Resistência dos Materiais 2 AULA 5-6 TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO

Transcrição

1 Resistência dos Materiais 2 AULA 5-6 TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO PROF.: KAIO DUTRA

2 Estado Plano de Deformações O estado geral das deformações em determinado ponto de um corpo é representado pela combinação de três componentes de deformação normal e três componentes de deformação por cisalhamento.

3 Estado Plano de Deformações Para compreender o estado geral de deformações, primeiramente vamos fixar nossa atenção no estudo do estado plano de deformações. Neste caso, um elemento encontra-se submetido a dois componentes de deformação normal e a um componente de deformação por cisalhamento.

4 Equações Gerais de Transformação para o Estado Plano de Deformação Para desenvolver as equações de transformação das deformações devemos estabelecer uma convenção de sinal para tais deformações.

5 Equações Gerais de Transformação para o Estado Plano de Deformação A fim de desenvolver a equação de transformação de deformação para determinar as deformações em orientações específicas, deveremos determinar de cada segmento de reta dx, localizado ao longo do eixo x.

6 Equações Gerais de Transformação para o Estado Plano de Deformação Quando ocorre a deformação normal positiva ɛ x, a reta dx é alongada ɛ x dx, que provoca o alongamento ɛ x dxcosθ na reta dx.

7 Equações Gerais de Transformação para o Estado Plano de Deformação Da mesma maneira, ocorre em ɛ y.

8 Equações Gerais de Transformação para o Estado Plano de Deformação Supondo que dx permaneça fixa, a deformação por cisalhamento que consiste na mudança de ângulo entre dx e dy, provoca o deslocamento ϒ xy dy para a direita do topo da linha dy. Essa condição provoca o alongamento ϒ xy dycosθ de dx.

9 Equações Gerais de Transformação para o Estado Plano de Deformação Somando os três alongamentos, o alongamento resultante de dx será, então:

10 Equações Gerais de Transformação para o Estado Plano de Deformação A equação de transformação da deformação para determinar ϒ x y é desenvolvida considerando-se a intensidade da rotação que cada segmento de reta dx e dy sofre quando submetido aos componentes da deformação ɛ x, ɛ y, ϒ xy. E pode ser apresentada como:

11 Equações Gerais de Transformação para o Estado Plano de Deformação Usando identidades trigonométricas, podemos reescrever as equações sob a forma final:

12 Equações Gerais de Transformação para o Estado Plano de Deformação Como na tensão, é possível obter as deformações normais principais, utilizando as seguintes expressões: Para deformações normais principais, assim como nas tensões, a deformação de cisalhamento é nula.

13 Equações Gerais de Transformação para o Estado Plano de Deformação Para a deformação de cisalhamento principal temos a expressão:

14 Equações Gerais de Transformação para o Estado Plano de Deformação Exemplo 10.1

21 Círculo de Mohr Estado Plano de Deformações Como as equações de transformação para o estado plano de deformações são matematicamente semelhantes às equações de transformação para o estado plano de tensões, também é possível resolver os problemas utilizando o círculo de Morh.

22 Círculo de Mohr Estado Plano de Deformações Exemplo 10.4

25 Rosetas A deformação normal de um elemento pode ser medido usando-se um extensômetro de resistência elétrica, que consiste de uma malha de filamentos. Para determinação das tensões, em geral usa-se três extensômetros agrupados com um padrão específico, denominado roseta.

26 Rosetas Fazendo a leitura de cada deformação determinaremos os componentes de deformação no ponto, aplicando as equações de transformação de deformação, teremos:

27 Rosetas Para o caso apresentado na figura, teremos ângulos de 0, 45 e 90, resolvendo as equações, teremos:

28 Rosetas Para o caso apresentado na figura, teremos ângulos de 0, 60 e 120, resolvendo as equações, teremos:

29 Rosetas Exemplo 10.8

32 Relação Material-Propriedade Lei de Hooke Generalizada Se o material está sujeito a um estado de tensão triaxial em determinado ponto, desenvolve-se nele as deformações normais associadas.

33 Relação Material-Propriedade Lei de Hooke Generalizada As tensões são relacionadas às deformações por meio do princípio da superposição, da relação de Poisson e da Lei de Hooke aplicada na direção normal. Analisando na direção x: Lei de Hooke: Ralação de Poisson:

34 Relação Material-Propriedade Lei de Hooke Generalizada Ao superpor essas três deformações normais, determinamos a deformação normal resultante. O mesmo procedimento pode ser feito para as outras direções.

35 Relação Material-Propriedade Lei de Hooke Generalizada Se aplicarmos agora uma tensão de cisalhamento τ xy ao elemento, observações experimentares indicam que o material se deformará devido somente a deformação por cisalhamento ϒ xy ; isto é, τ xy não provocará outras deformações no material. A lei de Hooke para tensão de cisalhamento e deformação por cisalhamento é então escrita como:

36 Relação Material-Propriedade Relação entre E, ν e G O módulo de elasticidade E relaciona-se ao módulo de cisalhamento G pela seguinte equação:

37 Relação Material-Propriedade Dilatação e Módulo de Compressibilidade Quando um material elástico é submetido a tensão normal, seu volume muda. A fim de calcular essa mudança, consideremos um elemento de volume que esteja submetido às deformações principais. A mudança de volume do elemento é, então: Simplificando, temos:

38 Relação Material-Propriedade Dilatação e Módulo de Compressibilidade Quando um material elástico é submetido a tensão normal, seu volume muda. A fim de calcular essa mudança, consideremos um elemento de volume que esteja submetido às deformações principais. A mudança de volume do elemento é, então: Simplificando, temos:

39 Relação Material-Propriedade Dilatação e Módulo de Compressibilidade A mudança de volume por unidade de volume é chamada de deformação volumétrica ou dilatação. Elas pode ser escrita com: Se usarmos a Lei de Hooke generalizada obtemos:

40 Relação Material-Propriedade Dilatação e Módulo de Compressibilidade Quando um elemento é submetido à pressão uniforme p de um líquido, a pressão no corpo é a mesma em todas as direções e é sempre normal em qualquer superfície sobre a qual atua. Esse estado de carga é denominado carga hidrostática. Aplicando na equação anterior, temos:

41 Relação Material-Propriedade Dilatação e Módulo de Compressibilidade O termo a direita da equação abaixo é chamado de módulo de compressibilidade e é simbolizada pela letra k.

42 Relação Material-Propriedade Exemplo 10.9

43 Relação Material-Propriedade Exemplo 10.9

44 Teorias da Falha Quando precisa elaborar um projeto com um material específico, o engenheiro deve estabelecer um limite superior para o estado de tensão que defina a falha do material. Se o material for dúctil, geralmente a falha será estabelecida pelo início do escoamento, se o material for frágil, ela será especificada pela fratura. Em qualquer caso, uma vez estabelecido o estado de tensão, as tensões principais são determinadas para os pontos críticos, visto que todas as teorias apresentadas a seguir se baseiam no conhecimento das tensões principais.

45 Teorias da Falha Materiais Dúcteis Teoria da Tensão de cisalhamento Máxima O caso mais comum de escoamento de um material dúctil, como o aço, é o deslizamento. Esse deslizamento deve-se à tensão de cisalhamento.

46 Teorias da Falha Materiais Dúcteis Teoria da Tensão de cisalhamento Máxima Considerando um elemento do material tirando de um corpo-de-prova de tração, sujeito ao limite de escoamento. A tensão de cisalhamento máxima é determinada desenhando-se o círculo de Mohr. O resultado indica que: Onde a tensão de cisalhamento atua no plano a 45.

47 Teorias da Falha Materiais Dúcteis Teoria da Tensão de cisalhamento Máxima A teoria da tensão de cisalhamento máxima diz que o escoamento do material começa quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta atinge o valor da tensão de cisalhamento que provoca escoamento do material quando ele está submetido apenas a tensão axial. Segundo a teoria, para evitar a falha, a tensão máxima de cisalhamento do material deve ser menor ou igual a metade da tensão de escoamento do material

48 Teorias da Falha Materiais Dúcteis Teoria da Tensão de cisalhamento Máxima A teoria da tensão de cisalhamento máxima para o estado plano de tensões pode ser expressa para quaisquer tensões principais no plano, de acordo com o seguinte critério:

49 Teorias da Falha Materiais Dúcteis Teoria da Energia de Distorção Máxima Quando um material é deformado por uma carga externa, tende a armazenar energia internamente em todo o seu volume, esta energia por unidade de volume é chamada de densidade de energia de deformação e por ser calculada pela seguinte equação:

50 Teorias da Falha Materiais Dúcteis Teoria da Energia de Distorção Máxima Aplicando a Lei de Hooke na equação da densidade de energia de deformação teremos:

51 Teorias da Falha Materiais Dúcteis Teoria da Energia de Distorção Máxima A energia armazenada no elemento como resultado da sua mudança de volume é provocada pela aplicação de uma tensão principal média. Uma vez que essa tensão provoca deformações principais iguais no material A parte: provoca a energia de distorção.

52 Teorias da Falha Materiais Dúcteis Teoria da Energia de Distorção Máxima Desta forma, foi proposto que ocorre escoamento em um material dúctil quando a energia de distorção por unidade de volume do material é igual ou maior que a energia de distorção por unidade de volume do mesmo material quando ele é submetido a escoamento em um teste de tração simples. Esta teoria também pode ser conhecida pelos seus criadores e aperfeiçoadores: R Von Mises, H Hencky e M Huber.

53 Teorias da Falha Materiais Dúcteis Teoria da Energia de Distorção Máxima A equação da energia de distorção por unidade de volume pode ser simplificada para: Admitindo um estado plano de tensões:

54 Teorias da Falha Materiais Dúcteis Teoria da Energia de Distorção Máxima Como a teoria da energia requer que: Temos que: Então:

55 Teorias da Falha Materiais Dúcteis Teoria da Energia de Distorção Máxima Essa equação representa uma curva elíptica de forma que se o ponto do material estiver fora da área sombreada, diz-se que o material falhou.

56 Teorias da Falha Materiais Dúcteis Teoria da Energia de Distorção Máxima É possível compara os dois critérios já apresentados (cisalhamento máxima e energia de distorção), esta comparação está apresentada a figura. Testes de tração mostram que a teoria da energia de distorção oferece resultados mais precisos, em torno de 15%.

57 Teorias da Falha Exemplo 10.12