Capítulo 6 Círculo de Mohr para tensões

Transcrição

1 Capítulo 6 Círculo de Mohr para tensões Resistência dos Materiais I SLIDES 07 Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt prof.douglas.pucgo@gmail.com

2 6.4 Círculo de Mohr - Tensão no plano Consiste na solução gráfica das equações de transformação de tensão no plano sin cos sin (6.1) cos (6.) Permite a visualização das componentes de tensão de acordo com a orientação do plano em que agem.

3 6.4 Círculo de Mohr - Tensão no plano Permite a visualização das componentes de tensão de acordo com a orientação do plano em que agem. 3

4 Dedução do Círculo de Mohr As equações (6.1) e (6.) podem ser reescritas: 4 (6.10) sin cos (6.1) sin cos ) (6.11 cos sin (6.) cos sin

5 Elevando ao quadrado as eqs. (6.10) e (6.11) e somando-as, tem-se: Dedução do Círculo de Mohr 5 (6.10) sin cos ) (6.11 cos sin

6 A eq. anterior pode ser colocada em uma forma mais compacta: Dedução do Círculo de Mohr 6 ) (6.1 R med med R

7 Dedução do Círculo de Mohr Se definirmos eios coordenados com σ positiva para a direita e τ positiva para baio e então construirmos o gráfico da eq. (6.1), veremos que essa equação representa um círculo de raio R e centro no eio σ no ponto C(σ med,0). 7

8 Dedução do Círculo de Mohr Qual a orientação dos eios positivos??? σ positiva para a direita e τ positiva para baio 8

9 Dedução do Círculo de Mohr R (6.1) med 9

10 Construção do Círculo de Mohr 1. Estabelecer um sistema de coordenadas com σ positiva para a direita e τ positiva para baio. Utilizar a convenção mostrada ao lado para os valores positivos de σ e de τ 3. Marcar o centro do círculo C, que está localizado no eio σ a uma distância de σ méd =(σ + σ )/ da origem 4. Marcar o ponto de referência A cujas coordenadas são A(σ, τ ), referente ao ângulo θ=0º, ou seja, alinhado com o eio σ do estado de tensões dado 10

11 Construção do Círculo de Mohr med 11

12 Construção do Círculo de Mohr 5. Unir o ponto A ao centro C, determinando a hipotenusa CA, que representa o raio R do círculo. Um ponto G de coordenadas (σ, -τ ), diametralmente oposto ao ponto A também pode ser marcado 6. Traçar o círculo utilizando o raio encontrado 1

13 Análise com o Círculo de Mohr As tensões principais σ 1 e σ são apresentadas pelos dois pontos B e D, onde o círculo intercepta o eio σ As tensões principais agem nos planos definidos por θ p1 e θ p (sentido anti-horário neste caso) da linha CA até a linha do CB 13

14 Análise com o Círculo de Mohr As componentes de tensão de cisalhamento máima e de tensão normal média são determinadas pelo círculo com as coordenadas dos pontos E e F O ângulo θ s1 é determinado por trigonometria. Aqui a rotação é em sentido horário (ver figura) As componentes σ e τ num ponto qualquer P atuantes em um plano definido por um ângulo θ, medido no sentido anti-horário, são obtidos por trigonometria Para localizar P, o ângulo θ de um plano (no sentido anti-horário) é medido no círculo como θ (no mesmo sentido anti-horário) da linha CA para CP 14

15 Análise com o Círculo de Mohr 15

16 Análise com o Círculo de Mohr 16

17 Eemplo 9.7 (Hibbeler) A carga aial P produz o estado de tensão no material como mostra a Figura 9.18a. Construa o círculo de Mohr para esse caso. Pela Figura: 0 0 Centro do círculo: med 0 Figura 9.18 As coordenadas do ponto de referência para θ = 0º são A(σ,0). O Raio do Círculo CA é R = σ/. 17

18 Eemplo 9.7 (Hibbeler) A carga aial P produz o estado de tensão no material como mostra a Figura 9.18a. Construa o círculo de Mohr para esse caso. Pela Figura: 0 0 Centro do círculo: med 0 As coordenadas do ponto de referência para θ = 0º são A(σ,0). O Raio do Círculo CA é R = σ/. 18

19 Eemplo 9.7 (Hibbeler) A carga aial P produz o estado de tensão no material como mostra a Figura 9.18a. Construa o círculo de Mohr para esse caso. Tensões principais (Pontos A e D): 1 0 Tensão de cisalhamento máima e Tensão normal média: Dadas pelo ponto E na figura: ma med 19

20 Eemplo 9.7 (Hibbeler) A carga aial P produz o estado de tensão no material como mostra a Figura 9.18a. Construa o círculo de Mohr para esse caso. Por observação, o ângulo em sentido horário θ s1 = 90º. Portanto, θ s1 = 45º, de modo que o eio está orientado a 45º em sentido horário em relação ao eio. Como E tem coordenadas positivas, então σ med e τ ma agem nas direções e positivas, respectivamente. 0

21 Eemplo 9.8 (Hibbeler) A carga de torção T produz o estado de tensão no eio como mostra a Figura 9.19a. Construa o círculo de Mohr para esse caso. Pela Figura: 0 0 Centro do círculo: med As coordenadas do ponto de referência para θ = 0º são A(0,-τ). Figura 9.19 O Raio do Círculo CA é R = τ. 1

22 Eemplo 9.8 (Hibbeler) A carga de torção T produz o estado de tensão no eio como mostra a Figura 9.19a. Construa o círculo de Mohr para esse caso. Pela Figura: 0 0 Centro do círculo: med As coordenadas do ponto de referência para θ = 0º são A(0,-τ). O Raio do Círculo CA é R = τ.

23 Eemplo 9.8 (Hibbeler) A carga de torção T produz o estado de tensão no eio como mostra a Figura 9.19a. Construa o círculo de Mohr para esse caso. Tensões principais (Pontos B e D): 1 Tensão de cisalhamento máima e Tensão normal média: Dadas pelo ponto A na figura: ma med 0 3

24 Eemplo 9.9 (Hibbeler) As cargas combinadas no cilindro maciço produzem o estado de tensão como mostra a Figura 9.0a. Determine as tensões principais que agem no ponto. Pela Figura: Centro do círculo: med 1 MPa 6 MPa MPa As coordenadas do ponto de referência para θ = 0º são A(-1,-6). Raio do Círculo eq. (6.1): Figura 9.0a R 8,49 MPa med 4

25 Eemplo 9.9 (Hibbeler) As cargas combinadas no cilindro maciço produzem o estado de tensão como mostra a Figura 9.0a. Determine as tensões principais que agem no ponto. Pela Figura: 1 MPa 6 MPa 0 Centro do círculo: med 6 MPa As coordenadas do ponto de referência para θ = 0º são A(-1,-6). Raio do Círculo eq. (6.1): R 8,49 MPa med 5

26 Eemplo 9.9 (Hibbeler) As cargas combinadas no cilindro maciço produzem o estado de tensão como mostra a Figura 9.0a. Determine as tensões principais que agem no ponto. Tensões principais (Pontos B e D): 8,49 6 1,49 MPa 6 8,49 14,49 MPa Orientação das tensões principais: 1 6 p tan 45º p,5º 1 6 6

27 Eemplo 9.10 (Hibbeler) Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.1a, determine a tensão de cisalhamento máima e a orientação do elemento sobre o qual ela age. Centro do círculo: med MPa As coordenadas do ponto de referência para θ = 0º são A(-0,60). Figura 9.1a Pela Figura: 0 MPa 60 MPa 90 MPa Raio do Círculo eq. (6.1): R 81,4 MPa med 7

28 Eemplo 9.10 (Hibbeler) Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.1a, determine a tensão de cisalhamento máima e a orientação do elemento sobre o qual ela age. Centro do círculo: med MPa As coordenadas do ponto de referência para θ = 0º são A(-0,60). Raio do Círculo eq. (6.1): R 81,4 MPa med 8

29 Eemplo 9.10 (Hibbeler) Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.1a, determine a tensão de cisalhamento máima e a orientação do elemento sobre o qual ela age. Tensão de cisalhamento máima e Tensão normal média: Dadas pelos pontos E e F na figura: ma 81,4MPa med Orientação do elemento: s tan 60 35MPa 4,5º s1 1,3º 9

30 Eemplo 9.11 (Hibbeler) Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.a, represente o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido antihorário em relação à posição mostrada na figura. Centro do círculo: med 8 1 MPa As coordenadas do ponto de referência para θ = 0º são A(-8,-6). Figura 9.a Pela Figura: 8 MPa 6 MPa 1 MPa Raio do Círculo eq. (6.1): R 11,66 MPa med 30

31 Eemplo 9.11 (Hibbeler) Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.a, represente o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido antihorário em relação à posição mostrada na figura. Centro do círculo: med 8 1 MPa As coordenadas do ponto de referência para θ = 0º são A(-8,-6). Raio do Círculo eq. (6.1): R 11,66 MPa med 31

32 Eemplo 9.11 (Hibbeler) Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.a, represente o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido antihorário em relação à posição mostrada na figura. Tensões no elemento a 30º Como o elemento deve sofrer rotação de 30º em sentido antihorário, deve-se traçar a linha radial CP, (30º) = 60º em sentido anti-horário, medida em relação a CA (θ = 0º). 3

33 Eemplo 9.11 (Hibbeler) Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.a, represente o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido antihorário em relação à posição mostrada na figura. Tensões no elemento a 30º Coordenadas do Ponto P: 6 tan ,96º 60º 30,96º 9,04º 11,66 cos9,04 8,0 MPa 11,66 sin 9,04 5,66 MPa 33

34 Eemplo 9.11 (Hibbeler) Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.a, represente o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido antihorário em relação à posição mostrada na figura. Tensões no elemento a 30º 8,0 MPa 5,66 MPa 34

35 Eemplo 9.11 (Hibbeler) Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.a, represente o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido antihorário em relação à posição mostrada na figura. Tensões no elemento a -60º Coordenadas do Ponto Q: 11,66 cos9,04 1, MPa 11,66 sin 9,04 5,66 MPa 35