Capítulo 7 Transformação de deformação no plano

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1 Capítulo 7 Transformação de deformação no plano Resistência dos Materiais I SLIDES 08 Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt prof.douglas.pucgo@gmail.com

2 Objetivos do capítulo Transformar as componentes de deformação associadas a um determinado sistema de coordenadas em componentes associadas a um sistema de coordenadas com uma orientação diferente Obter a deformação normal máima e a deformação de cisalhamento máima em um ponto e determinar a orientação dos elementos sobre os quais elas agem

3 Transformação da deformação no plano Estado geral de deformação no espaço 3D Estado geral de deformação no plano D z z z z z 3

4 7.1) Deformação Plana O estado plano de deformação em um ponto é representado eclusivamente por três componentes que agem sobre um elemento que tenha uma orientação específica neste ponto. 4

5 Estado plano de tensão Estado plano de deformação 5

6 7.) Equações de transformação de deformação no plano Convenção de sinal positiva: 6

7 7 (7.1) sin cos ' (7.) cos sin ' ' (7.3) sin cos ' 7.) Equações de transformação de deformação no plano

8 7.) Equações de transformação de deformação no plano 8

9 7.) Equações de transformação de deformação no plano Deformações principais: 9 (7.4) tan p (7.5), 1

10 7.) Equações de transformação de deformação no plano Deformação por cisalhamento máima: tan (7.6) s ma (7.7) med (7.8) 10

11 7.3 Círculo de Mohr para Deformações Consiste na solução gráfica das equações de transformação de deformação no plano ' ' ' cos sin cos sin (7.1) (7.) Permite a visualização das componentes de deformação de acordo com a orientação do plano em que agem. 11

12 Da mesma forma que foi feito para as tensões, pode-se obter a equação do círculo de Mohr para as deformações: Dedução do Círculo de Mohr 1 ) (7.9 ' ' ' R med med R

13 Dedução do Círculo de Mohr 13

14 Construção do Círculo de Mohr 1. Estabelecer um sistema de coordenadas com ε positiva para a direita e γ/ positiva para baio. Utilizar a convenção mostrada abaio para os valores positivos de ε e de γ 14

15 Construção do Círculo de Mohr 3. Marcar o centro do círculo C, que está localizado no eio ε a uma distância de ε méd = (ε + ε )/ da origem 4. Marcar o ponto de referência A cujas coordenadas são A(ε, γ /), referente ao ângulo θ=0º, ou seja, alinhado com o eio ε do estado de deformações dado 5. Unir o ponto A ao centro C, determinando a hipotenusa CA, que representa o raio R do círculo. Um ponto de coordenadas (ε, -γ /), diametralmente oposto ao ponto A também pode ser marcado 6. Traçar o círculo utilizando o raio encontrado 15

16 Construção do Círculo de Mohr 16

17 Análise com o Círculo de Mohr As deformações principais ε 1 e ε são apresentadas pelos dois pontos B e D, onde o círculo intercepta o eio ε As deformações principais agem nos planos definidos por θ p1 e θ p (sentido anti-horário neste caso) da linha CA até a linha do CB 17

18 Análise com o Círculo de Mohr A rotação de θ p1 deve ser na mesma direção do eio de referência do elemento até o eio 18

19 Análise com o Círculo de Mohr A deformação normal média e a metade da deformação por cisalhamento máima no plano são determinadas pelo círculo com as coordenadas dos pontos E e F O ângulo θ s1 é determinado por trigonometria. Aqui a rotação é em sentido horário 19

20 Análise com o Círculo de Mohr A rotação de θ s1 deve ser na mesma direção do eio de referência do elemento até o eio 0

21 Análise com o Círculo de Mohr As componentes ε e γ num ponto qualquer P atuantes em um plano definido por um ângulo θ, medido no sentido antihorário, são obtidos por trigonometria Para localizar P, o ângulo θ de um plano (no sentido anti-horário) é medido no círculo como θ (no mesmo sentido anti-horário) da linha CA para CP 1

22 Análise com o Círculo de Mohr As medições de θ no círculo devem estar na mesma direção de θ para o eio '

23 Eemplo 10.4 (Hibbeler) O estado plano de deformação em um ponto é representado pelas componentes ε = , ε = e γ = Determine as deformações principais e a orientação do elemento. Centro do círculo: med As coordenadas do ponto de referência para θ = 0º são A(ε, γ /). A(5010-6, ) 3

24 Eemplo 10.4 (Hibbeler) O estado plano de deformação em um ponto é representado pelas componentes ε = , ε = e γ = Determine as deformações principais e a orientação do elemento. Raio do Círculo = CA: R R 08,

25 Eemplo 10.4 (Hibbeler) Deformações principais (Pontos B e D): , , Orientação dos planos principais p 1 tan p1 16,70º p1 8,35º 5

26 Eemplo 10.4 (Hibbeler) Deformações principais (Pontos B e D): , , Orientação dos planos principais p 1 tan p1 16,70º p1 8,35º 6

27 Eemplo 10.5 (Hibbeler) O estado plano de deformação em um ponto é representado pelas componentes ε = , ε = e γ = Determine as deformações por cisalhamento máimas no plano e a orientação do elemento. Centro do círculo: med 50 As coordenadas do ponto de referência para θ = 0º são A(ε, γ /). Mesmo círculo de Mohr do eemplo anterior A(5010-6, ) 7

28 Eemplo 10.5 (Hibbeler) Deformação por cisalhamento máima no plano (Pontos E e F): Não é o raio do círculo de Mohr!!! ' ',ma 6 08,810 Orientação dos planos de deformação cisalhante máima s1 6 ' ',ma tan s1 73,30º s1 36,65º 8

29 Eemplo 10.5 (Hibbeler) Deformação por cisalhamento máima no plano (Pontos E e F): Não é o raio do círculo de Mohr!!! ' ',ma 6 08,810 Orientação dos planos de deformação cisalhante máima s1 6 ' ',ma tan s1 73,30º s1 36,65º 9

30 Eemplo 10.6 (Hibbeler) O estado plano de deformação em um ponto é representado pelas componentes ε = , ε = e γ = Determine o estado de deformação em um elemento orientado em 0º em sentido horário. Centro do círculo: med As coordenadas do ponto de referência para θ = 0º são A(ε, γ /). A( , ) 30

31 Eemplo 10.6 (Hibbeler) O estado plano de deformação em um ponto é representado pelas componentes ε = , ε = e γ = Determine o estado de deformação em um elemento orientado em 0º em sentido horário. Raio do Círculo = CA: R R 111,

32 Eemplo 10.6 (Hibbeler) O estado plano de deformação em um ponto é representado pelas componentes ε = , ε = e γ = Determine o estado de deformação em um elemento orientado em 0º em sentido horário. Deformações no elemento a -0º Como o elemento deve sofrer rotação de 0º em sentido horário, deve-se traçar a linha radial CP, (0º) = 40º em sentido horário, medida em relação a CA (θ = 0º). 3

33 Eemplo 10.6 (Hibbeler) O estado plano de deformação em um ponto é representado pelas componentes ε = , ε = e γ = Determine o estado de deformação em um elemento orientado em 0º em sentido horário. Deformações no elemento a -0º ' Coordenadas do Ponto P: ' ' 50 tan ' ' 6,57º 40º 6,57º 13,43º ,8 cos13, ,8 sin13,

34 Eemplo 10.6 (Hibbeler) O estado plano de deformação em um ponto é representado pelas componentes ε = , ε = e γ = Determine o estado de deformação em um elemento orientado em 0º em sentido horário. Deformações no elemento a -0º 6 ' ' ' 510 Coordenadas do Ponto Q: ' ,8 cos13,43 91,310 6 ' 5 '