Solução Numérica de EDOs

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1 Solução Numérica de EDOs Maria Luísa Bambozzi de Oliveira SME0300 Cálculo Numérico 10 de Novembro, 2010

2 Introdução Equação Diferencial de 1a. Ordem y = f (x, y) f : função real dada, de duas variáveis reais x e y, com y = y(x) (ou f e y são vetores sistemas de EDs de 1a. ordem). Para resolver ED, precisa determinar uma função y = y(x), diferenciável, com x [a, b], tal que y (x) = f (x, y(x)). Exemplos de problemas que podem ser descritos em termos de EDs: trajetórias balísticas, trajetória dos satélites artificiais, estudo de redes elétricas, curvaturas de vigas, estabilidade de aviões, teoria das vibrações, reações químicas.

3 Introdução Problema de Valor Inicial (PVI) y = f (x, y) y(x 0 ) = y 0 Teorema da Existência e Unicidade Seja f (x, y) definida e contínua em D = {(x, y) : a x b; < y < ; a e b finitos}. Suponhamos que exista constante L > 0 tal que f (x, y) f (x, y ) L y y, (x, y), (x, y ) D. (condição de Lipschitz) Então, se y 0 é número dado, existe uma única solução y(x) do PVI, onde y(x) é contínua e diferenciável para todo (x, y) D.

4 Introdução A maioria das equações na prática não podem ser solucionadas analiticamente; precisamos empregar métodos numéricos. Propriedade importante para resolver PVI: discretização. Obter solução aproximada do PVI em um conjunto discreto de pontos {x n : n = 0, 1,..., N}. Pontos {x n } definidos por x n = x 0 + nh, n = 0, 1,..., N, onde x 0 = a, x N = b, N = b a h. h: tamanho do passo; y n y(x n ); x n : pontos da malha; f n = f (x n, y n ); N: número de passos

5 Métodos Numéricos Métodos numéricos para determinação aproximada da solução de y = f (x, y) y(x 0 ) = y 0 que satisfaz as condições de existência e unicidade: Taylor de ordem superior; Euler; do tipo Previsor-Corretor; Runge-Kutta explícito.

6 Métodos de Passo Simples e Passo Múltiplo Suponhamos que temos um PVI que satisfaz as condições de existência e unicidade da solução. Considere n 1 subintervalos de [a, b], com x j = x 0 + jh, j = 0,..., n; h = b a tal que x 0 = a e x n = b. Para calcular uma aproximação y n+1 para a solução no ponto x n+1, y(x n+1 ), podemos utilizar métodos que requerem somente informação do último ponto calculado (x n ), chamados de métodos de passo simples, ou 1-passo, ou métodos que requerem informções de diversos passos anteriores, chamados de método de passo múltiplo, ou k-passos. n

7 Métodos de Passo Simples Método de Taylor de Ordem q Expansão em série de Taylor para y(x n + h): y(x n + h) =y(x n ) + hy (x n ) + h2 2! y (x n ) hq q! y(q) (x n ) + hq+1 (q + 1)! y(q+1) (ξ n ), x n < ξ n < x n + h. Com y (x) = f (x, y), y (x) = df dx = f x + f y dy dx = f x + f y f, y (x) = d2 f dx 2 = f xx + 2f xy f + f yy f 2 + f x f y + f 2 y f,... truncando depois de (q + 1) termos, y(x n + h) = y(x n ) + hf (x n, y(x n )) hq q! f (q 1) (x n, y(x n )).

8 Métodos de Passo Simples Método de Taylor de Ordem q y(x n + h) y(x n ) + hf (x n, y(x n )) hq q! f (q 1) (x n, y(x n )). Substituindo y n y(x n ) e f (j) (x n, y(x n )) f (j) n, j = 0, 1,..., q 1, y n+1 = y n + hf n + h2 2! f n hq q! f (q 1) n Obs.: Não pode ser usado para todas as PVIs. Erro de Truncamento Local: E n = hq+1 (q + 1)! y(q+1) (ξ n ), x n < ξ n < x n + h Método de Euler: (q = 1) y n+1 = y n + hf n.

9 Métodos de Passo Múltiplo Método de passo simples é caso especial (com k = 1) do método de passo múltiplo. Método Linear de Passo Múltiplo: k α j y n+j = h k β j f n+j ; α j, β j constantes arbitrárias independentes de n; α k = 1; α 0, β 0 não ambos nulos. Explícito se β k = 0; Implícito se β k = 0. Método de Euler: se k = 1, α 0 = β 0 = 1, β 1 = 0, y n+1 = y n + hf n E n = h2 2! y (ξ), x n < ξ < x n+1

10 Métodos de Passo Múltiplo Para métodos de passo múltiplo implícitos com k > 1, precisamos calcular todos os valores iniciais a serem utilizados (com o Método de Euler, por exemplo).

11 Métodos de Passo Múltiplo Para métodos de passo múltiplo implícitos com k > 1, precisamos calcular todos os valores iniciais a serem utilizados (com o Método de Euler, por exemplo). Método do Trapézio: (implícito, 1-passo) y n+1 = y n + h 2 [f n + f n+1 ] E n = h3 12 y (ξ), x n < ξ < x n+1 Método de Simpson: (implícito, 2-passos) y n+2 = y n + h 3 [f n + 4f n+1 + f n+2 ] E n = h5 90 y(4) (ξ), x n < ξ < x n+2 Métodos implícitos são utilizados com métodos do tipo Previsor-Corretor.

12 Métodos do Tipo Previsor-Corretor Método de k-passos implícitos: k 1 k 1 y n+k = α j y n+j + h β j f n+j + hβ k f (x n+k, y n+k ), y n+j e f n+j, j = 0, 1,..., k 1 conhecidos. Com h suficientemente pequeno, solução para y n+k aproximada por: y [s+1] k 1 k 1 n+k = α j y n+j + h β j f n+j + hβ k f (x n+k, y [s] n+k ), s = 1, 2,... (Método Corretor (C) implícito) y [0] k 1 k 1 n+k = α y j n+j + h β f j n+j (Método Previsor (P) explícito) Par PC aplicado no modo P(EC) m E, com P: aplicação do Previsor; E: cálculo de f (x n+k, y [s] n+k ); C: aplicação do Corretor; m: número de vezes que E e C são aplicados (na prática, m 2).

13 Métodos do Tipo Previsor-Corretor Aplicação do par PC no modo P(EC) m E: A cada passo k, calcular: P : y [0] n+k + k 1 α j y [m] n+j = h k 1 β j f [m] n+j, Para s = 0, 1,..., m 1: E : [s] E : f n+k = f x n+k, y [s] n+k ; [s+1] C : y n+k = k 1 α jy [m] f [m] n+k = f x n+k, y [m] n+k Qual valor de h usar?. n+j + h k 1 β jf [m] n+j + hβ kf [s] n+k ; Se f (x, y) e f forem contínuas em x e y no intervalo fechado [a, b], y e se f não se anular neste intervalo, C convergirá, desde que h y seja escolhido de modo a satisfazer: h < 2. f y