Introdução aos Sistemas Lineares

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1 Introdução aos Sistemas Lineares Profa Cynthia de O Laga Ferreira Métodos Numéricos e Computacionais I - SME005 Frequentemente, em todas as áres científicas, precisamos resolver problemas na forma Ax = b, onde A éumamatrizquadradadedimensãon n cujos elementos a ij são reais ou complexos e x e b são vetores colunas de dimensão n, x éumvetor desconhecido e b éumvetordado Aequaçãoacimaseescrevetambém 8 >< >: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b a n x + a n x + a nn x n = b n Antes de apresentarmos os métodos e algorítimos de solução deste problema, vejamos algumas aplicações

2 Aplicações Análise de fluxo em redes Vamos representar o problema representado pela rede da figura acima através de um sistema linear 8 >< >: x + x = 0 x x = 0 x + x = 0 x x 5 = 0 x +x 5 = 0 Matricialmente, este problema pode ser representado por x x x x 5 = x 5 0 Usando MATLAB, podemos encontrar a solução deste sistema pelo operador de divisão à esquerda

3 > > A = [ 0 0 0; 0 0-0; 0 0 0; ; ]; > > b = [0; -0; 0; -0; -0]; > > x = A\b x = O que significa a mensagem de warning dada pelo MATLAB? Ajuste de curvas Suponha que dispomos de n pontos do plano xy (x,y ), (x,y ),,(x n,y n ) representando uma coleção de dados Gostaríamos de encontrar um polinômio de grau n, p(x) =a 0 +a x+a x ++a n x n cujo gráfico passe por estes pontos Este procedimento é chamado de ajuste de curvas Para encontrar os n coeficientes de p(x), devemos substituir cada um dos n pontos na função polinomial a fim de obtermos n equações nas n variáveis a 0,a,a n

4 8 >< >: a 0 + a x + +a n x n = y a 0 + a x + +a n x n = y a 0 + a x n + +a n x n n = y n Exemplo : Encontre o polinômio de grau cujo gráfico passa pelos pontos (, ), (, 5), (0, ), (, ) e (, 0) Observação: Regra de Cramer OsistemaAx = b possui solução única se e somente se a matriz A énão singular Desta forma, a solução pode ser calculada usando a regra de Cramer x i = det(a i )/det(a), com i =,,namatriza i éobtidaapartirdamatriza substituindo sua i ésima coluna por b Se computarmos os n+ determinantes a usando a fórmula de Lagrange, na qual det(a) = P se n = n j= ija ij n =,n, onde ij =( ) i+j det(a ij ), sendo A ij amatrizobtidaeliminando-seai ésima linha e a j ésima coluna da matriz A, (n + )! operações são necessárias Métodos Diretos Consideremos, novamente, o problema Ax = b, onde A éumamatrizquadradadedimensãon n cujos elementos a ij são reais ou complexos e x e b são vetores colunas de dimensão n, x éumvetordesconhecido e b éumvetordado Vamosestudarumaclassedemétodosconhecidacomo métodos diretos Taismétodosnospermitemobterasoluçãoexatadoproblema, supondo não haver erros de arredodamento ou quaisquer outros Matrizes Triangulares Suponhamos que desejamos resolver o sistema Ax = b, no qual a matriz A M n (R) étriangularsuperior Nestecaso,osistemaaserresolvidopodeser escrito na forma 8 >< >: a x + a x + + a n x n = b 0 a x + + a n x n = b 0 0 a nn x n = b n

5 Se a ii 6=0, para todo i =,,n,asoluçãoécalculadaatravésdoalgoritmo abaixo Algoritmo de substituições regressivas Entrada: b i, i=,,n e a ij, i,j =,,n Saída: x i, i=,,n x n = b n /a nn Para i de P n- até x i = b i nj=i+ a ijx j /a ii Exercício: escreva uma função MATLAB que realiza o algoritmo de substituições regressivas para resolver o sistema Ax = b, sendo dados amatrizquadradatriangularsuperiora e o vetor b O protótipo da função deverá ser x = backsub(a,b) Analogamente, podemos resolver o sistema Ax = b, em que a matriz A M n (R) étriangularinferior Nestecaso,osistemaaserresolvidopodeserescritona forma 8 >< >: a x = b a x + a x 0 0 = b a n x + a n x + a nn x n = b n Se a ii 6=0, para todo i =,,n,asoluçãoécalculadaatravésdoalgoritmo de substituição regressiva Algoritmo de substituições progressivas Entrada: b i, i=,,n e a ij, i,j =,,n Saída: x i, i=,,n x = b /a Para i de P até n n x i = b i j= a ijx j /a ii Exercício: repita o exercício anterior e escreva uma função MATLAB que realiza o algoritmo de substituições progressivas para resolver o sistema Ax = b, sendo dados a matriz quadrada triangular inferior A e o vetor b O protótipo da função deverá ser x = forwsub(a,b) 5

6 Substituição P rogressiva : n Ordem de Complexidade: Substituição Regressiva : n Decomposição LU (TEOREMA) Seja A uma matriz quadrada de ordem n e A k o menor principal k Se det(a k ) 6= 0, para k =,,,n Então existe uma única matriz triangular inferior L e uma única matriz triangular superior U tais que A = LU Definição: (Menores Principais A k ) São matrizes definidas pelas k primeiras linhas e colunas de A A = 6 a a a n a a a n a n a n a nn 5 = 6 l l n l n 6 5 u u u n u u n u nn 5 = LU Resolver o sistema Ax = b éequivalentearesolverossistemasly = b e Ux = y, consecutivamente, onde y éumvetortemporário 6 l l n l n 0 B y y y n 0 C A = b b b n C A Substituição P rogressiva 6 u u u n u u n u nn 0 B x x x n 0 C A = y y y n C A Substituição Regressiva 6

7 Pseudo-Código Xi u ij = a ij l ik u kj k= l ij = a ij P j k= l iku kj u jj Função Matlab [L,U] = ludecomp(a) % Decomposicao LU sem pivoteamento % Input:Matriz quadrada A(nxn) % Output:Matrizes triangulares inferior L e superior U de A = LU function [L,U] = ludecomp(a) n=size(a,); L=eye(n); U=zeros(n); for k=:n for j=k:n U(k,j)=A(k,j)-L(k,:k-)*U(:k-,j); end for i=k+:n L(i,k)=(A(i,k)-L(i,:k-)*U(:k-,k))/U(k,k); end end Ordem de Complexidade: Decomposição LU : n Função Matlab x = resolve_lu(a,b) % Resolver sistema Ax = b, usando decomposição LU % Input:Matriz quadrada A e vetor b % Output:Vetor solução x function x = resolve_lu(a,b) [L,U] = ludecomp(a); y = forwsub(l,b); x = backsub(u,y);

8 Exercício: Seja A = 5 (a) Verifique se A satisfaz às condições da decomposição LU (b) Decompor A em LU (c) Calcular o determinante de A usando a decomposição obtida (d) Resolver o sistema Ax = b, ondeb =(0,, 5) t Decomposição De Cholesky (COROLÁRIO) Se A é simétrica e positiva definida, então A pode ser decomposta unicamente no produto HH T, onde H é uma matriz triangular inferior com elementos diagonais positivos Definição: (Positiva definida) Uma matriz simétrica A é positiva definida se para todo vetor não nulo x R n,tem-sex T Ax > 0 5 A = 6 a a a n a a a n a n a n a nn 5 = 6 h h h h n h n h nn 6 5 h h h n h h n h nn 5 = HHT Pseudo-Código v u h kk = X k t akk h ks s= h kj = a kj P j s= h ksh js h jj 8

9 Função Matlab H = choldecomp(a) % Decomposicao de Cholesky % Input:Matriz simetrica e positiva definida A(nxn) % Output:Matriz triangular inferior H function H = cholcomp(a) n=size(a,); H=tril(A); for k=:n- H(k,k)=sqrt(H(k,k)); H(k+:n,k)=H(k+:n,k)/H(k,k); for j=k+:n H(j:n,j)=H(j:n,j)-H(j:n,k)*H(j,k); end end H(n,n)=sqrt(H(n,n)); Ordem de Complexidade: Cholesky : n Função Matlab x = resolve_chol(a,b) % Resolver sistema Ax = b, usando decomposição Cholesky % Input:Matriz quadrada A e vetor b % Output:Vetor solução x function x = resolve_chol(a,b) H = choldecomp(a); y = forwsub(h,b); x = backsub(h,y); Exercício: Seja A = (a) Verifique se A satisfaz às condições do método de Cholesky (b) Decompor A em HH T (c) Calcular o determinante de A usando a decomposição obtida 9

10 (d) Resolver o sistema Ax = b, ondeb =(0, 6, 5) t 0