Mecânica dos Sólidos I Parte 3 Estado Plano de Tensão

Transcrição

1 Departamento de Engenharia Mecânica Parte 3 Estado Plano de Tensão Prof. Arthur M. B. Braga 15.1

2 Mecânica dos Sólidos Problema F 1 Corpo sujeito a ação de esforços eternos (forças, momentos, etc.) F 7 F 8 F F 3 Determinar F 4 Esforços internos (tensões) F 6 Deformações F 5 Deslocamentos

3 Determinação da Distribuição de Tensão no Corpo Sujeito à Ação de Forças Eternas F 1 F 8 F F 7 F 3 P (,,) F 4 (,, ) F 6 F 5

4 Representação Gráfica do Estado de Tensão no Ponto (Paralelepípedo Fundamental)

5 Barras Carregadas Aialmente F [ ] F A s F s

6 Eios Sujeitos a Carregamentos de Torção θ r θ θ r C C [ ] θ θ θ TD J Em coordenadas cilíndricas

7 Eios Sujeitos a Carregamentos de Torção Em coordenadas Cartesianas A τ (> ) T A T [ ] τ ( D ) TD J

8 Eios Sujeitos a Carregamentos de Torção Em coordenadas Cartesianas τ (< ) B T B T [ ] TD τ ( D ) J

9 Tensões de Fleão em Barras (vigas) [ ] ) ( ),, ( I M ) ( Tensões Normais de Fleão Causadas pelo Momento Fletor M M

10 Tensões normais e cisalhantes em vigas sob carregamentos de fleão q() M () V ()

11 Tensões de Fleão em Barras (vigas) [ ] ), ( ),, ( I M ) ( ), ( Tensões Normais de Fleão Devido ao Momento Fletor

12 Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de fleão Esforço Cortante Viga de seção retangular: ( ) 3 V bh 1 4 h ma{ ( ) } () 3 V bh

13 Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de fleão Esforço Cortante Viga de seção Circular: ( ) V Q( ) b( ) I ma{ ( ) } () 4 3 V A

14 Vasos de Pressão de Paredes Finas (D>>t) Vasos esféricos θθ PD 4t ϕϕ ϕϕ PD 4t P θθ

15 Vasos de Pressão de Paredes Finas (D>>t) Vasos cilíndricos θθ PD t PD 4t P θθ

16 Eercício Uma barra de perfil circular deve suportar um carregamento aial N 5 kn. No projeto será utiliado um perfil laminado de aço SAE 1, com limite de escoamento S Y 1 MPa. Deve ser utiliado um coeficiente de segurança n s, no projeto contra a falha por escoamento do material. Determinar qual o diâmetro mínimo para a barra. N N

17 Carregamentos e Deformações Uniaiais F/A Ensaio de Tração S u S Estricção Regime Plástico Regime Elástico F F,% ε δ/l

18 Eercício (continuação) Uma barra de perfil circular deve suportar um carregamento aial N 5 kn. No projeto será utiliado um perfil laminado de aço SAE 1, com limite de escoamento S Y 1 MPa. Deve ser utiliado um coeficiente de segurança n s, no projeto contra a falha por escoamento do material. Determinar qual o diâmetro mínimo para a barra. N Resposta: D > 4,6 mm N

19 Eercício (continuação) Escolhemos uma barra com diâmetro D 5,4 mm. Além do esforço aial de 5 kn, esta barra seria capa de suportar simultaneamente um torque? De qual valor? Para responder considere S 1 Mpa e um coeficiente de segurança n s,. N T T N

20 Determinação da Distribuição de Tensão no Corpo Sujeito à Ação de Forças Eternas Carregamento combinado: Força Aial e Torção N T T N

21 Força Aial e Torção Hipóteses Pequenas Deformações Comportamento Elástico Linear Sob estas hipóteses, pode-se aplicar o princípio da superposição Os estados de tensão resultantes de cada um dos carregamentos são calculados independentemente e somados.

22 Força Aial e Torção N T T N [ ] N e A TD J

23 Força Aial e Torção N T T N [ ] N e A TD J

24 Tensões Principais Aplicação: Critérios de Falha Tensões Principais Estado 3D de Tensão Início do escoamento no ensaio de tração S S 1 3 Critério de Escoamento eq eq Estado Uniaial Equivalente

25 Corpo em equilíbrio sujeito à ação de um conjunto de forças eternas F 1 F 8 F F 7 F 3 F 4 F 6 F 5 Corpo em equilíbrio significa que qualquer parte (subvolume) do corpo deve também estar em equilíbrio

26 Corpo em equilíbrio sujeito à ação de um conjunto de forças eternas F 1 F 8 F F 7 F 3 F 4 F 6 F 5 Corte por um plano definido pelo vetor normal n

27 Corpo em equilíbrio sujeito à ação de um conjunto de forças eternas F 1 F 8 F F 3 n F 4 Forças internas de ligação (forças de superfície) mantêm as duas partes do corpo em equilíbrio

28 Corpo em equilíbrio sujeito à ação de um conjunto de forças eternas F 1 F 8 F F 3 n F 4 DF DA DF Força de superfície resultante atuando sobre o elemento de área DA n

29 Definição do Vetor Tensão s t s Vetor tensão t lim ΔA ΔF ΔA ΔF t ΔA Componente normal (tensão normal) t n t n n t n Componente tangencial (tensão cisalhante) t s t ( t n)n

30 Estado de Tensão em um Ponto O vetor tensão associado à direção cuja normal é n, pode então ser calculado a partir do tensor de tensões: t t t ( n) ( n) ( n) n n n em notações mais concisas: { ( n )} ( [ ]{ } t n ) t n ou n

31 Tensões Principais e Planos Principais Dado o estado de tensão num ponto, os planos principais são definidos como aqueles planos onde a componente tangencial (cisalhante) do vetor tensão é nula A equação abaio relaciona o vetor tensão atuando sobre um plano definido pela norman n com o tensor de tensões: ou, em forma matricial: t ( n ) n { (n) t } [ ]{ n}

32 Tensões Principais e Planos Principais Deseja-se determinar os planos definidos pelas suas normais n, tais que os vetores tensão atuando sobre eles têm a forma: Substituindo-se esta epressão na equação da tela anterior, obtém-se: ou em forma matricial: ( t n ) λn n λn [ ]{ n} λ{ n}

33 Tensões Principais e Planos Principais Portanto, a determinação dos planos principais fica reduida à solução de um problema de autovalores: n λn Os autovetores do tensor de tensão definem os planos (direções) principais. Os autovalores do tensor de tensão, λ, são as tensões principais.

34 Tensões Principais e Planos Principais Eemplo: Considere o estado de tensão dado pelo tensor: 5 1 [ ] 1 5 (em MPa) 5 As componentes do tensor referem-se a uma base Cartesiana. Seus autovalores são obtidos resolvendo-se a equação: 5 λ 1 det 1 5 λ 5 λ

35 Tensões Principais e Planos Principais Epandindo-se este determinante, obtém-se a equação: ( λ 1λ + 4)( 5 λ) Cujas raíes são: λ1 6 MPa, λ 5 MPa, e λ3 4 MPa Mostra-se ainda que as direções (planos) principais são definidas pelos autovetores (unitários e ortogonais) n1 i + j, n k, e n3 i j

36 Tensões Principais e Planos Principais

37 Estado Plano de Tensão [ ] F 1 F F 3 F 7 F 4 F 6 F 5

38 Estado Plano de Tensão: Força Aial e Torção N T T N [ ] N e A TD J

39 Vasos de Pressão de Paredes Finas (D>>t) Vasos cilíndricos θθ PD t PD 4t P θθ

40 Vasos de Pressão de Paredes Finas (D>>t) Vasos cilíndricos Tensões já estão nas direções principais!

41 Estado Plano de Tensão Conhecidas as componentes do tensor de tensões num ponto onde o estado de tensão é plano, determinar o vetor tensão em planos arbitrários F 1 F 1 F 1 F 1

42 Estado Plano de Tensão Considere o ponto P F 1 F 1 P F 1 F 1

43 Estado Plano de Tensão Considere um plano passando pelo ponto P F 1 F 1 P F 1 F 1

44 Estado Plano de Tensão O plano é determinado pela normal n que fa um ângulo a com o eio F 1 t(n) F 1 n a F 1 F 1

45 Estado Plano de Tensão t(n) τ n [ ] Deseja-se determinar e τ em função das tensões, e

46 Estado Plano de Tensão Impondo-se o equilíbrio de forças nas duas direções obtém-se: τ t(n) n + + cos + τ sin + cos sin

47 Estado Plano de Tensão O mesmo resultado é obtido considerando-se [ ] { } sin cos n { } [ ]{ } + + sin cos sin cos sin cos ) ( n t { } { } { } { } n t n t T τ ) ( ) (

48 Estado Plano de Tensão Tensões e direções principais Problema: Determinar as direções dos planos, determinados pelos ângulos a, onde ocorrem os valores máimo e mínimo de d d logo ( ) sin + cos τ d d τ

49 Estado Plano de Tensão Tensões e direções principais d d ( ) sin + cos tan p logo p 1 1 tan

50 Estado Plano de Tensão Tensões e direções principais As tensões edireções principais sao dadas pelas epressões: + m R I, II m ± R + tan p

51 Estado Plano de Tensão Tensões e direções principais As tensões e direções principais podem também ser obtidas a partir de um problema de autovalor: det ( ( + ) + ( )) I II III + +

52 Estado Plano de Tensão Tensões e direções principais tan p I + R > m II m R tan( ) p p ( ) p ( + π ) p < p < π 4 I II + < p < π 4 II I + π 4 < < p I II + π 4 < < p II I

53 Estado Plano de Tensão Tensões e direções principais Alternativa: i. Dados,, ii. iii. p 1-1 Tan ( + ( p) + + ( p + π ) ) cos( ) + p sin( ) cos( ) p p sin( ) p iv. I II ma min { } ( p), ( p + π ) { ( ), ( + π ) } p p

54 Estado Plano de Tensão Tensões e direções principais E: Determinar tensões e direções principais 6 MPa -4 MPa -4 MPa -11 MPa [ ] -11 MPa -4 MPa -4 MPa (em MPa) 6 MPa

55 Estado Plano de Tensão Tensões e direções principais E: Determinar tensões e direções principais (cont.) 11 MPa 4 MPa 6 MPa R m p 1 + Tan -1 5 MPa + 93,9 MPa! 1,6

56 Estado Plano de Tensão Tensões e direções principais E: Determinar tensões e direções principais (cont.) Considerando a tabela do Slide 43: ( + π ) I II p ( ) p m R m + R 68,9 MPa 118,9 MPa Rotação de +1,6 em torno do eio 6 4 p 68, ,9 118,9! 1,6 p ,9

57 Estado Plano de Tensão Máima tensão cisalhante Problema: Determinar os planos onde ocorrem as máima e mínima tensões cisalhantes logo d d d τ d ( ) cos sin τ tan s cot p portanto s p π + 4

58 Estado Plano de Tensão Máima tensão cisalhante I II II I I + II τ ma τ ma I + II I I + II 45 II I + II τ ma R + I II

59 Estado Plano de Tensão Impondo-se o equilíbrio de forças nas duas direções obtém-se: τ t(n) n + + cos + τ sin + cos sin

60 Estado Plano de Tensão Círculo de Mohr m + t R + R I II m m R + s II C s I s R t ma s m

61 Estado Plano de Tensão Círculo de Mohr τ C p + Ponto correspondente a e s

62 Estado Triaial de Tensão Círculo de Mohr

63 Estado Triaial de Tensão - Círculo de Mohr τ τ ma

64 Estado Triaial de Tensão Círculo de Mohr Plano onde ocorre a tensão cisalhante máima (paralelo ao eio e a 45 com a direção 1)