UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGIAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL MECÂNICA DOS SÓLIDOS II

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGIAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL MECÂNICA DOS SÓLIDOS II Aula 01 Teoria das Tensões Eng. Civil Augusto Romanini Sinop - MT 2017/1 v1.3

2 AULAS Aula 00 Apresentação/Revisão Aula 01 Teoria das Tensões Aula 02 Critérios de Resistência Aula 03 Vasos de Pressão de Paredes Finas Aula 04 Teoria das Deformações Aula 05 Flambagem de Colunas Aula 06 Torção Simples/Pura 2

3 Objetivos Conceitos Equações Circulo de Mohr Exemplos 3

4 Objetivos Objetivo Geral: Apresentar a teoria das tensões aplicadas em estruturas civis usuais e afins. Objetivo Especifico: Definir e aplicar o estado plano de tensões em quaisquer direções. Mostrar como transformar as componentes de tensão, associados a um sistema de coordenadas particular, em componentes associadas a um sistema de orientação diferente. Estabelecer as equações de transformação e obter as tensões normal máxima e de cisalhamento máxima determinando a orientação dos elementos sobre os quais atuam. 4

5 Conceitos Tensão O conceito de tensão se origina do conceito elementar de pressão, como, por exemplo, a hidrostática que consiste numa força normal por unidade de área. Por tensão, entende-se uma extensão dessa ideia para os casos em que a força por unidade de área pode não ser, necessariamente, normal. Definição (1) : A relação entre a força infinitesimal aplicada em uma área infinitesimal é denominada tensão. Definição (2) : Os esforços aplicados em uma massa infinitesimal podem apresentar duas resultantes na direção normal ( R α ) e Tangencial (T α ), a partir das quais definem se os estados de tensões normais e cisalhante, σ a e τ a. σ a = R α A τ a = T α A 5

6 Conceitos Tensor de tensões A partir das tensões obtidas da relação anterior pode se definir o estado de tensão em um ponto". O estado de tensão de um ponto pode ser caracterizado a partir do conhecimento dos componentes normal e tangencial do vetor de tensão em relação a três planos mutuamente ortogonais (geralmente são empregadas as direções do sistema de coordenadas de referência do corpo). Assim como foi feito para os esforços internos solicitantes, define-se uma orientação desses componentes em relação à porção do corpo analisada. Normalmente x,y e z. Os componentes do vetor de tensão em relação aos três planos mutuamente ortogonais serão organizados para formar o denominado tensor de tensão. 6

7 Conceitos Tensor de tensões Atenção: Apesar desta visão volumétrica do estado de tensão, o mesmo corresponde às informações de um ponto do sólido analisado. Índices dos componentes: O 1º índice indica a direção normal à face de atuação e o 2º índice indica a direção do componente. 7

8 Conceitos Tensor de tensões Tensão Uniaxial Tensão bi-axial Tensão tri-axial 8

9 Conceitos Tensor de tensões Estado Geral de Tensão Estado Plano de Tensão Tensões Normais σ xx = σ x σ yy = σ y σ zz = σ z Tensões Cisalhantes τ xy ; τ xz Plano YZ τ yz ; τ yx Plano XZ τ zy ; τ zx Plano XY OBSERVAÇÃO: Conforme o teorema de Cauchy ( ), também conhecido como Teorema do Tetraedro que a partir do equilíbrio de um elemento cúbico infinitesimal, tem se que τ xy e τ yx. O mesmo ocorre com os outros planos que compõem o tensor de tensões. 9

10 Conceitos Tensor de tensões Convenção de sinal Tensão Normal Tensão Cisalhante Ângulo de rotação Tração ( + ) Compressão ( - ) Vertical para cima face direita (+) Vertical para baixo face direita (-) Anti-horário (+) Horário (-) 10

11 Conceitos Tensor de tensões Transformação de tensão Definição (1) : O estado plano de tensão em um ponto é representado exclusivamente por três componentes que agem sobre um elemento que uma orientação especifica neste ponto. Estado Plano de Tensão Importante(1): Para transformar as tensões são necessários duas condições. A primeira é que o equilíbrio do elemento cúbico infinitesimal naquele ponto e as tensões normais e cisalhantes conhecidas. Definição (2) : O estado plano de tensão em um ponto é representado exclusivamente por três componentes que agem sobre um elemento que uma orientação especifica neste ponto. Importante(2): A transformação dos componentes de tensão é diferente pois lembre se que tensão leva em conta o valor e a direção ( vetorização), além da orientação da área sobre este componente age. 11

12 Conceitos Tensor de tensões Transformação de tensão Definição (3) : Estado plano de tensão ocorre em uma placa fina submetida a forças que atuam no plano médio da espessura da placa. Definição (4) : O estado plano de tensão também ocorre na superfície livre de um elemento estrutural ou componente de máquina, ou seja, em qualquer ponto da superfície que não esteja submetido a uma força externa. 12

13 Conceitos Tensor de tensões Transformação de tensão Considerando as condições para o equilíbrio de um elemento prismático com faces perpendicular aos eixos x, y, e x. Fx Fy x y x y 0 0 x y x y y A x A cos cos xy A cos Asen sen Asen cos A x xy A cos sen A cos Asen cos Asen sen xy x y x y cos x y x y cos x y sen2 xy cos 2 2 xy xy xy sen2 sen2 sen cos As equações podem ser reescritas para produzir 13

14 Equações Tensor de tensões Transformação de tensão Equações Gerais de tensões σ x = σ x+σ y 2 + σ x σ y 2 cos2θ + τ xy sen2θ (1) σ y = σ x+σ y 2 σ x σ y 2 cos2θ τ xy sen2θ (2) τ xy = σ x σ y 2 sen2θ + τ xy cos2θ (3) τ xy = σ x σ y 2 sen2θ τ xy cos2θ (4) 14

15 Equações Tensor de tensões Transformação de tensão Tensões (normais) Principais σ 1,2 = σ x+σ y 2 ± σ x σ y τxy 2 (5) As tensões principais ocorrem nos planos principais e tem tensão cisalhante igual a zero. Apresentam a maior e menor tensão normal que atuam em determinado ponto de análise. Planos Principais Tg2θ 1,2 = 2 τ xy σ x σ y (6) Importante: Sempre é valido: σ 1 σ 2 A soma das tensões é invariante entre si:σ 1 + σ 2 = σ x + σ y = σ x + σ y θ 2 = θ º 15

16 Equações Tensor de tensões Transformação de tensão Tensões de cisalhamento máxima e mínima τ máx,mín = ± σ x σ y τxy 2 (7) Os planos para tensão de cisalhamento máxima (mínima) podem ser determinados orientando um elemento a 45º em relação á posição de um elemento que define os planos da tensão principal. Planos Principais Tg2θ 3,4 = σ x σ y 2 τ xy (8) Importante: θ 3 é o ângulo de inclinação da tensão normal associada (σ c ) a tensão de cisalhamento máxima θ 4 é o ângulo de inclinação da tensão normal associada (σ c ) a tensão de cisalhamento mínima Aplicando os valores de θ 3 e θ 4 na equação (3) pode se encontrar o valor das cisalhantes máximas e mínimas. Tensão Associada σ c = σ x+σ y 2 (9) 16

17 Conceitos Tensor de tensões Transformação de tensão Estado tri-axial Tração Pura Compressão Pura Cisalhante pura Estado duplo Compressão Hidrostática 17

18 Círculo de Mohr Com o significado físico do círculo de Mohr para tensão plana estabelecida, ele pode ser aplicado com simples considerações geométricas. Valores críticos são estimados graficamente ou calculados. 18

19 Círculo de Mohr Círculo de Mohr para carga axial centrada: x P, y xy 0 A Círculo de Mohr para carga torcional: x y xy P 2A Tc x y 0 xy Tc 0 J x y xy J 19

20 Círculo de Mohr I. Defina o eixo das tensões normais conforme o eixo x(+) e eixo das tensões cisalhantes de acordo com o eixo y(+), vertical para cima. II. A partir do sistema cartesiano definido, o primeiro ponto, que é denominado POLO (P), utilizando o par III. de tensões da face direita do EPT. No mesmo sistema cartesiano, deve se plotar os demais pontos que são T x, T y1, T y2. T x é por de tensões da face esquerda; T y1 e T y2 são os pares de tensões nas faces superior e inferior do EPT. IV. Unir os pontos opostos, T x e T y2, diretamente opostos determinando o centro do círculo. V. Determinar o raio do círculo. O raio pode ser determinado ligando o centro determinado no item anterior ao POLO. VI. Extrair as informações do círculo que são as tensões principais, tensões cisalhantes e planos de atuação. 20

21 Círculo de Mohr 21

22 Referências GERE, J. M. Mecânica dos Materiais. Tradução de Luiz Fernando de Castro Paiva, Revisão Técnica de Marco Lucio Bittencourt. 5 ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, p. HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. Tradução de Arlete Simille Marques; Revisão Técnica de S. S.da Cunha Junior.7 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, p. 22

23 Obrigado pela atenção. Perguntas? 23

24 Exemplos Exemplo 01 Para o Estado Plano de Tensão ( EPT) de um determinado ponto é apresentado na figura abaixo. Determine o que é solicitado. a) Tensões Principais e os Planos Principais b) Tensão de Cisalhamento máxima e Tensão associada. c) Tensões normais e Tensão de Cisalhante para um plano orientado a +45,00º σ y τ xy σ x = 50,00 kn/cm² σ y = 10,00 kn/cm² τ xy = 40,00 kn/cm² EPT σ x 24

25 Exemplos Exemplo 02 Para o Estado Plano de Tensão ( EPT) de um determinado ponto é apresentado na figura abaixo. Apresente o circulo de Mohr. σ y τ xy σ x = 50,00 kn/cm² σ y = 10,00 kn/cm² τ xy = 40,00 kn/cm² EPT σ x 25

26 38 12 Exemplos Exemplo 03 Uma viga de madeira foi construída para vencer determinado vão e suportar um respectivo carregamento. Deseja se obter algumas informações sobre como se comporta o elemento estrutural e sua seção, para que assim se possa determinar imposições executivas. A seção de análise está a 4,00 metros do apoio fixo. O ponto de análise da seção está indicado como P. a) Tensões Normais Principais b) Tensões Cisalhantes 45 c) Plano de atuação das tensões d) Tensões atuantes no ponto, sabendo que as fibras da madeira P estão inclinadas com um ângulo de +23º, com a horizontal. e) Círculo de Mohr para o EPT cm 26

27 5 Exemplos Exemplo 04 A construção de uma passarela utilizara diversos elementos de aço. Devido ao tamanho do vão a ser vencido será necessário soldar estes elementos para confeccionar a viga principal. A viga principal será composta por duas vigas de 6,00 metros soldadas no meio do vão. Foi escolhido utilizar uma viga de formato T robusta pois a mesa superior da viga já servirá como um tabuleiro. O plano de carregamento ficará situado no meio da mesa. O esquema de carregamento e a seção geométrica são apresentadas abaixo, assim como os pontos de análise. São solicitada duas seções de análise: I. Seção no meio do vão ( 4,00 metros do apoio móvel) II. Seção imediatamente a direita do apoio móvel 45 A B cm 27

28 Exemplos Exemplo 04 Solicita se para a situação anterior. a) EPT atuante no ponto b) Tensões principais e plano de atuação. c) Tensões cisalhante e plano de atuação. d) Circulo de Mohr para cada EPT e) Para a Seção I Qual o EPT atuante para um plano inclinado a 30º f) Para a Seção II Qual o EPT atuante para um plano situado a 60º g) Analise as características das tensões nos pontos e seções para o carregamento apresentado. Qual a situação mais crítica? Sugestão de Exercício Continuado: Analise a Seção imediatamente a esquerda do Apoio móvel. Analise a seção imediatamente a direita do Apoio fixo. 28

29 Exercícios Sugeridos Hibeller 7ed Capitulo 9 Pag.321 Disponível na biblioteca. 9.10, 9.11, 9.16, 9.25, 9.26, 9.43, 9.77 James Gere 5ed Capitulo 7 Pag.351 Disponível na biblioteca 7.2-1; 7.2-2; 7.2-3; 7.2-4; 7.2-9; 7.3-9; a ,0 kn/cm² 1450,4 psi ou 1,0 N/cm² 1,45 psi 29