Sistemas Lineares - Eliminação de Gauss

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Ana Júlia de Paiva Malheiro
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1 1-28 Sistemas Lineares - Andréa Maria Pedrosa Valli Laboratório de Computação de Alto Desempenho (LCAD) Departamento de Informática Universidade Federal do Espírito Santo - UFES, Vitória, ES, Brasil

2 2-28 Introdução 1 Introdução

3 Sistema linear n n: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = b a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x a nn x n = b n a ij = coeficientes, b j = constantes, x j = variáveis (i, j = 1,, n) Na forma matricial Ax = b a 11 a 12 a 13 a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 23 a 2n x = b 2. a n1 a n2 a n3 a nn x n b n

4 Sistema triangular superior n n: a 11 a 12 a 13 a 1n x 1 b 1 0 a 22 a 23 a 2n x 2 b a 33 a 3n x 3 = b a nn x n b n Assuma que o sistema tem solução única: a ii 0, i = 1,, n. Solução: a nn x n = b n x n = b n a nn a n 1,n 1 x n 1 + a n 1,n x n = b n 1 x n 1 = b n 1 a n 1,n x n linha i x i = b i n j=i+1 a ii a ij x j a n 1,n 1

5 Algoritmo para a substituição regressiva: x i = Data: A,b,n Result: x for i=n,1,-1 do soma = b[i]; for j=i+1,n,1 do soma = soma - a[i][j] x[j]; end x[i] = soma/a[i][i]; end b i n a ij x j j=i+1 a ii Esforço computacional ( de operações (+,-,x,/) ou flops): divisão: n subtração e multiplicação: 2 n 1 j = 2n(n 1)/2 j=1 total = n

6 Idéia do método: Ax = b = Ãx = b operações de linhas elementares onde Ã é uma matriz triangular superior. Operações de linhas elementares: trocar a ordem de duas equações; multiplicar uma equação por uma constante não nula; somar uma equação à outra. Observação: A eliminação deve ser feita de forma sistemática, ou seja, usando uma sequência de operações elementares de modo a transformar um sistema linear em um outro equivalente, onde a matriz é triangular superior. 6-28

7 7-28 ingênua [2]:

8 8-28 Exemplo: sistema solução exata: x 1 1 x 2 x 3 = 1 1 x 4 1 Primeiro Passo: Eliminar os coeficientes da primeira coluna abaixo da diagonal: pivô: a 11 = 3 multiplicadores: m 21 = 7/3, m 31 = 2/3, m 41 = 1/3 L 2 L 2 ( 7/3)L 1, L 3 L 3 (2/3)L 1, L 4 L 4 ( 1/3)L

9 Segundo Passo: Eliminar os coeficientes da segunda coluna abaixo da diagonal pivô: a 22 = multiplicadores: m 32 = 2.333/17.667, m 42 = 0.667/ L 3 L 3 ( 2.333/17.667)L 2, L 4 L 4 (0.667/17.667)L

10 Terceiro Passo: Eliminar os coeficientes da terceira coluna abaixo da diagonal pivô: a 33 = multiplicadores: m 43 = 5.434/1.981 Operações: L 4 L 4 (5.434/1.981)L

11 11-28 : x x x 3 = x x 4 = x 4 = x x 4 = x 3 = x x x 4 = x 2 = x 1 + 8x 2 2x 3 + 3x 4 = 6 x 1 = 1.001

12 12-28 Cálculo do Resíduo: R = b A x R = = Observação: A solução é exata a menos dos erros de ponto flutuante. Sendo assim, o resíduo tem que ser bem pequeno, em torno do número de casas decimais utilizadas para os cálculos.

13 Algoritmo para a : Passo k: Eliminar os coeficientes da k-ésima coluna abaixo da diagonal (1 k n 1) Operação sobre a Linha i: L i L i m ik L k onde m ik = a ik a kk, k + 1 i n a ij a ij a ik a kk a kj, k + 1 j n b i b i a ik a kk b k

14 Data: A,b,n Result: x for k=1,n-1 do for i=k+1,n do fator = a[i][k] / a[k][k]; for j=k+1,n do a[i][j] = a[i][j] - fator a[k][j]; end b[i] = b[i] - fator b[k] end end Esforço computacional: adição e subtração: n 3 /3 + O(n) multiplicação e divisão: n 3 /3 + O(n 2 ) total = 2n 3 /3 + O(n 2 ) Obs: O(m n ) significa termos de ordem m n e menores.

15 15-28 Esporço Computacional: : 2n 3 /3 + O(n 2 ) : n 2 n Elim. Subst. Flops 2n 3 /3 % Elim % % % O tempo de computação cresce bastante à medida que o sistema fica maior. A quantidade de flops cresce quase três ordens de grandeza para cada aumento na ordem de grandeza da dimensão; A maior parte do esforço vem da parte da eliminação. Esforços para melhorar o algoritmo devem se concentrar neste passo.

16 Gauss-Jordan algoritmo: [A b] = [I x], onde I é a matriz identidade e x é a solução do sistema. Neste método o esforço computacional é O(n 3 ), ou seja, aproximadamente 50% mais operações que a eliminação de Gauss ingênua. Esforço Computacional: Regra de Cramer: O(n!) Gauss-Jordan: O(n 3 ) ingênua: O(2n 3 /3) Obs: a regra de Cramer é inviável computacionalmente quando n é grande. Observe que a regra de Cramer envolve o cálculo de determinantes.

17 17-28 Problemas com a ingênua 1 Divisão por zero Exemplo: solução exata (1, 1, 1) T 2x 2 + 3x 3 = 5 x 1 3x 2 + x 3 = 1 2x 1 + x 3 = 3 2 Erros de arredondamento Exemplo: solução exata (1/3, 2/3) T x 1 + 3x 2 = x 1 + x 2 = 1

18 [ ] L 2 L 2 1 [ L 1 ] x 2 = = 2/3 x 1 = (x 2) Tabela: Resultado muito sensível à precisão. de Dígitos x 2 x 1 % Error relativo x

19 19-28 Técnicas para melhorar a solução: Usar mais dígitos significativos, ou seja, aumentar a precisão. Usar a estratégia de pivoteamento parcial. : 1 no início de cada etapa k, 1 k n 1, escolher para pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes a ik, k i n, 2 trocar as linhas k e i, se for necessário. Exemplo: solução exata (1/3, 2/3) T x 1 + 3x 2 = x 1 + x 2 = 1

20 [ ] L 1 L 2 L L [ ] x 2 = = 2/3 x 1 = 1 x 2 Tabela: Resultado usando pivoteamento parcial. L 1 de Dígitos x 2 x 1 % Error relativo x

21 21-28 Pseudocódigo para implementar o pivoteamento parcial [2]:

22 22-28 Introdução Pseudocódigo para a Eliminção de Gauss Bibliografia Básica Exemplo: sistema solução exata: x 1 1 x 2 x 3 = 1 1 x 4 1 Primeiro Passo: Escolher o pivô (a 11 ), trocar linhas e eliminar os coeficientes da primeira coluna abaixo da diagonal L 2 L 2 ( 3/7)L 1 L 1 L L L 3 ( 2/7)L L 4 L 4 (1/7)L 1

23 23-28 Introdução Pseudocódigo para a Eliminção de Gauss Bibliografia Básica Segundo Passo: Escolher o pivô (a 22 ), trocar linhas e eliminar os coeficientes da segunda coluna abaixo da diagonal L 3 L 3 (2.714/7.571)L 2 L 4 L 4 ( 1.857/7.571)L 2

24 24-28 Introdução Pseudocódigo para a Eliminção de Gauss Bibliografia Básica Terceiro Passo: Escolher o pivô (a 33 ), trocar linhas e eliminar os coeficientes da terceira coluna abaixo da diagonal L 2 L L 4 L 4 (1.981/5.434)L 3

25 25-28 Introdução Pseudocódigo para a Eliminção de Gauss Bibliografia Básica : x 4 = x 4 = x x 4 = x 3 = x x x 4 = x 2 = x 1 x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 11 x 1 = 1.000

26 26-28 Introdução Pseudocódigo para a Eliminção de Gauss Bibliografia Básica Cálculo do Resíduo: R = b Ax R = = Observação: Na eliminação de Gauss todos os multiplicadores são em módulo menores ou iguais a 1.

27 27-28 Introdução Pseudocódigo para a Eliminção de Gauss Bibliografia Básica Pseudocódigo para a implementação da [2]:

28 Pseudocódigo para a Eliminção de Gauss Bibliografia Básica Bibliografia Básica [1] Algoritmos Numéricos, Frederico F. Campos, Filho - 2 a Ed., Rio de Janeiro, LTC, [2] Métodos Numéricos para Engenharia, Steven C. Chapa e Raymond P. Canale, Ed. McGraw-Hill, 5 a Ed., [3] Cálculo Numérico - Aspectos Teóricos e Computacionais, Márcia A. G. Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Ed. Pearson Education, 2 a Ed., 1996.

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