Algoritmos Numéricos I. Lucia Catabriga 1

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1 Algoritmos Numéricos I Problema de Valor no Contorno (PVC) Método das Diferenças Finitas Lucia Catabriga 1 1 DI/UFES - Brazil Novembro 2014

2 Introdução Introdução A solução de Problemas de Valor no Contorno (PVC) pelo método das Diferenças Finitas consiste em: Discretizar o domínio; Aplicar aproximações de diferenças finitas nas derivadas da equação diferencial; Aplicar condições de contorno

3 Problema de Valor no Contorno - 1D PVC - 1D Dadas as funções p(x), q(x) e r(x) contínuas em (a, b), encontrar u(x) tal que d 2 u dx 2 + p(x)du + q(x)u = r(x) dx a com condições de contorno do tipo: < x < b α a du(a) dx u(a) = u a u(b) = u b ou du(a) dx = σ a du(b) dx = σ b ou + β a u(a) = γ a α b du(b) dx + β b u(b) = γ b onde u a, u b, σ a, σ b, α a, β a, α b, β b, γ a e γ b são constantes conhecidas do problema

4 Problema de Valor no Contorno - 1D Discretização do Domínio Discretização do Domínio h = (b a) (n 1) x i = a + (i 1)h, sendo a = x 1, b = x n e n número de incógnitas a = x 1 < x 2 < < x i 1 < x i < x i+1 < < x n = b Objetivo: obter aproximações u i u(x i ) i = 1,, n

5 Problema de Valor no Contorno - 1D Aproximação das derivadas por Diferenças finitas Diferenças finitas u (x i ) u i+1 u i, h θ(h) (Diferença Adiantada) u (x i ) u i u i 1, h θ(h) (Diferença Atrasada) u (x i ) u i+1 u i 1, 2h θ(h 2 ) (Diferença Central) u (x i ) u i 1 2u i + u i+1 h 2, θ(h 2 )

6 Problema de Valor no Contorno - 1D Aproximação das derivadas por Diferenças finitas Aplicando as Diferenças finitas na equação diferencial onde: ( ui 1 2u i + u i+1 h 2 b i u i 1 + a i u i + c i u i+1 = r i ) ( ) ui+1 u i 1 + p i + q i u i = r i 2h i = 1,, n a i = q i ( 2/h 2) b i = ( 1/h 2) p i /(2h) c i = ( 1/h 2) + p i /(2h) a 1 c 1 u 1 r 1 b 2 a 2 c 2 u 2 r 2 b i a i c i u i = r i b n 1 a n 1 c n 1 b n a n Matriz Tridiagonal!!! u n 1 u n r n 1 r n

7 Problema de Valor no Contorno - 1D Condições de Contorno Valor Prescrito A função u é conhecida em x 1 = a e/ou x n = b, ou seja, u 1 = u(x 1 ) = u a e/ou u n = u(x n ) = u b Ação: a 1 ā 1 = 1, c 1 c 1 = 0, r 1 r 1 = u a e/ou a n ā n = 1, b 1 b 1 = 0, r n r n = u b Supondo valor prescrito em x 1 = a e x n = b: 1 0 b 2 a 2 c 2 b i a i c i b n 1 a n 1 c n u 1 u 2 u i u n 1 u n = u a r 2 r i r n 1 u b

8 Problema de Valor no Contorno - 1D Condições de Contorno Fluxo Prescrito du(a) A derivada de u é conhecida: dx = σ a ou du(b) dx = σ b A variável u i 1 (para i = 1) ou a variável u i+1 (para i = n) deve ser substituida na equação linear b i u i 1 + a i u i + c i u i+1 = r i Para isso, deve ser usado aproximações de diferenças finitas convenientes na condição de derivada conhecida no contorno: Para i = 1 u i u1 u0 h = σ a u 0 = u 1 hσ a Para i = n u n un+1 un h = σ b u n+1 = u n + hσ b Ação: a 1 ā 1 = a 1 + b 1, r 1 r 1 = r 1 + b 1 hσ a ou a n ā n = a n + c n, r n r n = r n c n hσ b Supondo valor prescrito em x 1 = a e derivada prescrita em x n = b: 1 0 b 2 a 2 c 2 b n 1 a n 1 c n 1 b n a n + c n u 1 u 2 u n 1 u n = u a r 2 r n 1 r n c nhσ b

9 Problema de Valor no Contorno - 1D Condições de Contorno Condição mista Um combinação linear entre u e u é conhecida: α a u (a) + β a u(a) = γ a ou α b u (b) + β b u(b) = γ b A variável u i 1 (para i = 1) ou a variável u i+1 (para i = n) deve ser substituida na equação linear b i u i 1 + a i u i + c i u i+1 = r i Para isso, deve ser usado aproximações de diferenças finitas convenientes na condição no contorno: u i = 1 α 1 u 0 a h u i = n α n+1 u n b + β a u 1 = γ a u 0 = (1 + hβ a /α a )u 1 hγ a /α a h + β b u n = γ b u n+1 = (1 hβ b /α b )u n + hγ b /α b Ação: a 1 ā 1 = a 1 + b 1 (1 + hβ a /α a ), r 1 r 1 = r 1 + b 1 hγ a /α a ou a n ā n = a n + c n (1 hβ b /α b ), r n r n = r n c n hγ b /α b Supondo condição mista em x 1 = a e valor prescrito em x n = b: ā 1 c 1 b 2 a 2 c 2 b n 1 a n 1 c n u 1 u 2 u n 1 u n r 1 r2 = r n 1 u b

10 PVC - 2D Supor k, β x (x, y), β y (x, y), γ(x, y), g(x, y), h(x, y) e f (x, y) conhecidas, encontrar u(x, y) em Ω R 2 tal que: k ( 2 ) u x u u y 2 + β x x + β u y + γu y = f em Ω u = g em Γ g k u n = h em Γ h Ω = Γ g + Γ h

11 Discretização do Domínio Discretização do Domínio Ω = {(x, y), a < x < b, c < y < d} h x h y = (b a) (n 1) x i = a + (i 1)h x, i = 1,, n = (d c) (m 1) y j = c + (j 1)h y, j = 1,, m Objetivo: obter aproximações u ij u(x i, y j ) i = 1,, n e j = 1,, m

12 Aproximação das derivadas por Diferenças finitas Diferenças finitas u x (x i, y j ) u i+1,j u i 1,j 2h x u y (x i, y j ) u i,j+1 u i,j 1 2h y 2 u x 2 (x i, y j ) u i 1,j 2u ij + u i+1,j hx 2 2 u y 2 (x i, y j ) u i,j 1 2u ij + u i,j+1 h 2 y = u I +1 u I 1 2h x, θ(h 2 x) = u I +n u I n 2h y θ(h 2 y ) = u I 1 2u I + u I +1 hx 2, θ(hx) 2 = u I n 2u I + u I +n hy 2, θ(hx) 2 I = 1, 2,, m n

13 Aproximação das derivadas por Diferenças finitas Aplicando as diferenças finitas na equação diferencial ( ui 1 2u I + u I +1 k h 2 x (β x ) I ( ui +1 u I 1 2h x + u ) I n 2u I + u I +n hy 2 ) ) ( ui +n u I n + (β y ) I 2h y γ I u I + + = f I d I u I n + b I u I 1 + a I u I + c I u I +1 + e I u I +n = f I a I = γ I + 2k ( 1/hx 2 + 1/hy 2 ) b I = ( k/h 2 x) (βx ) I /(2h x ) c I = ( k/h 2 x) + (βx ) I /(2h x ) d I = ( k/h 2 y ) (βy ) I /(2h y ) e I = ( k/h 2 y ) + (βy ) I /(2h y ) I = 1,, m n

14 Aproximação das derivadas por Diferenças finitas Sistema Resultante - Matriz Pentadiagonal a 1 c 1 e 1 b 2 a 2 c 2 e 2 d n+1 b n+1 a n+1 c n+1 e n+1 d I b I a I c I e I d N 1 b N 1 a N 1 c N 1 d N b N a N u 1 u 2 u n+1 u I f N 1 u N = f 1 f 2 f n+1 f Ị f N 1 f N

15 Condições de Contorno Valor Prescrito A função u é conhecida em I, ou seja, u I = u(x i, y j ) = g(x i, y j ) = g I Ação: a I ā I = 1, d I d I = 0, b I b I = 0, c I c I = 0, e I ē I = 0, e f I f I = g I Representando a linha I do sistema: n 1 I 1 I I + 1 I + n u n I u I 1 u I u I +1 u I +n = g I

16 Condições de Contorno Fluxo Prescrito A derivada de u é conhecida em I, ou seja, k du dn I = h(x i, y j ) = h I O domínio Ω é retangular, portanto a derivada com relação a normal exterior unitária (n) é definida por: du dn = du dy du dx du dy du dx para I = 1, 2,, n (1) para I = n, 2 n,, m n (2) para I = (m 1) n + 1, (m 1) n + 2,, m n(3) para I = 1, n + 1,, (m 1) n + 1 (4) Dependendo da posição I no contorno, uma das variáveis I n, I 1, I + 1, I + n estará fora do domínio, portanto a equação: d I u I n + b I u I 1 + a I u I + c I u I +1 + e I u I +n = f I deverá sofrer as modificações necessárias considerando uma das possibilidades descritas de (1)-(4)

17 Condições de Contorno - Fluxo Prescrito I = 1, 2,, n k du ( dn I = k du ) I u I u I n dy h y Substituindo na equação I : Ação: a I ā I = a I + d I, = h I u I n = u I + h y k h I b I u I 1 + (a I + d I )u I + c I u I +1 + e I u I +n = f I d I h y k h I d I d I = 0 e f I f I = f I d I h y k h I

18 Condições de Contorno - Fluxo Prescrito I = n, 2 n,, m n k du dn I = k Substituindo na equação I : Ação: a I ā I = a I + c I, ( ) du I u I +1 u I dx h x = h I u I +1 = u I h x k h I d I u I n + b I u I 1 + (a I + c I )u I + e I u I +n = f I + c I h x k h I c I c I = 0 e f I f I = f I + c I h x k h I

19 Condições de Contorno - Fluxo Prescrito I = (m 1) n + 1, (m 1) n + 2,, m n k du dn I = k Substituindo na equação I : Ação: a I ā I = a I + e I, ( ) du I u I +n u I dy h y = h I u I +n = u I h y k h I d I u I n + b I u I 1 + (a I + e I )u I + c I u I +1 = f I + e I h y k h I e I ē I = 0 e f I f I = f I + e I h y k h I

20 Condições de Contorno - Fluxo Prescrito I = 1, n + 1,, (m 1) n + 1 k du ( dn I = k du ) I u I u I 1 = h I u I 1 = u I + h x dx h x k h I Substituindo na equação I : Ação: a I ā I = a I + b I, d I u I n + (a I + b I )u I + c I u I +1 + e I u I +n = f I b I h x k h I b I b I = 0 e f I f I = f I b I h x k h I