Introdução aos Métodos Numéricos
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- Cláudia Brunelli de Vieira
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1 Introdução aos Métodos Numéricos Instituto de Computação UFF Departamento de Ciência da Computação Otton Teixeira da Silveira Filho
2 Conteúdo Erros e Aproximações Numéricas Sistemas de Equações Lineares. Métodos diretos Interpolação Ajuste de Curvas Zeros de Função Sistemas de Equações Lineares. Métodos Iterativos Integração Numérica Introdução à Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias
3 Conteúdo Sistemas de Equações Lineares. Métodos diretos
4 Aqui abordaremos resolver um sistema A x= b supondo ser possível fazer a seguinte fatoração onde L e U são A=LU
5 Matrizes L e U L=( l l 31 l l 41 l 42 l l n 1,1 l n 1,2 l n 1,3 l n 1,4 1 0 l n,1 l n,2 l n,3 l n,4 l n,n 1 U =( u11 u12 u13 u14 u1,n 1 u1,n 0 u 22 u 23 u 24 u 2,n 1 u 2,n 0 0 u 33 u 34 u 3,n 1 u 3,n u 44 u 4,n 1 u 4,n u n 1,n 1 u n 1,n u n, n podemos demonstrar que se A tem det(a 0 então tal fatoração sempre é possível, embora permutações de linhas possam ser necessárias
6 Um dos que primeiro estudaram as questões numéricas da fatoração LU foi Alan Turing, considerado um dos pais da computação. Ele apresenta a fatoração LU num artigo de 1948 onde são analizados os erros gerados no processo de eliminação gaussiana.
7 Fatoração =( a 21 a 22 a 23 a 24 a 2,n 1 a 2,n a 31 a 32 a 33 a 34 a 3,n 1 a 3,n a 41 a 42 a 43 a 44 a 4, n 1 a 4, n a n 1,1 a n 1,2 a n 1,3 a n 1,4 a n 1,n 1 a n 1,n a n,1 a n,2 a n,3 a n,4 a n,n 1 a n,n ( a11 a12 a13 a14 a1,n 1 ann u12 u13 u14 u1,n 1 u1, n l u 22 u 23 u 24 u 2,n 1 u 2, n l 31 l u 33 u 34 u 3,n 1 u 3, n l 41 l 42 l u 44 u 4,n 1 u 4, n l n 1,1 l n 1,2 l n 1,3 l n 1, u n 1, n 1 u n 1,n l n,1 l n,2 l n,3 l n,4 l n,n 1 1(u u n,n Você consegue achar a fatoração aplicando o que você sabe sobre multiplicação de matrizes.
8 Fatoração =( a 21 a 22 a 23 a 24 a 2,n 1 a 2,n a 31 a 32 a 33 a 34 a 3,n 1 a 3,n a 41 a 42 a 43 a 44 a 4, n 1 a 4, n a n 1,1 a n 1,2 a n 1,3 a n 1,4 a n 1,n 1 a n 1,n a n,1 a n,2 a n,3 a n,4 a n,n 1 a n,n ( a11 a12 a13 a14 a1,n 1 ann u12 u13 u14 u1,n 1 u1, n l u 22 u 23 u 24 u 2,n 1 u 2, n l 31 l u 33 u 34 u 3,n 1 u 3, n l 41 l 42 l u 44 u 4,n 1 u 4, n l n 1,1 l n 1,2 l n 1,3 l n 1, u n 1, n 1 u n 1,n l n,1 l n,2 l n,3 l n,4 l n,n 1 1(u u n,n Se você multiplicar a primeira linha de L por cada coluna de U você obterá a 11 =u 11 ;a 12 =u 12 ;a 13 =u 13 ; ;a 1 n =u 1 n
9 Fatoração =( a 21 a 22 a 23 a 24 a 2,n 1 a 2,n a 31 a 32 a 33 a 34 a 3,n 1 a 3,n a 41 a 42 a 43 a 44 a 4, n 1 a 4, n a n 1,1 a n 1,2 a n 1,3 a n 1,4 a n 1,n 1 a n 1,n a n,1 a n,2 a n,3 a n,4 a n,n 1 a n,n ( a11 a12 a13 a14 a1,n 1 ann u12 u13 u14 u1,n 1 u1, n l u 22 u 23 u 24 u 2,n 1 u 2, n l 31 l u 33 u 34 u 3,n 1 u 3, n l 41 l 42 l u 44 u 4,n 1 u 4, n l n 1,1 l n 1,2 l n 1,3 l n 1, u n 1, n 1 u n 1,n l n,1 l n,2 l n,3 l n,4 l n,n 1 1(u u n,n Se agora, sabendo a primeira linha de U, multiplicar as linhas de L pela primeira coluna de U você obterá a 21 =l 21 u 11 ;a 31 =l 31 u 11 ;a 41 =l 41 u 11 ; ;a n 1 =l n 1 u 11
10 Obtemos u 1 j =a 1 j ; j=1, n e l i1 = a i 1 u 11 ;i=2, n
11 Fatoração =( a 21 a 22 a 23 a 24 a 2,n 1 a 2,n a 31 a 32 a 33 a 34 a 3,n 1 a 3,n a 41 a 42 a 43 a 44 a 4, n 1 a 4, n a n 1,1 a n 1,2 a n 1,3 a n 1,4 a n 1,n 1 a n 1,n a n,1 a n,2 a n,3 a n,4 a n,n 1 a n,n ( a11 a12 a13 a14 a1,n 1 ann u12 u13 u14 u1,n 1 u1, n l u 22 u 23 u 24 u 2,n 1 u 2, n l 31 l u 33 u 34 u 3,n 1 u 3, n l 41 l 42 l u 44 u 4,n 1 u 4, n l n 1,1 l n 1,2 l n 1,3 l n 1, u n 1, n 1 u n 1,n l n,1 l n,2 l n,3 l n,4 l n,n 1 1(u u n,n Multipliquemos a segunda linha de L pelas colunas de U a 22 =l 21 u 12 +u 22 ;a 23 =l 21 u 13 +u 23 ;a 24 =l 21 u 14 +u 24 ; ; a 2 n =l 21 u 1 n +u 2 n
12 Obtemos u 2 j =a 2 j u 1 j l 21 ; j=2, n Observe que neste cálculo não usamos os valores da primeira linha de A. É como se eles não mais existissem.
13 Fatoração =( a 21 a 22 a 23 a 24 a 2,n 1 a 2,n a 31 a 32 a 33 a 34 a 3,n 1 a 3,n a 41 a 42 a 43 a 44 a 4, n 1 a 4, n a n 1,1 a n 1,2 a n 1,3 a n 1,4 a n 1,n 1 a n 1,n a n,1 a n,2 a n,3 a n,4 a n,n 1 a n,n ( a11 a12 a13 a14 a1,n 1 ann u12 u13 u14 u1,n 1 u1, n l u 22 u 23 u 24 u 2,n 1 u 2, n l 31 l u 33 u 34 u 3,n 1 u 3, n l 41 l 42 l u 44 u 4,n 1 u 4, n l n 1,1 l n 1,2 l n 1,3 l n 1, u n 1, n 1 u n 1,n l n,1 l n,2 l n,3 l n,4 l n,n 1 1(u u n,n Multipliquemos linhas de L pela segunda coluna de U a 32 =l 31 u 12 +l 32 u 22 ; a 42 =l 41 u 12 +l 42 u 22 ; ; a n 2 =l n 1 u 12 +l n 2 u 22
14 Obtemos l i2 = a i 2 l i 1 u 12 u 22 ;i=3, n Aqui não usamos os valores da primeira linha de A nem da primeira coluna de A. Eles não são mais necessários.
15 Fatoração =( a 21 a 22 a 23 a 24 a 2,n 1 a 2,n a 31 a 32 a 33 a 34 a 3,n 1 a 3,n a 41 a 42 a 43 a 44 a 4, n 1 a 4, n a n 1,1 a n 1,2 a n 1,3 a n 1,4 a n 1,n 1 a n 1,n a n,1 a n,2 a n,3 a n,4 a n,n 1 a n,n ( a11 a12 a13 a14 a1,n 1 ann u12 u13 u14 u1,n 1 u1, n l u 22 u 23 u 24 u 2,n 1 u 2, n l 31 l u 33 u 34 u 3,n 1 u 3, n l 41 l 42 l u 44 u 4,n 1 u 4, n l n 1,1 l n 1,2 l n 1,3 l n 1, u n 1, n 1 u n 1,n l n,1 l n,2 l n,3 l n,4 l n,n 1 1(u u n,n Multipliquemos a terceira linha de L pelas colunas de U a 33 =l 31 u 13 +l 32 u 23 +u 33 ;a 34 =l 31 u 14 +l 32 u 24 +u 34 ; ; a 3 n =l 31 u 1 n +l 32 u 2 n +u 3 n
16 Obtemos 2 u 3 j =a 3 j l 31 u 1 j l 32 u 2 j =a 3 j k =1 l 3 k u kj ; j=3,n E aqui não necessitamos das duas primeiras linhas de A nem das duas primeiras colunas.
17 Fatoração =( a 21 a 22 a 23 a 24 a 2,n 1 a 2,n a 31 a 32 a 33 a 34 a 3,n 1 a 3,n a 41 a 42 a 43 a 44 a 4, n 1 a 4, n a n 1,1 a n 1,2 a n 1,3 a n 1,4 a n 1,n 1 a n 1,n a n,1 a n,2 a n,3 a n,4 a n,n 1 a n,n ( a11 a12 a13 a14 a1,n 1 ann u12 u13 u14 u1,n 1 u1, n l u 22 u 23 u 24 u 2,n 1 u 2, n l 31 l u 33 u 34 u 3,n 1 u 3, n l 41 l 42 l u 44 u 4,n 1 u 4, n l n 1,1 l n 1,2 l n 1,3 l n 1, u n 1, n 1 u n 1,n l n,1 l n,2 l n,3 l n,4 l n,n 1 1(u u n,n Multipliquemos linhas de L pela terceira coluna de U a 43 =l 41 u 13 +l 42 u 23 +l 43 u 33 ; ; a n 3 =l n 1 u 13 +l n 2 u 23 +l n 3 u 33
18 Obtemos l i3 = a i3 l i 1 u 13 l i 2 u 23 u 33 = 1 u 33 [ 2 a i 3 k =1 ] l ik u ;i=4, n k 3 Novamente não faremos referência as duas primeiras linhas de A e as duas primeiras colunas.
19 O algoritmo está começando a ficar nítido... e para i=2 até n u 1 j =a 1 j ; j=1, n l ij = 1 u jj [ j 1 a ij k=1 ] l ik u ;i> j kj i 1 u ij =a ij k =1 l ik u kj ; j>1
20 Pensando como computeiro... Pense bem... Nós humanos necessitamos de organizar um pouco o mundo. Mas os computadores já nascem ordenados. Eles não necessitam organizar a fatoração em duas matrizes separadas pois o algoritmo não confunde os dados, a não ser que o programador falhe.
21 Pensando como computeiro... Observe que não necessitamos de guardar no computador a fatoração em duas matrizes separadas =( a 21 a 22 a 23 a 24 a 2,n 1 a 2,n a 31 a 32 a 33 a 34 a 3,n 1 a 3,n a 41 a 42 a 43 a 44 a 4, n 1 a 4, n a n 1,1 a n 1,2 a n 1,3 a n 1,4 a n 1,n 1 a n 1,n a n,1 a n,2 a n,3 a n,4 a n,n 1 a n,n ( a11 a12 a13 a14 a1,n 1 ann u12 u13 u14 u1,n 1 u1, n l u 22 u 23 u 24 u 2,n 1 u 2, n l 31 l u 33 u 34 u 3,n 1 u 3, n l 41 l 42 l u 44 u 4,n 1 u 4, n l n 1,1 l n 1,2 l n 1,3 l n 1, u n 1, n 1 u n 1,n l n,1 l n,2 l n,3 l n,4 l n,n 1 1(u u n,n O algoritmo que se segue aproveita o espaço que não armazena mais valores necessários à fatoração
22 Algoritmo: Para i=1 até n Para j 1 até i 1 s a ij Para k=1, j 1 s s a ik a kj Para a ij s/a jj j 1 até n Também é uma algoritmo ingênuo s a ij Para k=1 até i 1 s s a ik a kj a ij s
23 Mas e a resolução do sistema? Observe que A x= b ( LU x= b L y= b onde U x= y o que nos deixa com dois SEL L y= b U x= y
24 Mas os sistemas são triangulares e de custo baixo O(n 2 E quanto custa a fatoração?
25 Mas os sistemas são triangulares e de custo baixo O(n 2 E quanto custa a fatoração? O(n 3! O custo computacional total da resolução do SEL é o mesmo que a eliminação gaussiana Então, para que isto?
26 Antes de responder vamos para um exemplo
27 Seja o sistema ( x=( que é conhecido nosso...
28 Fatoremos a matriz ( =( l l 31 l l 41 l 42 l 43 1 multiplicando os valores das matrizes. Primeira linha de L pelas colunas de U ( u11 u12 u13 u14 0 u 22 u 23 u u 33 u u 44 u 11 =a 11 =2 ;u 12 =a 12 =4 ;u 13 =a 14 = 1;u 14 =a 14 =1
29 ( =( l l 31 l l 41 l 42 l 43 1 Multiplicando as linhas de L pela primeira coluna de U. Os valores da segunda coluna da matriz L serão ( u 22 u 23 u u 33 u u 44 4=2l 21 ;6=2l 31 ;2=2l 41 l 21 = 2 ;l 31 =3;l 41 =1
30 ( =( l l 42 l 43 1 Multiplicando a segunda linha de L pelas colunas de U. Os valores da segunda linha da matriz U serão ( u 22 u 23 u u 33 u u 44 1= 2 4+u 22 ;6=( 2 ( 1+u 23 ;2= 2 1+u 24 u 22 =9;u 23 =4 ;u 24 =4
31 ( =( l l 42 l 43 1 Multiplicando as linhas de L pela segunda coluna de U. Os valores da segunda coluna da matriz L serão ( u 33 u u 44 3=3 4+9l 32 ;6=1 4+9l 42 l 32 = 1;l 42 =2/9
32 ( =( /9 l 43 1 Multiplicando a terceira linha de L pelas colunas de U. Os valores da terceira linha da matriz U serão ( u 33 u u 44 3=3 ( u 33 ;1= u 34 u 33 =10 ;u 34 =2
33 ( =( /9 l 43 1 Multiplicando as linhas de L pela terceira coluna de U. Os valores da terceira coluna da matriz L serão ( u 44 2= 1 1+2/9 4+10l 43 l 43 =19/90
34 ( =( /9 19/90 1 Multiplicando a quarta linha de L pelas colunas de U. Os valores da quarta linha da matriz U serão ( u 44 4=1 1+2/ /90 2+u 44 u 44 =76/ 45
35 Matriz fatorada ( =( /9 19/90 1 Observe a matriz final da eliminação gaussiana: ela é idêntica à matriz U obtida. Se você olhar os valores dos m's da eliminação gaussiana, irá encontrá-los com os sinais trocados na matriz L. Não é coincidência... ( / 45
36 Observe ainda que resolvemos 16 equações de uma variável Fatorar uma matriz nxn é equivalente a resolver equações de uma variável n 2
37 Resolvendo o sistema ( x=(
38 Resolvendo o sistema ( =( /9 19/90 1 ( / 45
39 Na fatoração LU o sistema original é transformado em dois sistemas A x= b LU x= b L y= b e U x= y ou seja, resolveremos primeiro ( y=( 1 2/9 19/
40 Calculemos cada valor do vetor y como abaixo ( y=( 1 2/9 19/ y 1 =4 ; 2 y 1 + y 2 = y 2 =9 y 2 =17 3 y 1 y 2 + y 3 = y 3 = 1 y 3 =4 y 1 +2/9 y 2 +19/90 y 3 + y 4 =12 4+2/ /90 4+ y 4 =12 y 4 =152/ 45
41 O vetor solução da primeira equação será y=( 152/45 que é o vetor constante no final da eliminação gaussiana.
42 O segundo sistema U x= y será ( x=( /45 152/ 45 que é equivalente a fazer a retrosubstituição na eliminação gaussiana. Ou seja,
43 O segundo sistema U x= y será ( x=( /45 152/ 45 x 4 = =2 10 x 3 +2 x 4 =4 10 x =4 x 3 = =0 9 x 2 +4 x 3 +4 x 4 =17 9 x 2 = x 2 = 9 9 =1 2 x 1 +4 x 2 x 3 +x 4 =4 2 x 1 = x 1 = 2 2 = 1
44 O vetor solução do problema será x=( Observe que resolvemos 8 equações de uma variável para obtermos a solução. Se fosse um sistema nxn seriam 2n equações de uma variável
45 Vimos que resolver por fatoração LU é equivalente a resolver n 2 +2n sistemas de equações de uma variável Vimos que há uma equivalência entre a resolução por fatoração LU e eliminação gaussiana No entanto, a fatoração LU é um pouco menos sensível à instabilidade numérica em relação à eliminação gaussiana. Além disso, a fatoração LU diminui o custo computacional de alguns problemas.
46 Retornemos um pouco...
47 Método dos Resíduos No método dos resíduos temos que resolver uma sequência de k SEL A z 1 = r 1 ; A z 2 = r 2 ; A z 3 = r 3 ; A z k = r k Se fizermos eliminação gaussiana em todos os sistemas o custo será alto. No caso, aproximadamente n 3 k.
48 Método dos Resíduos No entanto, se fizermos por fatoração LU, o primeiro sistema terá custo O(n 3 mas os demais sistemas o custo será de aproximadamente n 2 k. O custo total será bem menor...
49 Um Exemplo Um outro problema: Inversão de matrizes Se det(a é não nulo, então se AB=I diremos que B é a matriz inversa de A. Observe que este é um sistema de equações cuja a incógnita não é um vetor mas uma matriz
50 Um Exemplo Vamos ao velho truque: Resolveremos este problema por multiplicação de matrizes...
51 Um Exemplo O sistema abaixo pode ser escrito como AB=I ( a11 a12 a13 a14 a1,n 1 ann a 21 a 22 a 23 a 24 a 2,n 1 a 2,n a 31 a 32 a 33 a 34 a 3,n 1 a 3,n a 41 a 42 a 43 a 44 a 4, n 1 a 4, n ( a n 1,1 a n 1,2 a n 1,3 a n 1,4 a n 1,n 1 a n 1,n a n,1 a n,2 a n,3 a n,4 a n,n 1 a n,n b11 b12 b13 b14 b1, n 1 b1n =( b 21 b 22 b 23 b 24 b 2,n 1 b 2n b 31 b 32 b 33 b 34 b 3,n 1 b 3n b 41 b 42 b 43 b 44 b 4,n 1 b 4, n b n 1,1 b n 1,2 b n 1,3 b n 1,4 b n 1,n 1 b n 1,n b n,1 b n,2 b n,3 b n,4 b n,n 1 l nn
52 Um Exemplo ( a11 a12 a13 a14 a1,n 1 ann a 21 a 22 a 23 a 24 a 2,n 1 a 2,n a 31 a 32 a 33 a 34 a 3,n 1 a 3,n a 41 a 42 a 43 a 44 a 4, n 1 a 4, n ( a n 1,1 a n 1,2 a n 1,3 a n 1,4 a n 1,n 1 a n 1,n a n,1 a n,2 a n,3 a n,4 a n,n 1 a n,n b11 b12 b13 b14 b1, n 1 b1n =( b 21 b 22 b 23 b 24 b 2,n 1 b 2n b 31 b 32 b 33 b 34 b 3,n 1 b 3n b 41 b 42 b 43 b 44 b 4,n 1 b 4, n b n 1,1 b n 1,2 b n 1,3 b n 1,4 b n 1,n 1 b n 1,n b n,1 b n,2 b n,3 b n,4 b n,n 1 l nn Mas este sistema pode ser entendido como a matriz A multiplicada por cada coluna de B resultando em cada coluna de I
53 Um Exemplo Ou seja, A b 1 = I 1 A b 2 = I 2 A b 3 = I 3 A b n = I n onde são as k-ésimas colunas de B e I. b k e I k
54 Um Exemplo Inverter uma matriz corresponde a resolvermos n sistemas de equações lineares O números de operações necessárias para inverter uma matriz usando fatoração LU é de aproximadamente 4n 3 /3, quatro vezes mais que a eliminação gaussiana ou a fatoração LU. O algoritmo de Gauss-Jordan para inversão de matrizes faz isto de maneira compacta
55 Um Exemplo Ou seja, em geral não é uma boa ideia resolver um sistema invertendo a matriz associada ao sistema pois o custo é quatro vezes maior que por eliminação ou fatoração LU. O maior número de operações também gerará mais ruído numérico. Mesmo assim, há casos especiais que inverter pode ser interessante.
56 Sistemas de equações lineares Mas continuamos com a instabilidade numérica da eliminação gaussiana e da fatoração LU Há como evitar? Não... Mas podemos diminuir o desastre...
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