Resistência dos. Materiais. Capítulo 2. - Elasticidade Linear 2

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1 Resistência dos Materiais - Elasticidade Linear Acetatos baseados nos livros: - Mechanics of Materials - Beer & Jonhson - Mecânica e Resistência dos Materiais V. Dias da Silva

2 Índice Carregamento Genérico: Tensões Estado de Tensão Equações de equilíbrio Tensões numa faceta arbitrariamente orientada; Transposição de eixos de referência; Tensões Principais; Invariantes do tensor das tensões; Tensão hidrostática e tensões desviadoras; Tensões de corte e tensão de corte máxima; Extenções principais; Tensões num plano oblíquo; Estado plano de tensão; Tensões num plano rodado de um ângulo Círculo de Mohr para estado plano de tensões Extensões numa faceta arbitrariamente orientada Extensões e direções principais

3 Carregamento Genérico: Tensões Um elemento sujeito a uma combinação genérica de cargas é separado em dois sub-elementos por um plano aleatório. A força F e o momento M representam a resultante de forças interiores distribuídas na superfície de corte. F M Se considerarmos uma área relativamente pequena, A, admite-se que a força se distribui uniformemente nessa área. DA ΔF Vetor Tensão F T = lim A 0 A = df da 3

4 Carregamento Genérico: Tensões Tensão Normal Tensão de Corte σ = Tsen α τ = Tcos(α) da t n a s T A orientação da superfície infinitesimal da (faceta) num sistema cartesiano xyz pode ser definido por um vetor n de comprimento unitário, perpendicular ao plano da faceta e com o sentido que aponta para fora. z n z n y y n n x x Este vetor designa-se por semi-normal da faceta e fica completamente definido pelos cossenos dos ângulos que faz com os sentidos positivos dos eixos de referência. Cossenos diretores n x = cos n, x = n, x = cos (φ) = l n y = cos n, y = n, y = cos (β) = m n z = cos n, z = n, z = cos (γ) = n l + m + n = 1 4

5 Carregamento Genérico: Tensões Vamos considerar o mesmo elemento sujeito a uma combinação genérica de cargas e vamos separa-lo em dois sub-elementos por um plano que passa por Q e é paralelo ao plano yz. A distribuição das componentes internas de tensão pode ser F = F x + V x x y + V z definida como, F x σ x = lim A 0 A ΔF ΔF x V y τ xy = lim A 0 A τ xz = lim A 0 V z x A Por razões de equilíbrio, uma força interna igual e de sentido oposto tem de ser exercida no outro subelemento. 5

6 Estado de Tensão Envolve-se o ponto Q num cubo (dxdydz) com 6 facetas. Uma faceta perpendicular a um dos eixos coordenados, será uma faceta positiva se a sua semi-normal tiver o sentido correspondente ao sentido positivo do eixo a que é paralela. Convenção de Von-Karman : - São consideradas positivas as tensões na faceta positiva que tem o sentido positivo do eixo a que são paralelas. - Usa-se a notação σ x, σ y e σ z para as tensões normais que atuam em facetas perpendiculares aos eixos x, y e z. - As tenções tangenciais são designadas por τ ij, representando o primeiro índice a direção da semi-normal á faceta e o segundo a direção do vetor tensão tangencial. Assim, por exemplo τ xy designa a tensão tangencial que está na faceta perpendicular ao eixo x e tem a direção do eixo y. - As forças exteriores consideram-se positivas quando tiverem o sentido positivo dos eixos de referência. 6

7 Estado de Tensão Equações de Equilíbrio Considera-se um sistema de eixo x y z no ponto Q. Equilíbrio no interior. Desprezando as forças de massa, estamos em equilíbrio de translação ( F = 0) em x, y e z. σ x (faceta positiva) = σ x (faceta negativa) σ y = σ y e σ z = σ z. Equilíbrio de Rotação. O somatório dos momentos em relação a qualquer dos três eixos tem que ser nulo. Considerando o somatório dos momentos em torno do eixo x temos, 7 τ yz dx dz dy τ zydx dy dz = 0 τ yz = τ zy ; τ xy = τ yx e τ xz = τ zx As componentes das tensões tangenciais, que atuam em duas facetas ortogonais e são perpendiculares à aresta comum às duas facetas, são iguais e têm sentidos tais que convergem ambas para a aresta comum ou divergem ambas da mesma.

8 Estado de Tensão Equações de Equilíbrio Equilíbrio na fronteira Considerando um tetraedro elementar junta a superfície do corpo. X, Ye Z - São as componentes da resultante da pressão aplicada a superfície. Equilíbrio das forças segundo a direção x, F x = 0 Ω x = lω Ω y = mω Ω z = nω XΩ σ x Ω x τ yx Ω y τ zx Ω z = 0 XΩ σ x lω τ yx mω τ zx nω = 0 As duas restantes equações são obtidas da mesma forma. lσ x + mτ xy + nτ xz = X lτ yx + mσ y + nτ yz = Y lτ zx + mτ zy + nσ z = Z 8

9 Tensões numa faceta arbitrariamente orientada Estabelecendo as equações de equilíbrio das forças que atuam num tetraedro, e fazem uma analogia ao caso anterior podemos concluir as seguintes equações: Equações de Cauchy T x = lσ x + mτ xy + nτ xz T y = lτ yx + mσ y + nτ yz T z = lτ zx + mτ zy + nσ z Notação matricial: T x T y T z = σ x τ xy τ xz τ yx σ y τ yz τ zx τ zy σ z l m n T = σ ij l Os elementos da matriz σ ij são suficientes para determinar a tensão em qualquer faceta que passe pelo ponto o, ou seja, definem completamente o estado de tensão em torno do ponto o. [σ ij ] Tensor das tensões - No [σ ij ] os seis elementos são independentes, logo a matriz é simétrica. - Projetando o vetor T na direção da normal à faceta, temos a componente normal da tensão: 9 σ = lt x + mt y + nt z σ = l σ x + m σ y + n σ z + lmτ xy + lnτ xz + mnτ yz

10 Transposição de eixos de referência 10 Quando se altera o sistema de eixos de referência, o tensor das tensões passa a ser representado por outras componentes. Depois de algum calculo matricial, temos a seguinte relação entre os tensores: Em que, [σ ij ] = [σ ij ] = σ ij = [l] t σ ij [l] σ x τ x y τ x z τ y x σ y τ y z τ z x τ z y σ z σ x τ xy τ xz τ yx σ y τ yz τ zx τ zy σ z l = (x, x) (y, x) (z, x) (x, y) (y, y) (z, y) (x, z) (y, z) (z, z) Os elementos da matriz l são os cossenos diretores entre os respetivos eixos dos dois referenciais. A matriz l é constituída por vetores ortogonais, e uma vez que o produto escalar de vetores ortogonais é nulo; [l] [l] t = l t l = I σ ij = [l] σ ij [l] t

11 Tensões principais e direções principais Considerando o mesmo estado de tensão, é sempre possível escolher um sistema de eixos ortogonal [o x y z ], em que as tensões de corte são nulas existindo somente tensões normais. Estas tensões normais designam-se de Tensões Principais e as respetivas direções de Direções Principais e os planos por Planos Principais; Considerando um plano (faceta) principal, a tenção tangencial é nula, logo T = σ pelo que as componentes do vetor tensão são dadas por : T x = lσ T y = mσ T z = nσ Substituindo em, T x T y T z = σ x τ xy τ xz τ yx σ y τ yz τ zx τ zy σ z l m n σ x σ τ xy τ xz τ yx σ y σ τ yz τ zx τ zy σ z σ l m n =

12 Equação Característica e Invariantes do tensor Este sistema só tem soluções não nulas, se as equações que o constituem forem linearmente dependentes, isto é, se o determinante for nulo. σ x σ τ xy τ xz τ yx τ zx σ y σ τ zy τ yz σ z σ = σ 3 + I 1 σ I σ + I 3 = 0 Equação característica do estado de tensão I 1 = σ x + σ y + σ z I = σ x τ xy τ xy σ + σ x τ xz y τ xz σ + σ y τ yz z τ yz σ = σ z x σ y +σ x σ z +σ y σ z τ xy τ xz τ yz I 3 = σ x τ xy τ xz τ yx σ y τ yz = σ x σ y σ z +τ xy τ xz τ yz σ x τ yz σ y τ xz σ z τ xy τ zx τ zy σ z As quantidades I 1, I e I 3 tomam valores independentes do referencial usado, pelo que são designados por Invariantes do estado de tensão. 1

13 Equação Característica e Invariantes do tensor Calculo das tensões principais e direções principais σ x σ τ xy τ xz τ yx σ y σ τ yz τ zx τ zy σ z σ l m n = (1) σ 3 + I 1 σ I σ + I 3 = 0 () - As raízes da equação () satisfazem o sistema de equações (1), sem que os três cossenos diretores l, m e n tenham que ser simultaneamente nulos. - Elas representam as tensões normais que atuam nas facetas em que a tensão tangencial é nula, ou seja, as tensões principais. - As direções principais são obtidas substituindo no sistema (1) σ por uma das raízes da equação característica (). - Como são linearmente dependentes temos a condição l + m + n = 1 que temos sempre que satisfazer. - Habitualmente designam-se as tensões principais por σ 1, σ e σ 3 com σ 1 > σ > σ 3. 13

14 Tensor hidrostático e tensões desviadoras Em materiais isotrópicos interessa frequentemente distinguir a componente do tensor das tensões que provoca apenas variação de volume do material e da componente que provoca alterações na forma. Ora, a variação de volume de material isotrópico resulta da atuação do tensor isotrópico ou hidrostático: [σ ij ] = σ m σ m 0 σ m = σ 1 + σ + σ com σ 3 m = I 1 3 É frequente decompor o tensor das tensões nas seguintes componentes: σ ij = σ ij + σ ij σ x τ xy τ xz τ yx τ zx σ y τ zy τ yz σ z = σ m σ m σ m σ x σ m τ xy τ xz τ yx σ y σ m τ yz τ zx τ zy σ z σ m tensor isotrópico ou hidrostático tensor tangencial puro ou de desvio das tensões 14

15 Teoria das extensões 15 Componentes do tensor das extensões Na maioria dos sólidos usados as extensões e distorções são suficientemente pequenas para poderem ser consideradas infinitesimais, assim desprezando termos de segunda ordem, temos as seguintes relações deslocamento-extensões: ε x = u x ε y = υ e y ε z = ω z ε xy = γ xy = 1 ε xz = γ xz = 1 ε yz = γ yz = 1 u y + υ x u z + ω x υ z + ω y ε ij = tensor das extensões ε x ε xy ε xz ε yx ε y ε yz ε zx ε zy ε z

16 Teoria das extensões - Lei de Hooke generalizada Para materiais isotrópicos as direções principais das extensões coincidem com as direções principais das tensões. Podemos assim relacionar com a lei de Hooke as tensões principais com as extensões principais e vice-versa. ε 1 = 1 E σ 1 υ σ + σ 3 ε = 1 E σ υ σ 1 + σ 3 ε 3 = 1 E σ 3 υ σ 1 + σ σ 1 = σ = σ 3 = E 1 + υ 1 υ E 1 + υ 1 υ E 1 + υ 1 υ 1 υ ε 1 + υε + υε 3 υε υ ε + υε 3 υε 1 + υε + 1 υ ε 3 16

17 Análise bidimensional do estado de tensão Em muitas das aplicações da teoria das tensões uma das direções principais é conhecida a priori, por exemplo a tensão numa placa fina sujeita a forças contidas no seu plano médio, os estados de tensão encontrados na maior parte das barras carregadas axialmente, veios de torção, barras, cascas, entre outras, correspondem ao chamado estado de tensão plana. Por simplicidade, considera-se que a direção principal conhecida é a direção 3 e que esta direção principal coincide com a direção do eixo z. Por consequência, a analise bidimensional faz-se no plano xy. σ z = τ xz = τ yz = 0 Ou seja, σ ij = σ x τ xy τ yx σ y 17

18 Tensões numa faceta arbitrariamente orientada Considere-se um prisma triangular. Estabelecendo o equilíbrio das forças que atuam na direção θ, obtém-se σ θ dz ds = σ x dz dy cosθ + σ y dz dx senθ + + τ xy dz dy senθ + τ yx dz dx cosθ Tendo em conta que Temos, dx = ds senθ dy = ds cosθ σ θ = σ x cos θ + σ y sen θ + τ xy senθ cosθ Fazendo o equilíbrio das forças na direção perpendicular a θ, obtém-se τ θ dz ds + σ x dz dy senθ + τ xy dz dx senθ = = τ xy dz dy cosθ + σ x dz dx cosθ Simplificando, τ θ = σ x σ y senθ cosθ + τ xy cos θ sen θ 18

19 Tensões numa faceta arbitrariamente orientada Como se vê, as tensões σ x, σ y e τ xy permitem a determinação da tensão atuante numa faceta genérica definida pelo ângulo θ. σ θ = σ x cos θ + σ y sen θ + τ xy senθ cosθ τ θ = σ x σ y senθ cosθ + τ xy cos θ sen θ Se se tiverem em conta as seguintes relações trigonométricas, senθ cosθ = sen θ cos θ = 1 + cos θ sen θ = 1 cos θ Temos as seguintes expressões que nos fornecem as componentes normal e tangencial da tensão na faceta genérica θ, a partir das componentes do tensor das tensões. σ θ = σ x + σ y τ θ = σ x σ y + σ x σ y cos θ + τ xy sen θ sen θ τ xy cos θ 19

20 Tensões e direções principais Com estas expressões podemos analisar a evolução de σ θ com a orientação da faceta. Derivando a seguinte expressão em ordem a θ e igualando a zero, σ θ = σ x + σ y + σ x σ y cos θ + τ xy sen θ σ θ θ = σ x σ y sen θ + τ xy cos θ = 0 tg θ p = τ xy σ x σ y θ p = 1 arctg τ xy σ x σ y Temos dois valores de θ p que diferem de π que nos dão um valor máximo e um valor mínimo de σ θ o que vai corresponder τ θ = 0. Isto significa que temos duas direções ortogonais entre si que definem facetas em que a tensão tangencial é nula e a tensão normal atinge os seus valores máximo e mínimo. Estas direções são as direções principais e os valores correspondentes da tensão normal são as tensões principais. 0 Designa-se a tensão normal máxima por σ 1 e a tensão normal mínima por σ.

21 Tensões e direções principais As tensões principais podem ser calculadas substituindo os valores de θ 1 e θ na seguinte expressão. tg θ p = τ xy θ σ x σ p1 e θ p σ θ = σ x + σ y y + σ x σ y cos θ + τ xy sen θ Tendo em consideração as seguintes relações trigonométricas sen θ = tg θ ± 1 + tg θ cos θ = 1 ± 1 + tg θ Depois de alguns cálculos obtém-se, σ 1 σ = σ x + σ y + σ x σ y + τ xy tg θ p = τ xy σ x σ y 1

22 Tensão de Corte Máxima e direção A determinação da tensão de corte máxima pode ser calculada analisando a evolução τ θ com a orientação da faceta. Derivando a seguinte expressão em ordem a θ e igualando a zero, τ θ = σ x σ y sen θ τ xy cos θ τ θ θ = σ x σ y cos θ + τ xy sen θ = 0 tg θ S = σ x σ y τ xy θ s = 1 arctg σ x σ y τ xy O valor da tensão de corte máxima é determinado da mesmo forma que σ 1 e σ τ max = σ 1 σ

23 Circulo de Mohr D Se o sistema de eixos de referência coincidir com as direções principais, a tensão tangencial será nula e as tensões normal e tangencial numa faceta arbitrariamente orientada serão dadas por, σ x = σ 1 σ y = σ τ xy = 0 σ = σ 1 + σ τ = σ 1 σ + σ 1 σ sen α cos α Em que α é o ângulo que a normal á faceta faz com a direção principal 1. As expressões anteriores são as equações paramétricas de uma circunferência num referencial cartesiano σ τ. Baseado neste facto, Otto Mohr desenvolveu um método gráfico para a representação do estado de tensão. 3

24 Circulo de Mohr D Representação do circulo Mohr para o estado bidimensional de tensão. - A tensão de corte máxima é τ max = σ 1 σ - A tensão de corte máxima ocorre em facetas que fazem ângulos de α = 45 0 com as direções principais (pontos B e C ). 4 - O centro da circunferência tem as coordenadas: σ m = σ 1 + σ, 0 - Nas facetas onde ocorrem as tensões normais extremas ( pontos da circunferência sobre o eixo das abcissas) a tensão de corte é nula.

25 Circulo de Mohr - Convenção do sinal da tensão de Corte Considera-se a tensão de corte positiva se o momento gerado por esse esforço tiver o sentido horário. Considera-se a tensão de corte negativa se o momento gerado por esse esforço tiver o sentido anti-horário. 5

26 Circulo de Mohr Exemplo 1 6

27 Circulo de Mohr Exemplo 7

28 Circulo de Mohr Exemplo 3 Determinar as tensões principais Orientação dos planos principais Tensões de corte máxima e respetiva tensão normal e sua orientação. 8

29 Circulo de Mohr Exemplo 3 Resolução pelo Círculo de Mohr 9

30 Circulo de Mohr Exemplos 4 - Carga axial 30