LOM Teoria da Elasticidade Aplicada

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Washington Moreira Natal
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1 Departamento de Engenharia de Materiais (DEMAR) Escola de Engenharia de Lorena (EEL) Universidade de São Paulo (USP) LOM310 - Teoria da Elasticidade Aplicada Parte - Critérios de Falha Prof. Dr. João Paulo Pascon Lorena - 018

2 . Critérios de Falha A crescente complexidade dos problemas mecânicos e estruturais demanda critérios de falha mais sofisticados. Os critérios de falha simples nos quais são definidos valores máximos para as componentes individuais de tensão normal e cisalhante não podem ser aplicados quando temos estados de tensão plano e 3D. Neste capítulo, serão abordados dois tipos de falhas bastante comuns em materiais de engenharia: fratura frágil e escoamento (ou plastificação)..1. Critérios de Fratura para Materiais Frágeis No caso de materiais frágeis, a ruptura (ou falha) ocorre com pequenos níveis de deformação. Uma vez superado o limite de resistência, o material rompe de maneira repentina ou catastrófica. Em geral, essa ruptura acontece ainda em regime elástico-linear, no qual o comportamento mecânico do material é regido pela lei de Hooke. Nesta disciplina, veremos três critérios de falha para materiais frágeis: Coulomb, Rankine e Mohr Critério de Coulomb De acordo com o modelo de Coulomb, os materiais frágeis rompem quando a tensão normal supera, em módulo, um determinado limite de resistência, que é o mesmo para tração e para compressão. No caso do estado plano de tensão (EPT), por exemplo, uma vez calculadas as duas tensões principais (σa e σb), devemos garantir que: a e b U (.1) U 1

onde σu é o limite de resistência do material. A Figura.1 mostra os limites dos valores possíveis para as duas tensões principais, conforme o critério de Coulomb.

3 onde σu é o limite de resistência do material. A Figura.1 mostra os limites dos valores possíveis para as duas tensões principais, conforme o critério de Coulomb. No caso de estado 3D, deve-se garantir que nenhuma das três tensões principais supere, em módulo, o limite σu. Figura.1. Critério de Coulomb para material frágil sob estado plano de tensão..1.. Critério de Rankine O critério de Coulomb do item anterior é muito simples e não condiz, por exemplo, com o comportamento de materiais cerâmicos, nos quais a resistência à compressão é muito superior ao limite de tração. Nesses casos, é mais conveniente empregar o critério de Rankine, no qual são utilizados dois limites de resistência: o de tração (σut) e o de compressão (σuc). Para aplicar tal critério, basta verificar se o valor das tensões principais está no seguinte intervalo: (.) UC UT A diferença em relação ao gráfico da Figura.1 é que, no critério de Rankine, o centro do quadrado não está mais na origem (0,0), já que os limites das duas tensões principais são e UT. UC

.1.3. Critério de Mohr Embora o critério de Rankine seja mais elaborado do que o de Coulomb, ambos levam em consideração apenas o efeito das tensões normais.

4 .1.3. Critério de Mohr Embora o critério de Rankine seja mais elaborado do que o de Coulomb, ambos levam em consideração apenas o efeito das tensões normais. Para incluir o efeito do cisalhamento, pode-se utilizar o critério simplificado de Mohr (ver Figura.), no qual temos os mesmos dois limites de resistência do critério de Rankine (σut e σuc). No caso plano, o material não falha de acordo com o critério de Mohr se as seguintes condições forem satisfeitas:, se a b UT a 0 e 0 b (.3.1), se 0 e 0 (.3.) a b UC a b a UC b UT 1 se a 0 e 0 b (.3.3) a UT b 1 se a 0 e b 0 (.3.4) UC Figura.. Critério simplificado de Mohr para material frágil sob estado plano de tensão. 3

5 .. Critério de Escoamento da Máxima Tensão Cisalhante (Tresca) Diferentemente do frágil, o material dúctil é aquele que apresenta maiores níveis de deformação na ruptura. De modo geral, o material dúctil escoa (ou plastifica) antes de romper. Os exemplos mais comuns na engenharia são os materiais metálicos, como o aço e o alumínio. Assim como a fratura, a plastificação de um material pode comprometer seu desempenho estrutural e, portanto, deve ser evitada. Dessa forma, para materiais dúcteis, definimos critérios de plastificação (e não de fratura). O primeiro deles é o critério de Tresca, também chamado de critério da máxima tensão de cisalhamento. De acordo com observações experimentais, o material escoa (ou entra em regime elastoplástico) quando o cisalhamento máximo supera um determinado limite de resistência, o qual pode ser definido no ensaio de tração uniaxial: e max (.4) onde σe é a tensão de escoamento do material. No estado plano de tensão, sabemos que valor máximo do cisalhamento é igual à metade da diferença entre as duas tensões principais. Assim, o critério de Tresca consiste na verificação das seguintes condições: max se as tensões principais possuem mesmo sinal (.5.1) e a b e se as tensões principais possuem sinal contrário (.5.1) No caso 3D, devem ser calculadas as três diferenças entre tensões principais (σ1 - σ, σ1 - σ3, σ - σ3). Em seguida, o maior módulo dessas diferenças é comparado com a tensão de escoamento do material. 4

6 .3. Critério da Energia de Distorção (Von Mises) Um dos critérios de plastificação mais comuns no contexto dos materiais metálicos é o critério de von Mises, também chamado de critério da máxima energia de distorção. Segundo observações experimentais, de modo geral os materiais metálicos não escoam quando submetidos a estados de tensão hidrostáticos: 1 3 (ver item.4). No caso triaxial geral (ou seja, quando as três tensões principais não são necessariamente iguais), a energia específica de deformação referente à distorção (ver item.4) é: u d (.6) 6E No estado plano, temos σ3 = 0 e, portanto: u d E (.7) No caso de uma barra sob tração uniaxial: u d 1 (.8) 3E O limite para a energia específica de deformação é definido no ensaio de tração uniaxial substituindo σ1 por σe na expressão (.8). Com isso, o critério de von Mises para o estado plano é: 1 1 e (.9) Os critérios de Tresca e von Mises para o estado plano são mostrados na Figura.3. 5

7 Figura.3. Critérios de plastificação de Tresca (à esquerda) e de von Mises (à direita). Em geral, define-se uma grandeza auxiliar chamada de tensão equivalente (ou tensão de Von Mises) combinando-se as expressões (.6) e (.8) e considerando o limite de escoamento: VM e (.10).4. Componentes Hidrostático e Desviador do Estado de Tensão Uma maneira usual de separar o tensor das tensões é a decomposição aditiva nas parcelas hidrostática e desviadora: σ σ σ (.11.1) h d x xy xz m 0 0 x m xy xz xy y yz 0 m 0 xy y m yz 0 0 xz yz z m xz yz z m (.11.) 1 3 onde m é a tensão média. 3 6

8 A partir da decomposição (.11), podemos definir o tensor de deformação hidrostático εh e, com ele, uma lei do tipo volumétrica aplicando a lei de Hooke 3D à parcela hidrostática de tensão: ε h m E (.1) hidr V 3 1 V tr ε h m K m (.13) V0 E onde εv é a deformação volumétrica; V denota o volume; e K é um coeficiente do material chamado de módulo de compressibilidade volumétrica (ou bulk modulus). É possível mostrar que a deformação volumétrica provocada pela parcela desviadora de tensão é nula ( total V dev V 0 hidr V e, assim, a variação de volume é causada apenas pela parcela hidrostática ( ). Outro conceito que aparece em mecânica dos sólidos é a energia de deformação específica: u 1 1 : xx yy zz xy xy xz xz yz yz σε (.14) Essa quantia pode ser interpretada como sendo a área abaixo do gráfico tensão-deformação num ensaio de tração uniaxial ou num ensaio de cisalhamento puro. A aplicação da lei de Hooke 3D permite calcular a energia em função das componentes de tensão. Por exemplo, considerando um estado de tensão 3D nas direções principais: ) 1 u E (.15) Se calcularmos a energia de deformação específica para a parcela desviadora do tensor de tensões nas direções principais, chegamos ao resultado da expressão (.6). 7

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