Actividade Formativa 1

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1 Actividade Formativa 1 Resolução 1. a. Dada a função y 3+4x definida no conjunto A {x R: 2 x < 7} represente graficamente A e a sua imagem; exprima a imagem de A como um conjunto. b. Dada a função y 3 5x definida no conjunto B {x R: 4 x 4} represente graficamente B e a sua imagem; exprima a imagem de B como um conjunto. a. No caso da função y 3 + 4x a representação gráfica (ver a figura 1 é uma recta restringida ao intervalo [ 2 7[ no eixo dos x e a imagem é o intervalo (no eixo dos y [ 11 25[ {y R: 11 x < 25}. y 20 y 3+4x x 10 Figura 1: A recta y 3 + 4x. b. No caso da função y 3 5x a representação gráfica (ver a figura 2 é uma recta restringida ao intervalo [ 4 4] no eixo dos x e a imagem é o intervalo [ 24 17] {y R: 24 x 17}. -1-

2 20 y x 10 y 3 5x 20 Figura 2: A recta y 3 5x. 2. Simplifique as seguintes expressões utilizando as regras I a VII: a. ( x 3 n x 4 x R n N. b. (x n 2 x n x 2 x R n N. c. a 2 b 2 c 2 a b c R. d. 2 n 2 m 2 p n m p Q. a. ( x 3 n x 4 x 3n x 4 x 3n 4 utilizando as regras VI e I. b. (x n 2 x n x 2 x 2n x n x 2 x 2n x n+2 x 2n n+2 x n+2 utilizando as regras VI e I. c. a 2 b 2 c 2 (ab 2 c 2 (abc 2 utilizando a regra VII. d. 2 n 2 m 2 p 2 n+m 2 p 2 n+m+p utilizando a regra I. 3. Dado o modelo de mercado calcule P e Q. Q d Q d Q s Q s 35 7P 9 + 6P Para calcular os pontos de equilíbrio usamos as equações que definem a procura Q d e a oferta Q s para obter os possíveis valores de P. -2-

3 Assim temos Q d Q s 35 7P 9 + 6P P P e portanto obtemos P e substituindo em qualquer das equações temos Q 35 7P (ou Q 9 + 6P ou seja Q Dado o modelo de mercado Q d Q s Q d 25 5P Q s 9 + 6P 2 calcule P e Q. Como no caso anterior para calcular os pontos de equilíbrio usamos as equações que definem a procura Q d e a oferta Q s para obter os possíveis valores de P. Assim temos Q d Q s 25 5P 9 + 6P 2 6P 2 + 5P 34 0 P 2 ou P E portanto neste caso temos 2 valores possíveis para P. Mas como por definição P representa um preço só os valores positivos de P é que fazem sentido logo a única solução possível é P 2 a que corresponde Q As funções de procura e oferta de um modelo de mercado de duas mercadorias são as seguintes: { { Q d1 24 2P 1 + 3P 2 Q d P 1 P 2 e Q s P 1 Q s P 2 calcule Pi e Q i para (i 1 2. Neste caso temos duas mercadorias relacionadas uma com a outra o que corresponde a um modelo um pouco mais realista e portanto se houver equilíbrios eles resultam da solução Q 1 de Q d1 Q s1 e Q 2 de Q d2 Q s2 em função de P 1 e de P 2. Neste caso tem-se: e Q d1 Q s1 24 2P 1 + 3P P 1 8P 1 3P 2 27 Q d2 Q s P 1 P P 2 P 1 + 4P

4 Obtemos assim um sistema de 2 equações para as incógnitas P 1 e P 2 que é um sistema linear { P 1 + 4P P 1 3P 2 27 e que portanto pode ser resolvido com uma simples substituição obtendo-se neste caso uma solução única P 1 6 e P 2 7. É importante observar que estes valores representam preços e portanto se não forem positivos algo está mal com o nosso modelo. A partir destes valores obtemos os valores de Q 1 e de Q 2 por substituição Q 1 33 e Q Considere as matrizes X Y ( e Z ( a. Diga quais dos 6 produtos XY Y X XZ ZX Y Z e ZY estão definidos. b. Calcule todos os possíveis produtos referidos na alínea anterior. c. Será possível calcular o produto das três matrizes dadas? Justifique. a. Dada uma matriz com m linhas e n colunas ou seja uma matriz m n é possível multiplicá-la à esquerda por uma matriz com m colunas e à direita por uma matriz com n linhas. Neste caso X é uma matriz 3 3 Y é uma matriz 2 3 e Z é uma matriz 2 2 e portanto os únicos produtos possíveis são Y X e ZY. b. Tem-se ( Y X e ( 6 7 ZY ( ( ( ( ( c. Tendo em conta o que vimos na 1ª alínea a única maneira de multiplicar X Y e Z é fazer o produto pela ordem ZY X; utilizando a alínea anterior tem-se ( ZY X (ZY X ( (

5 7. Dada a matriz A será que a última linha se pode escrever como combinação linear das duas primeiras? Justique e em caso afirmativo determine os coeficientes da combinação linear. A possibilidade de uma qualquer linha (ou coluna se poder escrever como combinação linear das outras duas depende sómente do determinante de A: se o determinante de A é zero então é possível se é diferente de zero é impossível. Neste caso tem-se expandindo o determinante ao longo da 1ª coluna por exemplo det A ( ( ( Assim é possível determinar a e b não (simultaneamente nulos tais que ou seja ( a( + b(4 5 6 a + 4b 7 2a + 5b 8 3a + 6b 9. Estas 3 equações contêm as 2 incógnitas a e b e podem ser resolvidas obtendo o valor de a em função de b a partir da 1ª equação (a 7 4b e substituindo numa das outras duas (2(7 4b + 5b 8 ou 3(7 4b + 6b 9 obtendo-se b 2 e a Ou seja a última linha da matriz é igual a duas vezes a segunda menos a primeira. 8. Dada uma matriz quadrada (n n A e k R determine o determinante da matriz ka à custa do determinante de A. Sejam [a ij ] i j n as entradas da matriz A. Então as entradas da matriz ka são por definição [ka ij ] i j n o que corresponde a multiplicar cada linha da matriz A pela constante k. Aplicando a propriedade III dos determinantes sucessivamente a cada uma das n linhas da matriz ka obtemos a constante k k (n vezes e portanto det ka k n det A. det ka ka 11 ka 12 ka 1n ka 21 ka 22 ka 2n ka n1 ka n2 ka nn k ka 21 ka 22 ka 2n ka n1 ka n2 ka nn e portanto ao fim de (n-1 linhas obtemos det ka k n 1 a 21 a 22 a 2n k n 1 k ka n1 ka n2 ka nn k 2 a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn a 21 a 22 a 2n ka n1 ka n2 ka nn k n det A -5-

6 ou seja ka k n A. 9. Dado o sistema 2x +3y 6z 11 x y +3z 2 4x +5y z 7 verifique que possui uma solução única e utilize a regra de Cramer para calcular y. A matriz associada ao sistema é a matriz A e portanto este sistema tem uma única solução desde que o determinante de A seja não nulo. Como det A 2(1 15 ( ( fica garantida a existência de solução única para este sistema e a regra de Cramer permite escrever y A onde este determinante é obtido substituindo a 2ª coluna (correspondente a y pela coluna dos termos independentes do sistema obtendo-se Análogamente obtem-se y x e z