio Residências Figura 81 Sistema elétrico convencional Figura obtida em xi (Fonte: X Yu et al,the New Frontier of Smart Grids Da década de 1970 para a década de 1990, a demanda crescente levou a um aumento do número de usinas geradoras Em algumas áreas, o abastecimento de eletricidade, especialmente em horários de pico, [ieeexploreieeeorg]) não poderia ser mantido com essa demanda crescente, resultando em uma piora na qualidade da energia elétrica fornecida, o que incluía oscilações de tensão, quedas, cortes de energia e até apagões Cada vez mais a sociedade dependia de eletricidade para a DG Alfaro Vigo indústria, wwwdccufrjbr/ dgalfaro condicionamento de ambientes, comunicação, Solução iluminação de sistemas e entretenimento, lineares e os

7 Motivação: Cálculo estrutural Cálculo de estruturas pelo método dos elementos finitos (Fonte:

8 Sistema de equações lineares Vamos estudar métodos para a solução de um sistema de n equações com n incógnitas a 11 x 1 + a 12 x 2 + +a 1,n 1 x n 1 + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + +a 2,n 1 x n 1 + a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x 2 + +a n,n 1 x n 1 + a nn x n = b n

9 Sistema de equações lineares Vamos estudar métodos para a solução de um sistema de n equações com n incógnitas a 11 x 1 + a 12 x 2 + +a 1,n 1 x n 1 + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + +a 2,n 1 x n 1 + a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x 2 + +a n,n 1 x n 1 + a nn x n = b n Usando notação matricial A x = b onde a matriz dos coeficientes A, o vetor das incógnitas x e o vetor do lado direito b são dados por a 11 a 12 a 1,n 1 a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 2,n 1 a 2n A =, x = x 2 e b = b 2 a n1 a n2 a n,n 1 a nn x n b n

10 Sistema de equações lineares Também usaremos a representação do sistema através da matriz aumentada a 11 a 12 a 1,n 1 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2,n 1 a 2n b 2 [A b] = a n1 a n2 a n,n 1 a nn b n

11 Interpretação geométrica de um sistema de equações A solução do sistema consiste dos pontos de interseção no espaço n-dimensional R n dos n hiperplanos associados às equações do sistema x₂ a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ = b₂ 24 a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ = b₁ x₁ Caso bidimensional: Sistema de duas equações

12 Número de soluções de um sistema de equações Solução única x₂ a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ = b₂ 24 a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ = b₁ x₁ Sistema de duas equações com uma única solução

13 Número de soluções de um sistema de equações (cont) Infinitas soluções 24 x₂ a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ = b₁ a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ = b₂ x₁ Sistema de duas equações com infinitas soluções

14 Número de soluções de um sistema de equações (cont) Não existe solução a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ = b₁ x₂ 24 a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ = b₂ x₁ Sistema de duas equações sem solução

15 Número de soluções de um sistema de equações (cont) Unicidade da solução O sistema de n equações com n incógnitas A x = b, terá uma única solução, se e somente se o determinante da matriz é não nulo (det A 0) Se det A = 0 o sistema poderá ter um número infinito de soluções ou nenhuma solução

16 Sistema de equações lineares Estudaremos métodos para a resolução de sistemas de n equações com n incógnitas, no caso quando a solução é única Observamos que nas aplicações podemos ter sistemas com centenas ou milhares de equações Classes de métodos Métodos diretos: a solução é obtida em um número finito de passos; Métodos iterativos: construímos uma sequência de aproximações para a solução

17 Sistema de equações lineares Estudaremos métodos para a resolução de sistemas de n equações com n incógnitas, no caso quando a solução é única Observamos que nas aplicações podemos ter sistemas com centenas ou milhares de equações Classes de métodos Métodos diretos: a solução é obtida em um número finito de passos; Métodos iterativos: construímos uma sequência de aproximações para a solução Começaremos estudando um método direito conhecido como método de eliminação de Gauss Esse método generaliza a técnica de substituição que é usada frequentemente quando resolvemos sistemas com poucas equações

18 Exemplo: circuito elétrico Assim temos que resolver o sistema i 1 i 2 i 3 = 0 10i 1 20i 2 = 3 20i 2 30i 3 = 7 Da primeira equação: i 1 = i 2 + i 3 Substituindo na segunda equação obtemos 10i 1 20i 2 = 3

19 Exemplo: circuito elétrico Assim temos que resolver o sistema i 1 i 2 i 3 = 0 10i 1 20i 2 = 3 20i 2 30i 3 = 7 Da primeira equação: i 1 = i 2 + i 3 Substituindo na segunda equação obtemos 10i 1 20i 2 = 3 10(i 2 + i 3 ) 20i 2 = 3

20 Exemplo: circuito elétrico Assim temos que resolver o sistema i 1 i 2 i 3 = 0 10i 1 20i 2 = 3 20i 2 30i 3 = 7 Da primeira equação: i 1 = i 2 + i 3 Substituindo na segunda equação obtemos 10i 1 20i 2 = 3 10(i 2 + i 3 ) 20i 2 = 3 30i 2 10i 3 = 3

21 Exemplo: circuito elétrico Agora nos focamos no sistema com duas equações { 30i2 10i 3 = 3 20i 2 30i 3 = 7 Da primeira equação temos que i 2 = 3+10i 3 Substituindo na segunda equação obtemos 20i 2 30i 3 = 7 30 = i 3

22 Exemplo: circuito elétrico Agora nos focamos no sistema com duas equações { 30i2 10i 3 = 3 20i 2 30i 3 = 7 Da primeira equação temos que i 2 = 3+10i 3 Substituindo na segunda equação obtemos 30 = 1 20i 2 30i 3 = 7 20( i 3) 30i 3 = i 3

23 Exemplo: circuito elétrico Agora nos focamos no sistema com duas equações { 30i2 10i 3 = 3 20i 2 30i 3 = 7 Da primeira equação temos que i 2 = 3+10i 3 Substituindo na segunda equação obtemos 30 = i 3 20i 2 30i 3 = 7 20( i 3) 30i 3 = i 3 = 9

24 Exemplo: circuito elétrico Agora nos focamos no sistema com duas equações { 30i2 10i 3 = 3 20i 2 30i 3 = 7 Da primeira equação temos que i 2 = 3+10i 3 Substituindo na segunda equação obtemos 30 = i 3 20i 2 30i 3 = 7 20( i 3) 30i 3 = i 3 = 9 Assim o sistema inicial foi reduzido na forma i 1 i 2 i 3 = 0 30i 2 10i 3 = i 3 = 9

25 Exemplo: circuito elétrico Para resolver esse sistema reduzido i 1 i 2 i 3 = 0 30i 2 10i 3 = i 3 = 9 começamos pela última equação e obtemos 70 3 i 3 = 9 i 3 = 27 70

26 Exemplo: circuito elétrico Para resolver esse sistema reduzido i 1 i 2 i 3 = 0 30i 2 10i 3 = i 3 = 9 começamos pela última equação e obtemos 70 3 i 3 = 9 i 3 = Da segunda equação temos 30i 2 10i 3 = 3 i 2 = ( 70 ) =

27 Exemplo: circuito elétrico Para resolver esse sistema reduzido i 1 i 2 i 3 = 0 30i 2 10i 3 = i 3 = 9 começamos pela última equação e obtemos Da segunda equação temos 70 3 i 3 = 9 i 3 = i 2 10i 3 = 3 i 2 = ( 70 ) = Finalmente, da primeira equação temos i 1 i 2 i 3 = 0 i 1 = 8 ( ) =

28 Método de eliminação de Gauss Essa ideia pode ser aplicada no caso de um sistema geral Reduzimos o sistema de equações a um sistema equivalente mais simples (de fácil solução) Resolvemos o sistema reduzido

29 Método de eliminação de Gauss Essa ideia pode ser aplicada no caso de um sistema geral Reduzimos o sistema de equações a um sistema equivalente mais simples (de fácil solução) Resolvemos o sistema reduzido Para facilitar a notação do processo o sistema a ser resolvido será representado na forma A (0) x = b (0), ou seja a (0) 11 x 1 + a (0) 12 x 2+ +a (0) 1,n 1 x n 1 + a (0) 1n x n = b (0) 1 a (0) 21 x 1 + a (0) 22 x 2+ +a (0) 2,n 1 x n 1 + a (0) 2n x n = b (0) 2 a (0) n1 x 1 + a (0) n2 x 2+ +a (0) n,n 1 x n 1 + a nn (0) x n = b n (0)

30 Método de eliminação de Gauss Essa ideia pode ser aplicada no caso de um sistema geral Reduzimos o sistema de equações a um sistema equivalente mais simples (de fácil solução) Resolvemos o sistema reduzido Para facilitar a notação do processo o sistema a ser resolvido será representado na forma A (0) x = b (0), ou seja a (0) 11 x 1 + a (0) 12 x 2+ +a (0) 1,n 1 x n 1 + a (0) 1n x n = b (0) 1 a (0) 21 x 1 + a (0) 22 x 2+ +a (0) 2,n 1 x n 1 + a (0) 2n x n = b (0) 2 a (0) n1 x 1 + a (0) n2 x 2+ +a (0) n,n 1 x n 1 + a nn (0) x n = b n (0) No primeiro estágio, da primeira equação temos que x 1 = b(0) 1 a (0) 11 a(0) 12 a (0) 11 x 2 a(0) 1,n 1 a (0) 11 x n 1 a(0) 1n a (0) 11 x n

31 M de eliminação de Gauss: redução Substituindo x 1 na equação j-ésima (2 j n) temos a (0) j1 x 1 + a (0) j2 x a (0) j,n 1 x n 1 + a (0) jn x n = b (0) j ( ) a (0) b (0) 1 j1 a (0) a(0) a (0) x 2 a(0) 1,n 1 11 a (0) x n 1 a(0) 1n 11 a (0) x n 11 + a (0) j2 x a (0) j,n 1 x n 1 + a (0) jn x n = b (0) j, donde, agrupando obtemos

32 M de eliminação de Gauss: redução Substituindo x 1 na equação j-ésima (2 j n) temos a (0) j1 x 1 + a (0) j2 x a (0) j,n 1 x n 1 + a (0) jn x n = b (0) j ( ) a (0) b (0) 1 j1 a (0) a(0) a (0) x 2 a(0) 1,n 1 11 a (0) x n 1 a(0) 1n 11 a (0) x n 11 + a (0) j2 x a (0) j,n 1 x n 1 + a (0) jn x n = b (0) j, donde, agrupando obtemos a (0) j1 a (0) 11 + b (0) 1 + ( ( a (0) j2 a(0) j1 a (0) j,n 1 a (0) a(0) 1,n 1 j1 a (0) 11 a (0) 12 a (0) 11 ) ) x 2 + x n 1 + ( a (0) jn a(0) j1 a (0) 1n a (0) 11 ) x n = b (0) j

33 M de eliminação de Gauss: redução (cont) Logo ( a (0) j2 a(0) j1 e introduzindo obtemos ) ( a(0) 12 a (0) x a (0) j,n 1 a(0) j1 11 ( + a (0) jn a(0) j1 m j1 = a(0) j1 a (0) 11 ) a(0) 1n a (0) x n = b (0) j 11 ) a(0) 1,n 1 a (0) x n 1 11 a(0) j1 a (0) 11 b (0) 1,

34 M de eliminação de Gauss: redução (cont) Logo ( a (0) j2 a(0) j1 e introduzindo obtemos ( ) a (0) j2 m j1 a (0) 12 ) ( a(0) 12 a (0) x a (0) j,n 1 a(0) j1 11 ( + a (0) jn a(0) j1 m j1 = a(0) j1 a (0) 11 ( x a (0) ) a(0) 1n a (0) x n = b (0) j 11 j,n 1 m j1 a (0) ( a (0) jn m j1 a (0) 1n ) a(0) 1,n 1 a (0) x n ,n 1 a(0) j1 ) a (0) 11 x n 1 b (0) 1, ) x n = b (0) j m j1 b (0) 1

35 M de eliminação de Gauss: redução (cont) Ou seja, chegamos em onde a (1) j2 x a (1) j,n 1 x n 1 + a (1) jn x n = b (1) j, j = 2,, n, a (1) jl = a (0) jl m j1 a (0) 1l, b (1) j = b (0) j m j1 b (0) 1, m j1 = a(0) j1 a (0) 11, j = 2,, n, l = 1,, n

36 M de eliminação de Gauss: redução (cont) Ou seja, chegamos em onde a (1) j2 x a (1) j,n 1 x n 1 + a (1) jn x n = b (1) j, j = 2,, n, a (1) jl = a (0) jl m j1 a (0) 1l, b (1) j = b (0) j m j1 b (0) 1, m j1 = a(0) j1 a (0) 11, j = 2,, n, l = 1,, n O sistema inicial foi transformado em a (0) 11 x 1 + a (0) 12 x 2+ +a (0) 1,n 1 x n 1 + a (0) 1n x n = b (0) 1 0 x 1 +a (1) 22 x 2+ +a (1) 2,n 1 x n 1 + a (1) 2n x n = b (1) 2 0 x 1 +a (1) 32 x 2+ +a (1) 3,n 1 x n 1 + a (1) 3n x n = b (1) 3 0 x 1 +a (1) n2 x 2+ +a (1) n,n 1 x n 1 + a nn (1) x n = b n (1)

37 M de eliminação de Gauss: redução (cont) O resultado do primeiro estágio fazemos as transformações E (1) j = E (0) j m j1 E (0) 1 onde m j1 = a(0) j = 2,, n, j1 a (0) 11 e obtemos um sistema com matriz aumentada a (0) 11 a (0) 12 a (0) 1,n 1 a (0) 1n b (0) 1 0 a (1) 22 a (1) 2,n 1 a (1) 2n b (1) 2 [A (1) b (1) ] = 0 a (1) 32 a (1) 3,n 1 a (1) 3,n b (1) 3 0 a (1) n2 a (1) n,n 1 a nn (1) b n (1)

38 M de eliminação de Gauss: redução (cont) No segundo estágio, usando a segunda equação temos que x 2 = b(1) 2 a (1) a(1) a (1) x 3 a(1) 2,n 1 22 a (1) x n 1 a(1) 2n 22 a (1) x n 22 Substituindo x 2 na equação j-ésima (3 j n) obtemos ( ) a (1) b (1) 2 j2 a (1) a(1) a (1) x 3 a(1) 2,n 1 22 a (1) x n 1 a(1) 2n 22 a (1) x n 22 + a (1) j3 x a (1) j,n 1 x n 1 + a (1) jn x n = b (1) j, e agrupando

39 M de eliminação de Gauss: redução (cont) No segundo estágio, usando a segunda equação temos que x 2 = b(1) 2 a (1) a(1) a (1) x 3 a(1) 2,n 1 22 a (1) x n 1 a(1) 2n 22 a (1) x n 22 Substituindo x 2 na equação j-ésima (3 j n) obtemos ( ) a (1) b (1) 2 j2 a (1) a(1) a (1) x 3 a(1) 2,n 1 22 a (1) x n 1 a(1) 2n 22 a (1) x n 22 + a (1) j3 x a (1) j,n 1 x n 1 + a (1) jn x n = b (1) j, e agrupando ( a (1) j3 a(1) j2 a (1) 23 a (1) 22 ) x ( a (1) jn ( a (1) j,n 1 a (1) ) a(1) 2,n 1 j2 a (1) x n 1 22 a(1) j2 a (1) 2n a (1) 22 ) x n = b (1) j a(1) j2 a (1) 22 b (1) 2

40 M de eliminação de Gauss: redução (cont) Assim, chegamos em onde a (2) j3 x a (2) j,n 1 x n 1 + a (2) jn x n = b (2) j, j = 3,, n, a (2) jl = a (1) jl m j2 a (1) 2l, b (2) j = b (1) j m j2 b (1) 2, m j2 = a(1) j2 a (1) 22, j = 3,, n, l = 1,, n O sistema inicial foi transformado em a (0) 11 x 1 + a (0) 12 x 2 + a (0) 13 x 3+ +a (0) 1,n 1 x n 1 + a (0) 1n x n = b (0) 1 0 x 1 +a (1) 22 x 2 + a (1) 23 x 3+ +a (1) 2,n 1 x n 1 + a (1) 2n x n = b (1) 2 0 x x 2 +a (2) 33 x 3+ +a (2) 3,n 1 x n 1 + a (2) 3n x n = b (2) 3 0 x x 2 +a (2) n3 x 3+ +a (2) n,n 1 x n 1 + a nn (2) x n = b n (2)

41 M de eliminação de Gauss: redução (cont) No segundo estágio fazemos as transformações E (2) j = E (1) j m j2 E (1) 2 onde m j2 = a(1) j = 3,, n, j2 a (1) 22 O sistema inicial foi transformado em a (0) 11 a (0) 12 a (0) 13 a (0) 1,n 1 a (0) 1n b (0) 1 0 a (1) 22 a (1) 23 a (1) 2,n 1 a (1) 2n b (1) 2 [A (2) b (2) ] = 0 0 a (2) 33 a (2) 3,n 1 a (2) 3n b (2) a (2) n3 a (2) n,n 1 a nn (2) b n (2)

42 M de eliminação de Gauss: redução (cont) Repetindo esse processo no final do k-ésimo estágio obtemos a (0) 11 x 1 + a (0) 12 x a (0) 1,k+1 x k+1+ +a (0) 1n x n = b (0) 1 0 x 1 +a (1) 22 x a (1) 2,k+1 x k+1+ +a (1) 2n x n = b (1) 2 0 x x 2 + +a (k) k+1,k+1 x k+1+ +a (k) k+1,n x n = b (k) k+1 0 x x 2 + +a (k) n,k+1 x k+1+ +a nn (k) x n = b n (k) onde a (k) jl b (k) j = a (k 1) jl = b (k 1) j m jk = a(k 1) jk a (k 1) kk m jk a (k 1) kl, m jk b (k 1), k, j = k + 1,, n, l = 1,, n

43 M de eliminação de Gauss: redução (cont) No k-ésimo estágio fazemos as transformações E (k) j onde = E (k 1) j m jk = a(k 1) jk a (k 1) kk m jk E (k 1) k, j = k + 1,, n e obtemos o sistema com a matriz aumentada a (0) 11 a (0) 12 a (0) 1,k+1 a (0) 0 a (1) 22 a (1) 2,k+1 a (1) [A (k) b (k) ] = 0 0 a (k) k+1,k+1 a (k) k+1,n 0 0 a (k) n,k+1 a nn (k) 1n b (0) 1 2n b (1) 2 b (k) k+1 b (k) n

44 M de eliminação de Gauss: redução (cont) Observações Durante o k-ésimo estágio o elemento na diagonal da k-ésima linha, a (k 1) kk é chamado de elemento pivô do estágio Os números m jk = a(k 1) jk a (k 1) kk são chamados de multiplicadores, j = k + 1,, n, Se o elemento pivô do k-ésimo estágio é não nulo, então esse estágio poderá ser finalizado com sucesso Se o elemento pivô do k-ésimo estágio for nulo não podemos definir os multiplicadores diretamente, e precisaremos fazer um pivoteamento para tentar contornar essa situação

45 M de eliminação de Gauss: redução (cont) Pivoteamento simples Se antes de começar o k-ésimo estágio observamos que o elemento pivô a (k 1) kk = 0, procuramos na k-ésima coluna um elemento não nulo abaixo da diagonal, ou seja um a (k 1) pk 0 com p {k + 1,, n} Se esse elemento existe permutamos as posições da k-ésima e a p-ésima equação, e procedemos a realizar o k-ésimo estágio do processo de redução a partir do sistema permutado

46 M de eliminação de Gauss: redução (cont) Pivoteamento simples Se antes de começar o k-ésimo estágio observamos que o elemento pivô a (k 1) kk = 0, procuramos na k-ésima coluna um elemento não nulo abaixo da diagonal, ou seja um a (k 1) pk 0 com p {k + 1,, n} Se esse elemento existe permutamos as posições da k-ésima e a p-ésima equação, e procedemos a realizar o k-ésimo estágio do processo de redução a partir do sistema permutado Observação Se a (k 1) jk = 0 para j = k,, n então o sistema não possui solução única

47 M de eliminação de Gauss: redução (cont) Conclusão Após (n 1)-estágios bem sucedidos obtemos o sistema reduzido a (0) 11 x 1 + a (0) 12 x a (0) 1,k+1 x k+1+ +a (0) 1n x n = b (0) 1 0 x 1 +a (1) 22 x a (1) 2,k+1 x k+1+ +a (1) 2n x n = b (1) 2 0 x x 2 + +a (k) k+1,k+1 x k+1+ +a (k) k+1,n x n = b (k) k+1 0 x x x k+1 + +a nn (n 1) x n = b n (n 1) Esse tipo de sistema de equações é chamado de sistema triangular superior, pois todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos

48 M de eliminação de Gauss: substituição reversa Na fase final do método, resolvemos o sistema triangular superior obtido no (n 1)-ésimo estágio Aplicando a técnica de substituição reversa ou regressiva

49 M de eliminação de Gauss: substituição reversa Na fase final do método, resolvemos o sistema triangular superior obtido no (n 1)-ésimo estágio Aplicando a técnica de substituição reversa ou regressiva Começamos pela última equação Se a (n 1) nn x n = b(n 1) n a (n 1) nn 0 obtemos que

50 M de eliminação de Gauss: substituição reversa Na fase final do método, resolvemos o sistema triangular superior obtido no (n 1)-ésimo estágio Aplicando a técnica de substituição reversa ou regressiva Começamos pela última equação Se a (n 1) nn x n = b(n 1) n a (n 1) nn 0 obtemos que Depois na penúltima equação substituímos x n e calculamos x n 1 a (n 2) n 1,n 1 x n 1+a (n 2) n 1,n x n = b (n 2) n 1 x n 1 = b(n 2) n 1 a (n 2) n 1,n x n a (n 2) n 1,n 1

51 M de eliminação de Gauss: substituição reversa (cont) Continuando esse processo após calcularmos x n, x n 1,, x k+1 podemos usar a k-ésima equação para calcular x k a (k 1) kk x k + a (k 1) k,k+1 x k a (k 1) x k = b(k 1) k k,n 1 x n 1 + a (k 1) k,n x n = b (k 1) k a (k 1) k,k+1 x k+1 a (k 1) k,n 1 x n 1 a (k 1) k,n a (k 1) kk ou seja, temos que para k = n 1, n 2,, 1 x k = b(k 1) k n j=k+1 a(k 1) kj x j a (k 1) kk x n,

52 M de eliminação de Gauss: substituição reversa (cont) Continuando esse processo após calcularmos x n, x n 1,, x k+1 podemos usar a k-ésima equação para calcular x k a (k 1) kk x k + a (k 1) k,k+1 x k a (k 1) x k = b(k 1) k k,n 1 x n 1 + a (k 1) k,n x n = b (k 1) k a (k 1) k,k+1 x k+1 a (k 1) k,n 1 x n 1 a (k 1) k,n a (k 1) kk ou seja, temos que para k = n 1, n 2,, 1 x k = b(k 1) k Observação: Se a (n 1) nn n j=k+1 a(k 1) kj x j a (k 1) kk sistema possui infinitas soluções se b (n 1) n se b (n 1) n 0 = 0 o sistema não possui solução única O = 0, e nenhuma solução x n,

53 Algoritmo: M de eliminação de Gauss (sem pivoteamento) Entradas: dimensão do sistema n; matriz A = [a ij ]; vetor b = [b i ] (i, j = 1,, n) Saída: solução x 1,, x n ou mensagem de erro

54 Algoritmo: M de eliminação de Gauss (sem pivoteamento) Entradas: dimensão do sistema n; matriz A = [a ij ]; vetor b = [b i ] (i, j = 1,, n) Saída: solução x 1,, x n ou mensagem de erro 1 Para k = 1,, n 1, execute o passo Se a kk = 0 então SAÍDA: o método falhou ; PARE 3 Para j = k + 1,, n, execute os passos Faça m = a jk /a kk 5 Faça E j = E j m E k

55 Algoritmo: M de eliminação de Gauss (sem pivoteamento) Entradas: dimensão do sistema n; matriz A = [a ij ]; vetor b = [b i ] (i, j = 1,, n) Saída: solução x 1,, x n ou mensagem de erro 1 Para k = 1,, n 1, execute o passo Se a kk = 0 então SAÍDA: o método falhou ; PARE 3 Para j = k + 1,, n, execute os passos Faça m = a jk /a kk 5 Faça E j = E j m E k 6 Se a nn = 0 então SAÍDA: sem solução única ; PARE 7 Faça x n = b n /a nn 8 Para k = n 1,, 1, execute o passo 9 9 Faça x k = (b k n j=k+1 a kj x j )/a kk 10 SAÍDA: x 1,, x n ; FIM

56 Observações sobre o Algoritmo Re-escrevemos em detalhes os passos 5 e 9 do algoritmo Passo 5: Faça E j = E j m E k 1 Faça b j = b j m b k 2 Para l = k,, n, execute o passo 3 3 Faça a jl = a jl m a kl

57 Observações sobre o Algoritmo Re-escrevemos em detalhes os passos 5 e 9 do algoritmo Passo 5: Faça E j = E j m E k 1 Faça b j = b j m b k 2 Para l = k,, n, execute o passo 3 3 Faça a jl = a jl m a kl Passo 9: Faça x k = (b k n j=k+1 a kj x j )/a kk 1 Faça s = 0 2 Para j = k + 1,, n, execute o passo 3 3 Faça s = s + a kj x j 4 Faça x k = (b k s)/a kk

58 Algoritmo: Eliminação de Gauss com pivoteamento simples Entradas: dimensão do sistema n; matriz A = [a ij ]; vetor b = [b i ] (i, j = 1,, n) Saída: solução x 1,, x n ou mensagem de erro

59 Algoritmo: Eliminação de Gauss com pivoteamento simples Entradas: dimensão do sistema n; matriz A = [a ij ]; vetor b = [b i ] (i, j = 1,, n) Saída: solução x 1,, x n ou mensagem de erro 1 Para k = 1,, n 1, execute o passo Faça p = menor inteiro em {k,, n} tal que a pk 0 3 Se não existe tal p então SAÍDA: sem solução única ; PARE 4 Se p k então troque E k e E p

60 Algoritmo: Eliminação de Gauss com pivoteamento simples Entradas: dimensão do sistema n; matriz A = [a ij ]; vetor b = [b i ] (i, j = 1,, n) Saída: solução x 1,, x n ou mensagem de erro 1 Para k = 1,, n 1, execute o passo Faça p = menor inteiro em {k,, n} tal que a pk 0 3 Se não existe tal p então SAÍDA: sem solução única ; PARE 4 Se p k então troque E k e E p 5 Para j = k + 1,, n, execute os passos Faça m = a jk /a kk 7 Faça E j = E j m E k

61 Algoritmo: Eliminação de Gauss com pivoteamento simples Entradas: dimensão do sistema n; matriz A = [a ij ]; vetor b = [b i ] (i, j = 1,, n) Saída: solução x 1,, x n ou mensagem de erro 1 Para k = 1,, n 1, execute o passo Faça p = menor inteiro em {k,, n} tal que a pk 0 3 Se não existe tal p então SAÍDA: sem solução única ; PARE 4 Se p k então troque E k e E p 5 Para j = k + 1,, n, execute os passos Faça m = a jk /a kk 7 Faça E j = E j m E k 8 Se a nn = 0 então SAÍDA: sem solução única ; PARE 9 Faça x n = b n /a nn 10 Para k = n 1,, 1, execute o passo Faça x k = (b k n j=k+1 a kj x j )/a kk 12 SAÍDA: x 1,, x n ; FIM

62 Observações sobre o Algoritmo Neste algoritmo o pivoteamento simples é realizado nos passos 2 ao 4 Re-escrevemos esses passos em uma forma mais detalhada para a implementação computacional Passos 2 ao 4 (pivoteamento simples) 1 Faça p = k 2 Enquanto p n e a pk = 0 execute o passo 3 3 Faça p = p Se p > n então SAÍDA: sem solução única ; PARE 5 Se p k execute os passos 6 e 8 6 Para l = k,, n, execute o passo 7 7 Faça aux = a kl, a kl = a pl, a pl = aux 8 Faça aux = b k, b k = b p, b p = aux

63 Observações sobre o método de eliminação de Gauss Aplicado para sistemas lineares de qualquer dimensão A solução é obtida em um número finito de passos Quantidade de operações aritméticas Etapa multiplicações/divisões adições/subtrações Redução 2n 3 +3n 2 5n 6 2n 3 n 3 Substituição n 2 +n 2 n 2 n 2 Total Exemplos de valores n 3 +3n 2 n 3 2n 3 +3n 2 5n 6 n multiplicações/divisões adições/subtrações

64 Propagação de erros e estratégias de pivoteamento Na prática, recorremos ao computador para fazer os cálculos e nesse caso obtemos apenas uma solução aproximada Para evitar a propagação descontrolada dos erros de arredondamento são usadas diferentes estratégias de pivoteamento Essas estratégias, propõem usar, no início de cada estágio, um elemento pivô a (k 1) kk que não seja muito próximo de zero Discutiremos duas estratégias básicas: o pivoteamento parcial e o pivoteamento completo

65 Pivoteamento parcial Pivoteamento parcial Antes de começar o k-ésimo estágio procuramos na coluna k, da diagonal para baixo, o primeiro elemento com o modulo máximo e positivo Ou seja, achamos o menor p {k,, n} tal que a (k 1) pk = max k j n { a(k 1) jk } 0 Se esse elemento existe permutamos as posições da k-ésima e a p-ésima equação

66 Pivoteamento parcial Pivoteamento parcial Antes de começar o k-ésimo estágio procuramos na coluna k, da diagonal para baixo, o primeiro elemento com o modulo máximo e positivo Ou seja, achamos o menor p {k,, n} tal que a (k 1) pk = max k j n { a(k 1) jk } 0 Se esse elemento existe permutamos as posições da k-ésima e a p-ésima equação Observação max k j n { a(k 1) jk } = 0 = a (k 1) jk = 0 para j = k,, n = Então não existe solução única

67 Pivoteamento parcial (cont) [A (k 1) b (k 1) ] = a (0) 11 a (0) 12 a (0) 1,k a (0) 0 a (1) 22 a (1) 2,k a (1) 0 0 a (k 1) k,k a (k 1) k,n 0 0 a (k 1) p,k a p,n (k 1) 0 0 a (k 1) n,k a nn (k 1) 1n b (0) 1 2n b (1) 2 b (k 1) k b (k 1) p b (k 1) n

68 Pivoteamento parcial (cont) [A (k 1) b (k 1) ] = a (0) 11 a (0) 12 a (0) 1,k a (0) 0 a (1) 22 a (1) 2,k a (1) 0 0 a (k 1) k,k a (k 1) k,n 0 0 a (k 1) p,k a p,n (k 1) 0 0 a (k 1) n,k a nn (k 1) a (k 1) pk = max k j n { a(k 1) jk } 0 1n b (0) 1 2n b (1) 2 b (k 1) k b (k 1) p b (k 1) n

69 Pivoteamento parcial (cont) [A (k 1) b (k 1) ] = a (0) 11 a (0) 12 a (0) 1,k a (0) 0 a (1) 22 a (1) 2,k a (1) 0 0 a (k 1) k,k a (k 1) k,n 0 0 a (k 1) p,k a p,n (k 1) 0 0 a (k 1) n,k a nn (k 1) 1n b (0) 1 2n b (1) 2 b (k 1) k b (k 1) p b (k 1) n E k E p

70 Pivoteamento parcial (cont) [Ã (k 1) b (k 1) ] = a (0) 11 a (0) 12 a (0) 1,k a (0) 0 a (1) 22 a (1) 2,k a (1) 0 0 a (k 1) p,k a p,n (k 1) 0 0 a (k 1) k,k a (k 1) k,n 0 0 a (k 1) n,k a nn (k 1) 1n b (0) 1 2n b (1) 2 b (k 1) p b (k 1) k b (k 1) n [A (k 1) b (k 1) ] [Ã (k 1) b (k 1) ]

71 Pivoteamento completo Pivoteamento completo Antes de começar o k-ésimo estágio procuramos na submatriz com linhas e colunas da k até a n um elemento com o modulo máximo e positivo Ou seja, achamos p, r {k,, n} tais que a (k 1) pr = max k j, l n { a(k 1) jl } 0 Se esse elemento existe permutamos as posições da k-ésima e da p-ésima equação e depois da k-ésima e da r-ésima variáveis (Ou seja, na matriz aumentada permutamos as linhas k e p, e as colunas k e r)

72 Pivoteamento completo Pivoteamento completo Antes de começar o k-ésimo estágio procuramos na submatriz com linhas e colunas da k até a n um elemento com o modulo máximo e positivo Ou seja, achamos p, r {k,, n} tais que a (k 1) pr = max k j, l n { a(k 1) jl } 0 Se esse elemento existe permutamos as posições da k-ésima e da p-ésima equação e depois da k-ésima e da r-ésima variáveis (Ou seja, na matriz aumentada permutamos as linhas k e p, e as colunas k e r) Observação max k j, l n { a(k 1) jl } = 0 = Então não existe solução única

73 Pivoteamento completo (cont) a (0) 11 a (0) 1,k a (0) 1r a (0) 0 a (k 1) k,k a (k 1) kr a (k 1) k,n [A (k 1) b (k 1) ] = 0 a (k 1) p,k a pr (k 1) a p,n (k 1) 0 a (k 1) n,k a nr (k 1) a nn (k 1) 1n b (0) 1 b (k 1) k b (k 1) p b (k 1) n

74 Pivoteamento completo (cont) a (0) 11 a (0) 1,k a (0) 1r a (0) 0 a (k 1) k,k a (k 1) kr a (k 1) k,n [A (k 1) b (k 1) ] = 0 a (k 1) p,k a pr (k 1) a p,n (k 1) 0 a (k 1) n,k a nr (k 1) a nn (k 1) a (k 1) pr = max k j, l n { a(k 1) jl } 0 1n b (0) 1 b (k 1) k b (k 1) p b (k 1) n

75 Pivoteamento completo (cont) a (0) 11 a (0) 1,k a (0) 1r a (0) 0 a (k 1) k,k a (k 1) kr a (k 1) k,n [A (k 1) b (k 1) ] = 0 a (k 1) p,k a pr (k 1) a p,n (k 1) 0 a (k 1) n,k a nr (k 1) a nn (k 1) 1n b (0) 1 b (k 1) k b (k 1) p b (k 1) n E k E p

76 Pivoteamento completo (cont) a (0) 11 a (0) 1,k a (0) 1r a (0) 0 a (k 1) [Ã (k 1) b (k 1) p,k a pr (k 1) a p,n (k 1) ] = 0 a (k 1) k,k a (k 1) kr a (k 1) k,n 0 a (k 1) n,k a nr (k 1) a nn (k 1) 1n b (0) 1 b (k 1) p b (k 1) k b (k 1) n [A (k 1) b (k 1) ] [Ã (k 1) b (k 1) ]

77 Pivoteamento completo (cont) a (0) 11 a (0) 1,k a (0) 1r a (0) 0 a (k 1) [Ã (k 1) b (k 1) p,k a pr (k 1) a p,n (k 1) ] = 0 a (k 1) k,k a (k 1) kr a (k 1) k,n 0 a (k 1) n,k a nr (k 1) a nn (k 1) 1n b (0) 1 b (k 1) p b (k 1) k b (k 1) n x k x r

78 Pivoteamento completo (cont) a (0) 11 a (0) 1r a (0) 1,k a (0) 0 a [Â(k 1) ˆb (k 1) pr (k 1) a (k 1) p,k a p,n (k 1) ] = 0 a (k 1) kr a (k 1) k,k a (k 1) k,n 0 a nr (k 1) a (k 1) n,k a nn (k 1) à (k 1) x = b (k 1) onde x k = ˆx r, x r = ˆx k e x j = ˆx j em cc  (k 1) ˆx = ˆb (k 1) 1n b (0) 1 b (k 1) p b (k 1) k b (k 1) n

79 Estratégias de pivoteamento Observações As duas estratégias apresentadas ajudam no controle da propagação dos erros de arredondamento mas o pivoteamento completo, em geral, produz resultados de melhor qualidade Por outro lado, no pivoteamento completo precisamos o elemento de modulo máximo dentre (n k + 1) 2 coeficientess entanto que no pivoteamento parcial será apenas dentre n k + 1 coeficientes A implementação computacional do pivoteamento parcial é bem mais simples do que o pivoteamento completo Essas estratégias podem ser combinadas com outras técnicas para se obter melhores resultados

80 Exemplo O sistema { x x 2 = x x 2 = possui a solução exata é x 1 = 10 e x 2 = 1 Vamos resolve-lo usando aritmética de ponto flutuante com 4 dígitos de precisão (na base decimal) pelo método de eliminação de Gauss

81 Exemplo O sistema { x x 2 = x x 2 = possui a solução exata é x 1 = 10 e x 2 = 1 Vamos resolve-lo usando aritmética de ponto flutuante com 4 dígitos de precisão (na base decimal) pelo método de eliminação de Gauss Primeiro sem pivoteamento Temos que m =

82 Exemplo O sistema { x x 2 = x x 2 = possui a solução exata é x 1 = 10 e x 2 = 1 Vamos resolve-lo usando aritmética de ponto flutuante com 4 dígitos de precisão (na base decimal) pelo método de eliminação de Gauss Primeiro sem pivoteamento Temos que m

83 Exemplo O sistema { x x 2 = x x 2 = possui a solução exata é x 1 = 10 e x 2 = 1 Vamos resolve-lo usando aritmética de ponto flutuante com 4 dígitos de precisão (na base decimal) pelo método de eliminação de Gauss Primeiro sem pivoteamento Temos que m a ( )( )

84 Exemplo O sistema { x x 2 = x x 2 = possui a solução exata é x 1 = 10 e x 2 = 1 Vamos resolve-lo usando aritmética de ponto flutuante com 4 dígitos de precisão (na base decimal) pelo método de eliminação de Gauss Primeiro sem pivoteamento Temos que m a

85 Exemplo O sistema { x x 2 = x x 2 = possui a solução exata é x 1 = 10 e x 2 = 1 Vamos resolve-lo usando aritmética de ponto flutuante com 4 dígitos de precisão (na base decimal) pelo método de eliminação de Gauss Primeiro sem pivoteamento Temos que m a

86 Exemplo O sistema { x x 2 = x x 2 = possui a solução exata é x 1 = 10 e x 2 = 1 Vamos resolve-lo usando aritmética de ponto flutuante com 4 dígitos de precisão (na base decimal) pelo método de eliminação de Gauss Primeiro sem pivoteamento Temos que m a

87 Exemplo O sistema { x x 2 = x x 2 = possui a solução exata é x 1 = 10 e x 2 = 1 Vamos resolve-lo usando aritmética de ponto flutuante com 4 dígitos de precisão (na base decimal) pelo método de eliminação de Gauss Primeiro sem pivoteamento Temos que m a

88 Exemplo O sistema { x x 2 = x x 2 = possui a solução exata é x 1 = 10 e x 2 = 1 Vamos resolve-lo usando aritmética de ponto flutuante com 4 dígitos de precisão (na base decimal) pelo método de eliminação de Gauss Primeiro sem pivoteamento Temos que m a b ( )( )

89 Exemplo O sistema { x x 2 = x x 2 = possui a solução exata é x 1 = 10 e x 2 = 1 Vamos resolve-lo usando aritmética de ponto flutuante com 4 dígitos de precisão (na base decimal) pelo método de eliminação de Gauss Primeiro sem pivoteamento Temos que m a b

90 Exemplo (cont) Obtemos a matriz aumentada [ [A (1) b (1) ] = ]

91 Exemplo (cont) Obtemos a matriz aumentada [ [A (1) b (1) ] = ] Logo x =

92 Exemplo (cont) Obtemos a matriz aumentada [ [A (1) b (1) ] = ] Logo x

93 Exemplo (cont) Obtemos a matriz aumentada [ [A (1) b (1) ] = ] Logo x x ( )( )

94 Exemplo (cont) Obtemos a matriz aumentada [ [A (1) b (1) ] = ] Logo x x

95 Exemplo (cont) Obtemos a matriz aumentada [ [A (1) b (1) ] = ] Logo x x

96 Exemplo (cont) Obtemos a matriz aumentada [ [A (1) b (1) ] = ] Logo x x

97 Exemplo (cont) Obtemos a matriz aumentada [ [A (1) b (1) ] = ] Logo x x

98 Exemplo (cont) Obtemos a matriz aumentada [ [A (1) b (1) ] = ] Logo x x A solução aproximada obtida x 1 = 10 e x 2 = 1001 é muito ruim! Temos os erros relativos ɛ x1 = 2 e ɛ x2 = 10 3 Observe que o erro de x 1 é muito grande comparado com o epsilon da máquina ɛ maq = 10 3

99 Exemplo (cont) Agora vamos usar pivoteamento parcial A matriz aumentada do sistema é [ ] [A (0) b (0) ] =

100 Exemplo (cont) Agora vamos usar pivoteamento parcial A matriz aumentada do sistema é [ ] [A (0) b (0) ] = Aplicamos o pivoteamento parcial: E 1 E 2, e obtemos [ ] [Ã (0) b (0) ] =

101 Exemplo (cont) Agora vamos usar pivoteamento parcial A matriz aumentada do sistema é [ ] [A (0) b (0) ] = Aplicamos o pivoteamento parcial: E 1 E 2, e obtemos [ ] [Ã (0) b (0) ] = Logo m =

102 Exemplo (cont) Agora vamos usar pivoteamento parcial A matriz aumentada do sistema é [ ] [A (0) b (0) ] = Aplicamos o pivoteamento parcial: E 1 E 2, e obtemos [ ] [Ã(0) b (0) ] = Logo m

103 Exemplo (cont) Agora vamos usar pivoteamento parcial A matriz aumentada do sistema é [ ] [A (0) b (0) ] = Aplicamos o pivoteamento parcial: E 1 E 2, e obtemos [ ] [Ã(0) b (0) ] = Logo m a ( )( )

104 Exemplo (cont) Agora vamos usar pivoteamento parcial A matriz aumentada do sistema é [ ] [A (0) b (0) ] = Aplicamos o pivoteamento parcial: E 1 E 2, e obtemos [ ] [Ã(0) b (0) ] = Logo m a

105 Exemplo (cont) Agora vamos usar pivoteamento parcial A matriz aumentada do sistema é [ ] [A (0) b (0) ] = Aplicamos o pivoteamento parcial: E 1 E 2, e obtemos [ ] [Ã(0) b (0) ] = Logo m a

106 Exemplo (cont) Agora vamos usar pivoteamento parcial A matriz aumentada do sistema é [ ] [A (0) b (0) ] = Aplicamos o pivoteamento parcial: E 1 E 2, e obtemos [ ] [Ã(0) b (0) ] = Logo m a

107 Exemplo (cont) Agora vamos usar pivoteamento parcial A matriz aumentada do sistema é [ ] [A (0) b (0) ] = Aplicamos o pivoteamento parcial: E 1 E 2, e obtemos [ ] [Ã (0) b (0) ] = Logo m a

108 Exemplo (cont) b ( )( )

109 Exemplo (cont) b

110 Exemplo (cont) b Obtemos a matriz aumentada [ [A (1) b (1) ] = ]

111 Exemplo (cont) b Obtemos a matriz aumentada [ [A (1) b (1) ] = ] Logo x

112 Exemplo (cont) b Obtemos a matriz aumentada [ [A (1) b (1) ] = ] Logo x

113 Exemplo (cont) b Obtemos a matriz aumentada [ [A (1) b (1) ] = ] Logo x x ( )( )

114 Exemplo (cont) b Obtemos a matriz aumentada [ [A (1) b (1) ] = ] Logo x x =

115 Exemplo (cont) b Obtemos a matriz aumentada [ [A (1) b (1) ] = ] Logo x x

116 Exemplo (cont) b Obtemos a matriz aumentada [ [A (1) b (1) ] = ] Logo x x Usando o pivoteamento parcial chegamos na solução exata x 1 = 10 e x 2 = 1!

117 Algoritmo: Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial Entradas: dimensão do sistema n; matriz A = [a ij ]; vetor b = [b i ] (i, j = 1,, n) Saída: solução x 1,, x n ou mensagem de erro

118 Algoritmo: Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial Entradas: dimensão do sistema n; matriz A = [a ij ]; vetor b = [b i ] (i, j = 1,, n) Saída: solução x 1,, x n ou mensagem de erro 1 Para k = 1,, n 1, execute o passo Faça p = menor inteiro em {k,, n} tal que a pk 0 atinge o máximo 3 Se não existe tal p então SAÍDA: sem solução única ; PARE 4 Se p k então troque E k e E p

119 Algoritmo: Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial Entradas: dimensão do sistema n; matriz A = [a ij ]; vetor b = [b i ] (i, j = 1,, n) Saída: solução x 1,, x n ou mensagem de erro 1 Para k = 1,, n 1, execute o passo Faça p = menor inteiro em {k,, n} tal que a pk 0 atinge o máximo 3 Se não existe tal p então SAÍDA: sem solução única ; PARE 4 Se p k então troque E k e E p 5 Para j = k + 1,, n, execute os passos Faça m = a jk /a kk 7 Faça E j = E j m E k

120 Algoritmo: Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial Entradas: dimensão do sistema n; matriz A = [a ij ]; vetor b = [b i ] (i, j = 1,, n) Saída: solução x 1,, x n ou mensagem de erro 1 Para k = 1,, n 1, execute o passo Faça p = menor inteiro em {k,, n} tal que a pk 0 atinge o máximo 3 Se não existe tal p então SAÍDA: sem solução única ; PARE 4 Se p k então troque E k e E p 5 Para j = k + 1,, n, execute os passos Faça m = a jk /a kk 7 Faça E j = E j m E k 8 Se a nn = 0 então SAÍDA: sem solução única ; PARE 9 Faça x n = b n /a nn 10 Para k = n 1,, 1, execute o passo Faça x k = (b k n j=k+1 a kj x j )/a kk 12 SAÍDA: x 1,, x n ; FIM

121 Observações sobre o Algoritmo Neste algoritmo o pivoteamento parcial é feito nos passos 2 ao 4 Re-escrevemos esses passos em uma forma mais detalhada para a implementação computacional Passos 2 ao 4 (pivoteamento parcial) 1 Faça max = 0 2 Para j = k,, n execute o passo 3 3 Se a jk > max então faça p = j e max = a jk 4 Se max = 0 então SAÍDA: sem solução única ; PARE 5 Se p k execute os passos 6 e 8 6 Para l = k,, n, execute o passo 7 7 Faça aux = a kl, a kl = a pl, a pl = aux 8 Faça aux = b k, b k = b p, b p = aux

122 Método de fatoração LU O método de fatoração LU consiste em escrever a matriz dos coeficientes na forma de um produto de duas matrizes A = LU, onde L é uma matriz triangular inferior e U é uma matriz triangular superior Dessa forma para resolver o sistema Ax = b, primeiro resolvemos o sistema Ly = b e depois o sistema Ux = y Em muitas aplicações práticas é preciso resolver vários sistemas de equações que possuem a mesma matriz dos coeficientes Nessa situação é muito vantajoso usar o método de fatoração LU

123 Eliminação de Gauss e fatoração LU Teorema 1: Fatoração LU Se a etapa de redução no método de eliminação de Gauss sem pivoteamento é realizada com sucesso, então temos que A = LU, onde L é uma matriz triangular inferior com a diagonal principal unitária e os multiplicadores abaixo dessa diagonal e U = A (n 1) é a matriz triangular superior obtida durante a etapa de redução Ou seja, a (0) 11 a (0) 12 a (0) 1n m L =, U = 0 a (1) 22 a (1) 2n m n1 m n,n a nn (n 1)

124 Eliminação de Gauss e fatoração LU (cont) Teorema 2: Fatoração LU com pivoteamento parcial/simples Se a etapa de redução no método de eliminação de Gauss é realizada com sucesso aplicando pivoteamento parcial/simples, então temos que P A = LU, onde L é uma matriz triangular inferior com a diagonal principal unitária e os multiplicadores abaixo da diagonal, U = A (n 1) é a matriz triangular superior obtida durante a etapa de redução e P é uma matriz associada com as permutações de linhas realizadas durante o processo de redução (matriz de permutações) Resolução do sistema Nesse caso, para resolver o sistema Ax = b, primeiro resolvemos o sistema Ly = Pb e em seguida o sistema Ux = y

125 Exemplo: fatoração LU com pivoteamento parcial Resolver o sistema 3x 1 4x 2 + x 3 = 9 x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 3 4x x 2 3x 3 = 2

126 Exemplo: fatoração LU com pivoteamento parcial Resolver o sistema 3x 1 4x 2 + x 3 = 9 x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 3 4x x 2 3x 3 = 2 Começamos fazendo o pivoteamento , {L 1 L 3 } =

127 Exemplo: fatoração LU com pivoteamento parcial Resolver o sistema 3x 1 4x 2 + x 3 = 9 x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 3 4x x 2 3x 3 = 2 Começamos fazendo o pivoteamento , {L 1 L 3 } = Também temos que montar a matriz de permutações Aplicando L 1 L 3 em = 0 0 1

128 Exemplo: fatoração LU com pivoteamento parcial Resolver o sistema 3x 1 4x 2 + x 3 = 9 x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 3 4x x 2 3x 3 = 2 Começamos fazendo o pivoteamento , {L 1 L 3 } = Também temos que montar a matriz de permutações Aplicando L 1 L 3 em = P =

129 Exemplo (cont) Zeramos na primeira coluna e armazenamos os multiplicadores m 21 = 1/4, L L 2 1/4L 1, m 31 = 3/4, L 3 L 3 3/4L 1

130 Exemplo (cont) Zeramos na primeira coluna e armazenamos os multiplicadores m 21 = 1/4, L L 2 1/4L , 1/4 2 11/ m 31 = 3/4, 3/4 4 13/4 L 3 L 3 3/4L 1

131 Exemplo (cont) Zeramos na primeira coluna e armazenamos os multiplicadores m 21 = 1/4, L L 2 1/4L , 1/4 2 11/ m 31 = 3/4, 3/4 4 13/4 L 3 L 3 3/4L 1 Fazemos o pivoteamento na segunda coluna /4 2 11/4, {L 2 L 3 } 3/4 4 13/4

132 Exemplo (cont) Zeramos na primeira coluna e armazenamos os multiplicadores m 21 = 1/4, L L 2 1/4L , 1/4 2 11/ m 31 = 3/4, 3/4 4 13/4 L 3 L 3 3/4L 1 Fazemos o pivoteamento na segunda coluna /4 2 11/4, {L 2 L 3 } 3/4 4 13/4, P /4 4 13/4 1/4 2 11/

133 Exemplo (cont) Zeramos na primeira coluna e armazenamos os multiplicadores m 21 = 1/4, L L 2 1/4L , 1/4 2 11/ m 31 = 3/4, 3/4 4 13/4 L 3 L 3 3/4L 1 Fazemos o pivoteamento na segunda coluna /4 2 11/4, {L 2 L 3 } 3/4 4 13/4, P /4 4 13/4 1/4 2 11/ Zeramos na segunda coluna { } m32 = 1/2, 3/4 4 13/4, L 1/4 2 11/4 3 L 3 + 1/2L 2

134 Exemplo (cont) Zeramos na primeira coluna e armazenamos os multiplicadores m 21 = 1/4, L L 2 1/4L , 1/4 2 11/ m 31 = 3/4, 3/4 4 13/4 L 3 L 3 3/4L 1 Fazemos o pivoteamento na segunda coluna /4 2 11/4, {L 2 L 3 } 3/4 4 13/4, P /4 4 13/4 1/4 2 11/ Zeramos na segunda coluna { } m32 = 1/2, 3/4 4 13/4, L 1/4 2 11/4 3 L 3 + 1/2L /4 4 13/4 1/4 1/2 35/8

135 Exemplo (cont) Obtemos as matrices P = 1 0 0, L = 3/4 1 0, U = / /4 1/ /8 Daí Pb = =

136 Exemplo (cont) Obtemos as matrices P = 1 0 0, L = 3/4 1 0, U = / /4 1/ /8 Daí Pb = = Logo Ly = Pb = y y y 3 = 2 3/4 y 1 + y y 3 = 9 1/4 y 1 1/2 y 2 + y 3 = 3 2 = y = 21/2 35/4

137 Exemplo (cont) Finalmente temos 4 x x 2 3 x 3 = 2 Ux = y = 0 x 1 4 x /4 x 3 = 21/2 0 x x /8 x 3 = 35/4 1 = x = 1 2

138 Considerações computacionais Na implementação computacional do método (e até mesmo quando fazemos as contas a mão) é interessante montar as matrizes L e U em conjunto como foi mostrado no exemplo Isso apresenta várias vantagens Usamos de uma forma eficiente a memória do computador pois nas entradas da matriz inicial que são zeradas, agora armazenam os multiplicadores correspondentes Os multiplicadores são alocados nas suas linhas correspondentes, assim as próximas permutações preservam essa correspondência

139 Considerações computacionais Na implementação computacional do método (e até mesmo quando fazemos as contas a mão) é interessante montar as matrizes L e U em conjunto como foi mostrado no exemplo Isso apresenta várias vantagens Usamos de uma forma eficiente a memória do computador pois nas entradas da matriz inicial que são zeradas, agora armazenam os multiplicadores correspondentes Os multiplicadores são alocados nas suas linhas correspondentes, assim as próximas permutações preservam essa correspondência Do ponto de vista computacional é mais eficiente usar o vetor de permutações no lugar da matriz de permutações Esse vetor pode ser definido por p = P z onde z = [1, 2,, n] t Dessa forma para a j-ésima componente do vetor P b temos (P b) j = b k onde k = p j

140 Parte II Métodos iterativos

141 Métodos iterativos para sistemas lineares Os métodos iterativos são métodos de ponto fixo, em que a função de iteração é linear (ou seja é um polinômio de primeiro grau em relação a qualquer uma das variáveis x 1, x 2,, x n )

142 Métodos iterativos para sistemas lineares Os métodos iterativos são métodos de ponto fixo, em que a função de iteração é linear (ou seja é um polinômio de primeiro grau em relação a qualquer uma das variáveis x 1, x 2,, x n ) Da equivalência A x = b x = C x + g, onde C é uma matriz e g um vetor, obtemos o método iterativo (linear) x (k+1) = C x (k) + g, k 0, para gerar uma sequência de aproximações a partir da aproximação inicial x (0)

143 Métodos iterativos para sistemas lineares Os métodos iterativos são métodos de ponto fixo, em que a função de iteração é linear (ou seja é um polinômio de primeiro grau em relação a qualquer uma das variáveis x 1, x 2,, x n ) Da equivalência A x = b x = C x + g, onde C é uma matriz e g um vetor, obtemos o método iterativo (linear) x (k+1) = C x (k) + g, k 0, para gerar uma sequência de aproximações a partir da aproximação inicial x (0) O objetivo é gerar uma sequência que convirja para a solução do sistema de equações, isso significa que queremos que lim k x(k) = x, onde x é solução do sistema A x = b

144 Métodos iterativos para sistemas lineares (cont) O limite deve ser interpretado como um limite componente a componente, ou seja lim k x(k) = x lim x (k) k j = xj, j = 1,, n

145 Métodos iterativos para sistemas lineares (cont) O limite deve ser interpretado como um limite componente a componente, ou seja lim k x(k) = x lim x (k) k j = xj, j = 1,, n Na prática, podemos fazer apenas um número finito de iterações e por isso precisamos de algum critério de parada

146 Métodos iterativos para sistemas lineares (cont) O limite deve ser interpretado como um limite componente a componente, ou seja lim k x(k) = x lim x (k) k j = xj, j = 1,, n Na prática, podemos fazer apenas um número finito de iterações e por isso precisamos de algum critério de parada Critérios de parada A aproximação x (k) é suficientemente boa quando (k) C1 Ẽ k = max x 1 j n j C2 ɛ k = max 1 j n x (k) j x (k 1) j < ɛ tol x (k 1) j max 1 j n x (k) j < ɛ tol

147 Método de Gauss-Jacobi Usando a decomposição A = L 0 + D + U 0 em que D é uma matriz diagonal, L 0 é triangular inferior com diagonal principal nula e U 0 é triangular superior com diagonal principal nula, chegamos em A x = b (L 0 + D + U 0 )x = b A x = b D x + (L 0 + U 0 )x = b A x = b D x = b (L 0 + U 0 )x A x = b x = D 1 {b (L 0 + U 0 )x}

148 Método de Gauss-Jacobi Usando a decomposição A = L 0 + D + U 0 em que D é uma matriz diagonal, L 0 é triangular inferior com diagonal principal nula e U 0 é triangular superior com diagonal principal nula, chegamos em A x = b (L 0 + D + U 0 )x = b A x = b D x + (L 0 + U 0 )x = b A x = b D x = b (L 0 + U 0 )x A x = b x = D 1 {b (L 0 + U 0 )x} Método de Gauss-Jacobi A partir da aproximação inicial x (0) obtemos novas aproximações calculando x (k+1) = D 1 { b (L 0 + U 0 )x (k)}, k 0

149 Método de Gauss-Jacobi (cont) Observações O método pode ser aplicado se D 1 está bem definida, ou seja se D é não singular Isso acontece se e somente se a ll 0, para l = 1,, n Nesse caso temos C = D 1 (L 0 + U 0 ) e g = D 1 b Além disso 1 0 a 12 a 1n a L 0 +U 0 = a 21 0 an 1,n, 1 D 1 = 0 a 22 0 a n1 a n,n a nn

150 Método de Gauss-Jacobi (cont) Logo o método pode ser escrito por extenso como x (k+1) 1 = b 1 a 12 x (k) 2 a 1n x n (k) = 1 n b 1 a 1j x (k) j a 11 x (k+1) l x (k+1) n a 11 j=2 = b l a l1 x (k) 1 a l,l 1 x (k) l 1 a l,l+1x (k) l+1 a lnx n (k) a ll = 1 a ll b l n a lj x (k) j j=1 j l = b n a n1 x (k) 1 a n,n 1 x (k) n 1 = 1 n 1 b n a nn a nn j=1 a nj x (k) j