Andréa Maria Pedrosa Valli

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1 1-24 Equações Diferenciais Ordinárias Andréa Maria Pedrosa Valli Laboratório de Computação de Alto Desempenho (LCAD) Departamento de Informática Universidade Federal do Espírito Santo - UFES, Vitória, ES, Brasil

2 2-24 Introdução Equações Diferenciais Ordinárias 1 Introdução Equações de Ordem Superior

3 3-24 Introdução Problema de Valor Inicial Problema de Valor de Contorno Métodos de Solução Método de Euler Um Problema de Valor Inicial (PVI) de primeira ordem pode ser definido como: encontrar y(x) para x > x 0 que satisfaça a equação diferencial dy = f (x, y(x)), (1) dx sujeita às condições de fronteira y(x 0 ) = y 0 (2) onde f (x, y) é uma função conhecida assim como x 0 e y 0. Uma solução para o PVI é uma função y(x) da variável independente x que satisfaz a equação diferencial ordinária (1) e às condições de fronteira (2).

4 4-24 Introdução Problema de Valor Inicial Problema de Valor de Contorno Métodos de Solução Método de Euler Um Problema de Valor de Contorno (PVC) de primeira ordem pode ser definido como: encontrar y(x) para a < x < b que satisfaça a equação diferencial dy = f (x, y(x)) (3) dx sujeita às condições de contorno y(a) = y a (4) y(b) = y b (5) onde f (x, y) é uma função conhecida assim como a, b, y a e y b. Uma solução para o PVC é uma função y(x) da variável independente x que satisfaz a equação diferencial ordinária (3) e às condições de contorno (4) e (5).

5 Problema de Valor Inicial Problema de Valor de Contorno Métodos de Solução Método de Euler Alguns métodos de Solução Numérica para PVI e PVC: Métodos de Passo Simples (Runge-Kutta) e Passo Múltiplo Método de Diferenças Finitas, Elementos Finitos, Volumes Finitos, Elementos de Contorno. O objetivo dos métodos de passo simples é encontrar uma solução aproximada y i+1 y(x i+1 ), dada a solução no instante anterior (x i, y i ), i = 0, 1,, n 1. Para isso, precisamos definir uma malha de pontos em x. Aqui usaremos uma malha de pontos igualmente espaçados, x 0, x 1,, x n, a uma distância h = xn x 0 n, x i = x 0 + i h, i = 0, 1,, n Os métodos fornecem a solução em uma tabela de pontos (x i, y i ), i = 0, 1,, n. Através da interpolação podemos traçar o gráfico da solução.

6 Problema de Valor Inicial Problema de Valor de Contorno Métodos de Solução Método de Euler Método de Euler [2]: y(x i+1 ) y i+1 Considere a reta R(x) tangente à curva y(x) no ponto (x i, y i ). O valor Previsto, y i+1, é definido como sendo o valor R(x i+1 ), ou seja, o valor da reta tangente no ponto x i+1. Reta R(x): R(x) y i x x i = dy dx (x i,y i ) = f (x i, y i ) y i+1 = y i + h f (x i, y i ) 6-24

7 Problema de Valor Inicial Problema de Valor de Contorno Métodos de Solução Método de Euler Exemplo: resolva o PVI no intervalo [0, 1] usando o método de Euler com h = 0.5 e h = Calcule o erro exato para cada h, sabendo-se que a solução exata é y(x) = e x. dy dx = e x y(0) = 1

8 8-24 Introdução Série de Taylor de ordem 1 de ordem 2 Série de Taylor de y(x) em torno de x i : y(x) = y(x i ) + y (x i ) (x x i ) + y (x i ) 2! + y (n) (x i ) (x x i ) n + R n n! onde R n é o resto dado por R n = y (n+1) (ξ x ) (n + 1)! com ξ x um ponto entre x i e x. (x x i ) n+1 (x x i ) 2 +

9 Série de Taylor de ordem 1 de ordem 2 Vamos aproximar y(x) em torno do ponto x i por uma reta usando a série de Taylor: y(x) y(x i ) + y (x i ) (x x i ) E 1 = y (ξ x ) (x x i ) 2, ξ x entre x e x i 2! Definindo uma malha de pontos em x igualmente espaçados, podemos obter uma aproximação para a solução y(x) em x i+1 = x i + h, da seguinte forma: y(x i+1 ) y i+1 = y i + h f (x i, y i ) E 1 = y (ξ x ) h 2, ξ x entre x e x i (erro local) 2! assumindo h pequeno. Quanto maior h maior é o erro local. Dizemos que o erro local é O(h 2 ) Ch 2, onde C é uma constante que depende do valor da derivada segunda de y(x) em ξ x. É possível verificar numericamente que o erro global é O(h).

10 Série de Taylor de ordem 1 de ordem 2 Vamos aproximar y(x) em torno do ponto x i por um polinômio de grau 2, usando a série de Taylor: y(x) y(x i ) + y (x i ) (x x i ) + y (x i ) (x x i ) 2 2! E 2 = y (3) (ξ x ) (x x i ) 3, ξ x entre x e x i 3! Precisamos calcular y (x): d dx (dy dx ) = d f dx (f (x, y(x)) = dx x dx + f dy y dx = f x(x, y) + f (x, y) f y (x, y) Assumindo x = x i+1 = x i + h onde h é um número pequeno, temos: y i+1 = y i + h f (x i, y i ) + h2 2! ( f x(x i, y i ) + f (x i, y i )f y (x i, y i ) ) E 2 = y (3) (ξ x ) h 3 = O(h 3 ), ξ x entre x e x i 3! Dificuldade: cálculo de derivadas de f (x, y)

11 11-24 de ordem 2 de ordem s Exemplos Ordem de Convergência dos métodos Dedução dos métodos de RK de ordem 2 Propriedades: 1 os métodos de Runge-Kutta são de passo um; 2 não exigem o cálculo de qualquer derivada de f (x, y); 3 coincidem com o método de série de Taylor de mesma ordem. Observação: o método de Euler é um método de Runge-Kutta de primeira ordem, y i+1 = y i + h f (x i, y i ), i = 0, 1,, n 1 = y(x i ) + y (x i ) (x i+1 x i ) Erro Local = y (ξ x ) 2! h 2 = O(h 2 ), ξ x entre x e x i Erro Global = O(h)

12 12-24 de ordem 2 de ordem s Exemplos Ordem de Convergência dos métodos Dedução dos métodos de RK de ordem 2 Método do Ponto Médio ou Euler Modificado [2]:

13 13-24 de ordem 2 de ordem s Exemplos Ordem de Convergência dos métodos Dedução dos métodos de RK de ordem 2 Método do Ponto Médio ou Euler Modificado [2]: x i+ 1 2 = x i h y i+ 1 2 = y i h f (x i, y i ) (método de Euler) Reta R(x) que passa por (x i, y i ) e tem inclinação f (x i+ 1, y 2 i+ 1 ): 2 R(x) y i = f (x x x i+ 1, y i 2 i+ 1 ) y i+1 = R(x i+1 ) 2 y i+1 = y i + h f (x i+ 1 2 y i+1 = y i + h f, y i+ 1 ) 2 ( x i h, y i h f (x i, y i ) )

14 de ordem 2 de ordem s Exemplos Ordem de Convergência dos métodos Dedução dos métodos de RK de ordem 2 Método do Ponto Médio ou Euler Modificado: y i+1 = y i + h k 2 k 1 = f (x i, y i ) k 2 = f (x i h, y i h k 1) Observação: temos que avaliar a função f (x, y) em dois pontos diferentes em cada passo do método. Vamos verificar que este é um método de Runge-Kutta de ordem 2.

15 de ordem 2 de ordem s Exemplos Ordem de Convergência dos métodos Dedução dos métodos de RK de ordem 2 de ordem s: y i+1 = y i + h (b 1 k 1 + b 2 k 2 + b s k s ) onde k 1 = f (x i, y i ) k 2 = f (x i + c 2 h, y i + ha 21 k 1 ) k 3 = f (x i + c 3 h, y i + h[a 31 k 1 + a 32 k 2 ]). k s = f (x i + c s h, y i + h[a s1 k 1 + a s2 k a s,s 1 k s 1 ]) Erro Local: O(h s+1 ) (E s = y (s+1) (ξ x ) (s+1)! h s+1, ξ x entre x e x i ) Erro Global: O(h s )

16 16-24 de ordem 2 de ordem s Exemplos Ordem de Convergência dos métodos Dedução dos métodos de RK de ordem 2 Notação de Butcher: 0 c 2 a 21 c 3 a 31 a 32.. c s a s1 a s2 a s,s 1 b 1 b 2 b s 1 b s a, b, c definidas para cada método. Exemplo: Método do Ponto Médio ou Euler Modificado: c 2 = 1/2, a 21 = 1/2, b 1 = 0 e b 2 = /2 1/2 0 1

17 de ordem 2 de ordem s Exemplos Ordem de Convergência dos métodos Dedução dos métodos de RK de ordem 2 Método de Euler Melhorado (Runge-Kutta de ordem 2): c 2 = 1, a 21 = 1, b 1 = 1/2 e b 2 = 1/ /2 1/2 Runge-Kutta de ordem 4: c 2 = 1/2, c 3 = 1/2, c 4 = 1 a 21 = 1/2, a 31 = 0, a 32 = 1/2, a 41 = a 42 = 0, a 43 = 1 b 1 = 1/6, b 2 = b 3 = 1/3, b 4 = 1/6 0 1/2 1/2 1/2 0 1/ /6 1/3 1/3 1/

18 18-24 de ordem 2 de ordem s Exemplos Ordem de Convergência dos métodos Dedução dos métodos de RK de ordem 2 Verificar numericamente a ordem de convergência dos métodos p: erro(h) Ch p log( erro(h) ) p log(h) + log(c) Ou seja, o gráfico de uma função real erro(h) da forma Ch p é uma reta com inclinação p em um gráfico log log: erro 0 h 2 e erro E h 1, na figura abaixo.

19 19-24 de ordem 2 de ordem s Exemplos Ordem de Convergência dos métodos Dedução dos métodos de RK de ordem 2 de ordem 2: y i+1 = y i +h f (x i, y i )+ h2 2! ( f x(x i, y i ) + f (x i, y i )f y (x i, y i ) )+ (6) de ordem 2: y i+1 = y i + h ( b 1 f (x i, y i ) + b 2 f (x i + c 2 h, y i + a 21 hf (x i, y i ) ) (7) Expandindo f (x, y) em série de Taylor em torno de (x i, y i ) f (x i + c 2 h, y i + a 21 hf (x i, y i )) f i + c 2 h f i x + a 21hf i f i y + (8) Substituindo (8) em (7), temos [ y i+1 = y i + hb 1 f i + hb 2 f i + c 2 h f ] i x + a f i 21hf i y +

20 y i+1 = y i + h(b 1 + b 2 )f i + h2 2 de ordem 2 de ordem s Exemplos Ordem de Convergência dos métodos Dedução dos métodos de RK de ordem 2 [ ] f i 2b 2 c 2 x + 2b f i 2a 21 f i y + Comparando a equação com a série de Taylor de ordem 2, y i+1 = y i + h f (x i, y i ) + h2 2! ( f x(x i, y i ) + f (x i, y i )f y (x i, y i ) ) + temos b 1 + b 2 = 1 2 b 2 c 2 = 1 2 b 2 a 21 = 1 Observação: Temos 4 incógnicas e 3 equações infinitas soluções temos vários métodos de Runge-Kutta de ordem

21 21-24 Sistema de Eq. Dif. Ordinárias de primeira ordem dy 1 dx dy 2 dx = f 1 (x, y 1, y 2,, y m ) = f 2 (x, y 1, y 2,, y m ). dy m dx = f m (x, y 1, y 2,, y m ) sujeita às condições iniciais y 1 (x 0 ) = y 01 y 2 (x 0 ) = y 02. y m (x 0 ) = y 0m

22 Forma Vetorial: dy (x) dx = F (x, Y (x)) Y (x 0 ) = Y 0 onde y 1 (x) f 1 (x, Y (x)) y 2 (x) f 2 (x, Y (x)) Y (x) =, F (x, Y (x)) =.., Y 0 = y m (x) f m (x, Y (x)) Método de Euler: Y n+1 = Y n + h F (x n, Y n ) y 01 y 02. y 0m

23 23-24 Introdução Bibliografia Básica Equações Diferenciais Ordinárias de ordem superior: [ y1 y 2 ] = [ y dy dx Método de Euler: ] [ y1 y 2 d 2 y dy 5x dx 2 dx xy 2 = 0 y(1) = 2 dy dx (1) = 0 ] n+1 [ dy1 ] [ dx dy 2 = dx = [ y1 y 2 ] n y 2 5xy 2 xy 2 1 ], [ ] y + h 2 5xy 2 xy1 2 [ ] y1 (1) = y 2 (1) n [ ] 2 0

24 Bibliografia Básica Bibliografia Básica [1] Algoritmos Numéricos, Frederico F. Campos, Filho - 2 a Ed., Rio de Janeiro, LTC, [2] Métodos Numéricos para Engenharia, Steven C. Chapa e Raymond P. Canale, Ed. McGraw-Hill, 5 a Ed., [3] Cálculo Numérico - Aspectos Teóricos e Computacionais, Márcia A. G. Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Ed. Pearson Education, 2 a Ed., 1996.