Sumário e Objectivos. Método dos Elementos Finitos 3ªAula. Setembro

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1 Sumário e Objectivos Sumário: Método dos Resíduos Pesados. Princípio Variacional. Discretização Pelo Método dos Elementos Finitos (MEF). Objectivos da Aula: Apreensão do Processo de Discretização pelo MEF.

2 Estruturas 2

3 Propagação de Fendas σ 22 3

4 Forma Forte das Equações Diferenciais LcLU+ fα =0 u=u e B(u)=0 são: in Γ σ n=t in Γ u t Valores Prescritos na Fronteira 4

5 Equações Diferenciais LcLU+ f =0 Caso 3D Caso 2D L L α x z y = 0 y 0 z 0 x 0 0 z y x 0 x 0 y = 0 y x u U = v f α f x fα = f y f z u U = v w fx = f y 5

6 Método dos Resíduos Pesados Forma Fraca ou Integral das Equações Diferenciais A(u)=0 w w A(u)dΩ= 0 sendo w= w um conjunto arbitrário de funções 2 igual ao número de componentes de U envolvidas Ω Na fronteira é: Ω w w B(u) dω= 0 sendo w= w 2 6

7 Método dos Resíduos Pesados Forma Integral Domínio mais Fronteira w w w A(u)d Ω + w B(u)d Γ = 0 sendo w= w e w= 2 w 2 Ω Γ As funções W são conhecidas por funções de Peso e podem ter valores distintos conforme o método utilizado. 7

8 Método dos Resíduos Pesados Admitindo que U (no caso dos Problemas de Elasticidade ridimensional, este vector é constituído pelo deslocamentos) é aproximado da seguinte forma: ui n U U = Nu i i =NU sendo no caso 3D ui= vi i= w i n representa o número total de incógnitas do Problema No caso das funções de peso podem considerar-se aproximações com a seguinte forma: n w = w δ u w = w δu j j j j j= j= n 8

9 Método dos Resíduos Pesados Inserindo estas aproximações na forma integral Obtém-se: w Ω w A(u)d Ω + B(u) dγ= 0 n n δuj w ja( Niui )d Ω + w jb( Niui )d Γ = 0 para j= até n Ω i= Γ i= endo em conta que δu j é arbitrário obtém-se o sistema de equações seguintes: n n w ja( Niui )d Ω + w jb( Niui )dγ= 0 para j= até n Ω i= Γ i= endo em conta que A(NU) e B(NU) representam o resíduo ou erro resultante da aproximação introduzida, os integrais nas equações anteriores representam valores pesados dos referidos erros. Γ 9

10 Método dos Resíduos Pesados eoricamente a função w j podia ser uma função qualquer os valores mais usuais são os seguintes, estando a cada um deles associada uma designação para o método. -Se se considerar w j =δ j de tal modo que δ j é tal que é igual a zero para x x j e y y j sendo Ω w j dω=i o método designa-se por Método da Colocação Pontual. Neste método impõe-se que o resíduo seja nulo num conjunto discreto de pontos n. - Se se considerar w j =I em Ω j e zero no resto do domínio o método designa-se por Método de Colocação por Subdomínios. 0

11 Método dos Resíduos Pesados -Se se considerar w j =N j o método designa-se por Método de Galerkin. As funções de forma utilizadas na aproximação dos deslocamentos (no caso da Mecânica dos Sólidos) são utilizadas como função de peso. -Se se considerar w j N j o método designa-se por Método de Petrov-Galerkin. As funções de Peso têm forma distinta das funções de forma.

12 Princípio de Hamilton Mecânica dos Sólidos No caso geral considerando a energia cinética, dinâmica δ 2 Ldt = 0 sendo L= Π+W Π = t t = 2 2 V ρu U d V ε σ dv = V 2 f V ε cε dv W = UfbdV+ UfsdSf V S (energia cinética) (energia potencial) (trabalho realizado pelas forças exteriores) 2

13 Princípio de Hamilton Mecânica dos Sólidos No caso da Estática δ L= 0 sendo L=-Π+W Π = 2 ε σ dv = V 2 f V ε cε dv W = UfbdV+ UfsdSf V S (energia potencial) (trabalho realizado pelas forças exteriores) δl=-δπ+δw=0 Mínimo da Energia 3

14 MEF O (MEF) é um Método de obtenção de Soluções Aproximadas das Equações Diferenciais que regem determinado problema de Engenharia. trabalho de Pedro Moreira, e Paulo Matos usando o software Franc2D/L O MEF envolve um número de procedimentos que podem ser sumariados do seguinte modo: -Discretização. Uma Região do Meio Contínuo é discretizada num número finito de formas simples os chamados Elementos. 4

15 MEF - As propriedades e as relações que regem o problema são estabelecidas ao nível do Elemento através de relações matemáticas em termos dos valores das incógnitas num conjunto discreto de pontos do elemento, os chamados Nós. 2D 3D D 5

16 MEF - Um processo de Assemblagem é considerado com vista a reconstruir o domínio global do Problema tendo em conta as condições de fronteira e o carregamento. Obtém-se em geral um sistema de equações algébricas linear ou não linear. - Por resolução do Sistema de Equações obtêm-se o valor das incógnitas num conjunto discreto de pontos, os Nós. No caso da formulação em termos dos deslocamentos de Mecânica dos Sólidos, as referidas incógnitas são os Deslocamentos nos pontos nodais. A partir dos Deslocamentos podem obter-se por uso das funções de forma, as deformações e as tensões. 6

17 MEF Discretização: O Sólido é dividido em N Elementos com conectividade adequada - compatibilidade. O conjunto dos Elementos forma o domínio total do Problema sem sobreposições o que assegura a compatibilidade. Os elementos a considerar podem ter geometrias distintas (rectangular, triangular no caso 2D) e podem ter número de nós distintos ( 3, 6, 8etc.). Com malhas mais refinadas obtêm-se em geral resultados mais precisos. As malhas podem ser irregulares devendo ser mais refinadas nas zonas onde existe um gradiente mais elevado das grandezas, por exemplo, em Mecânica dos Sólidos dos Deslocamentos. Uma má discretização pode produzir erros, os chamados erros de discretização. 7

18 Discretização-MEF Erro de Discretização significativo Discretização Aceitável 8

19 Interpolação no Elemento -MEF No caso de um formulação em Mecânica dos Sólidos em termos dos Deslocamentos, o campo de deslocamentos, U é constituído por u,v no caso 2D e por u,v,w no caso 3D U(x, y,z) n e = Ni(x, y,z) di= i= No caso 2D (Elemento com 4 nós): N(x, y, z)d u(x, y) = N (x, y) u + N (x, y) u + N (x, y) u + N (x, y) u v(x, y) = N (x, y) v + N (x, y) v + N (x, y) v + N (x, y) v

20 Interpolação no Elemento MEF Exemplo: Elemento de 4 nós-2d n U(x, y,z) = Ni(x, y,z) di= N(x, y, z)d e i= O vector d é: d =,,,, 3, 3,, { } u v u v u v u v A matriz das funções de forma N é: N(x,y) N 0 N2 0 N3 0 N4 0 = 0 N 0 N2 0 N3 0 N4 20

21 Interpolação no Elemento MEF Exemplo: Elemento de 4 nós-2d 4 (x 4,y 4 ) 3 ( x 3,y 3 ) (x,y ) 2 (x 2,y 2 ) 2

22 Interpolação no Elemento MEF Exemplo: Elemento de 4 nós-2d 22

23 Interpolação dos deslocamentos Construção das Funções de Forma Função de aproximação dos deslocamentos, caso D n d h u () = x pi() xαi = p () x α α ={ α, α2, α3,..., α nd } i= p (x)={, x, x 2, x 3, x 4,..., x p } Obrigue-se a terem os valores dos deslocamentos nos nós d i = p (x i )α i =, 2, 3,,n ou d e =P α Determinação de α: α = P de Definindo u h (x) = N( x) d e Nx ( ) p ( xp ) p ( xp ) p ( xp ) p ( xp ) = = 2 n N ( x) N ( x) N ( x) 2 (D) n 23

24 riângulo de Pascal -2D ermo constante x y ermos Lineares: 2 3 termos 6 termos x 2 xy y 2 ermos Quadráticos: 3 0 termos 5 termos x 3 x 2 y xy 2 y 3 ermos Cúbicos: 4 2 termos x 4 x 3 y x 2 y 2 xy 3 y 4 ermos de 4ª Ordem: 5 x 5 x 4 y x 3 y 2 x 2 y 3 xy 4 y 5 ermos de 5ª Ordem: 6 { 2 2 } p ( x) = p ( x, y) =, xyxyx,,,, y,..., x, y p p 24

25 Pirâmide de Pascal Constante: 4 termos x z y Linear: 3 0 termos 20 termos x 4 x 3 x 3 z x 2 xz z 2 xy yz x 2 y xy 2 y 3 xyz x 2 z zy 2 Cúbico: 0 xz 2 z 3 yz2 x 3 y x 2 y 2 xy 3 y 4 x 2 xy 2 z zy 3 yz 4ªordem: 5 x 2 z 2 xyz 2 z 2 y 2 xz 3 z 4 z3 y y 2 35 termo Quadrático: { } p ( x) = p ( x, yz, ) =, xyzxyyzzxx,,,,,,, y, z,..., x, y, z p p p 25

26 Interpolação no Elemento MEF Propriedades das Funções de Forma. Propriedade δ ij de Kronecker i= j, j =,2,, n ( ) d Ni x j = δij = 0 i j, i, j =,2,, n 2. Partição da Unidade n i= N i ( x) = 3. Reprodução de um campo Linear d n d i= N ( x) x i i = x 26

27 Equações ao nível do elemento Coordenadas Locais 2 2 ve v Π = εσdv = ε ε e D dv e δl=-δπ+δw=0 We = UfbdV+ UfsdSf ve Se B=LN Matriz de Deformação U=Nd ε=ln d ε = B d ε=lu Substituindo na energia potencial obtém-se: Π dv 2 2 ve = ε Dε = d B DBdV d e κ e v e Matriz de Rigidez do Elemento κ BDBdV ve = e 27

28 Equações ao nível do elemento Coordenadas Locais-Estática Substituindo no rabalho realizado pelas forcas exteriores obtém-se: W = dnfdv + dnfd S = d ( Nfd V) + d ( Nfd S) e V s V s V S V S W = d FV + d F δl e =-δπ e +δw e =0 ou seja e F V e e e e κ e d e =f e s ` = Forças de Volume ` = Forças de Superfície F δl e = (δl e /δd i )δd i =0 ou δl e /δd i =0 s sendo = κ BcBdV e e f e =F V +F s v e 28

29 Equações ao nível do elemento Estática No caso do sistema de Eixos Local (associado ao elemento) não coincidir com o sistema de Eixos Global há necessidade de proceder à mudança de eixos fazendo uso da y Matriz de ransformação. y x No sistema de Eixos Global D K e e = de e F = f = κe K e D e =F e e x 29

30 Equações Globais Estática Assemblagem das Equações Elementares por forma a obter as Equações Globais. Devem-se adicionar as contribuições elementares para um mesmo nó por forma a obter o sistema de equações globais que é: KΔ=F sendo: K = ( ) K e, D= ( ) D e e F= ( ) F e Devem incluir-se as Condições de Fronteira, no caso dos valores fixos serem nulos, a inclusão das condições de fronteira implica a remoção das linhas e colunas correspondentes aos valores prescritos, também podem ser incluídas considerando o Método dos Multiplicadores de Lagrange. 30

31 Equações Globais Estática A matriz dos Coeficientes, K, é designada por Matriz de Rigidez Global e é uma Matriz Semi-positiva Definida. Uma vez obtido o Sistema de Equações KΔ=F, tem de resolver-se este sistema de equações que no caso correspondente a um comportamento linear elástico, corresponde à solução de um sistema de equações lineares que pode ser resolvido pelo Método de Eliminação de Gauss. Existem divulgadas e disponíveis na Internet subrotinas que procedem à Assemblagem e à Resolução do Sistema de Equações Final. 3

32 Equações ao nível do elemento Estática ensões e Deformações Uma vez conhecidos os deslocamentos Δ podem obter-se os deslocamentos d e e obter as deformações fazendo uso das relações ε=bu sendo a Matriz de Deformação a Matriz calculada inicialmente a partir do operador L e da Matriz das funções de forma, B=LN. As tensões obtém-se recorrendo à Lei de Hooke, σ=cε=cβu. 32