Pressão Interna + Momento Fletor e Esforço Axial.

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1 3 Método Anaĺıtico Este capítulo apresenta o desenvolvimento analítico para determinação das tensões atuantes no tubo da bancada de ensaios descrita anteriormente, causadas pelos carregamentos de pressão interna, flexão e esforço axial. 3.1 Avaliação dos Resultados Teóricos de Deformação Nesta primeira etapa do trabalho, cálculos foram feitos com a finalidade de determinar as deformações para três casos particulares de carregamento no tubo, figura 3.2 Momento Fletor e Esforço Axial; Pressão Interna; Pressão Interna + Momento Fletor e Esforço Axial. Os cálculos se referem a pontos de uma seção transversal, distanciados em 45 um do outro. A seção localizada-se exatamente no meio do comprimento do tubo, onde posteriormente serão coladas vinte rosetas extensométricas, como se apresenta na figura 3.1. Os valores calculados das deformações servirão de suporte para um primeiro ensaio de medição de deformações com rosetas extensométricas e serão comparadas num posterior capítulo com deformações determinadas pelo método numérico. Para os cálculos, foram considerados os seguintes dados da geometria e do material do tubo:

2 Capítulo 3. Método Anaĺıtico 31 Figura 3.1: Localização da seção e dos pontos analisados. Módulo de elasticidade do aço do tubo E = 200 GPa; Coeficiente de Poisson do aço do tubo υ = 0, 3; Espessura da parede do tubo t = 9, 57mm; Diâmetro externo do tubo D e = 323, 85mm; Diâmetro interno do tubo D i = 304, 71mm; Momento de Inércia do tubo I = π(d4 e D 4 i ) 64 = 116, 77(10 6 )mm 4 ; Distância da Roseta ao centro geométrico do tubo y a = D 2 sin θ; Momento gerado pela reação da placa M = Fa; Distância do fuso ao centro geométrico do tubo a = 1235mm.

3 Capítulo 3. Método Anaĺıtico Tensões e Deformações em vasos de pressão de paredes finas Em geral para os tubos, na direção radial, na parede interna da casca, a tensão radial é igual a p. Na parede externa ela é igual a zero. Para os tubos de paredes finas, estas tensões σ r = p são geralmente desprezadas quando comparadas com as tensões circunferenciais. Deve-se notar que a razão entre estas tensões é dada pela metade da razão entre o diâmetro e a espessura da casca cilíndrica [16]. Os vasos de pressão de paredes finas são campos de aplicação importantes na análise de estados planos de tensões. O tubo considerado, neste estudo, é de parede fina (323,85/9,57 = 33, 8 >> 10). A figura 3.2 apresenta um esboço que mostra os carregamentos aplicados no tubo pertencente à bancada de teste. Figura 3.2: Carregamentos aplicado no segmento de tubulação. A inexistência de carregamento a torção e de cisalhamento no tubo da bancada de ensaio, permite concluir que, as tensões normais mostradas na Figura 3.3, são as tensões principais. A tensão σ c é chamada de tensão circunferencial e σ l é chamada de tensão longitudinal, para a qual valem as equações (3-1) a (3-3) devido ao carregamento de pressão interna, sendo que p, D e t são respectivamente a pressão interna, o diâmetro externo e a espessura de parede do tubo: σ C = pd 2t (3-1)

4 Capítulo 3. Método Anaĺıtico 33 σ L = pd 4t (3-2) σ C = 2σ L (3-3) Figura 3.3: Tensões principais em um tubo de parede fina sob a pressão interna. Certamente para o cálculo da tensão circunferencial poderia ter sido utilizada a equação (3-4), correspondente à solução de Lamé, em função do raio interno R 1, do raio externo R 2, da pressão interna P 1 e da pressão externa P 2. σ t = P 1R1(1 2 + R2 2) P R1 2 2 R2(1 2 + R2 1 R2) 2 R2 2 R1 2 (3-4) Foi feita uma comparação na determinação da tensão circunferencial entre a equação para duto de parede fina (3-1) e a equação de Lamé (3-4). Considerando uma pressão de 5 MPa e sabendo que neste estudo a pressão externa é zero, se obteve uma tensão de 84,6 MPa para a equação (3-1) e una tensão de 82,52 MPa para a equação (3-4), que se traduz em uma diferença de 2,46%. A pequena diferença entre elas permitiu optar pela utilização das equações para tubos de paredes finas. Quando os parafusos de tensão são tracionados pelo rosqueamento das porcas, o tubo fica sob carregamento compressivo axial. A tensão longitudinal σ x causada pelo esforço normal é dada pela equação (3-5), onde A é a área da seção transversal do tubo: σ x = F A (3-5)

5 Capítulo 3. Método Anaĺıtico 34 A força F aplicada pelos parafusos também provoca um momento fletor no tubo. A flexão gera uma tensão nominal para a qual vale a equação (3-6), em que M = F.a é o momento de flexão, I é o momento de inércia e y é a distância entre o plano horizontal central da tubulação e o ponto onde é calculada a tensão. σ x = My I (3-6) A equação (3-7) descreve o estado de tensão do tubo sob o carregamento combinado, onde [σ] M representa o estado de tensão causado pelos esforços normais e de flexão e que simula o estado de tensão num ponto gerado por um movimento de solo. Carregamentos mais complexos podem existir, causados por momento fletor atuante num plano ortogonal e por momento torçor. Estes dois esforços nao foram aplicados ao tubo. Assim, [σ] = [σ] p + [σ] M (3-7) Em um sistema com eixos de referência longitudinal (L), circunferencial (C) e radial (R), o estado de tensão [σ] é dado por: pd + F + My 0 0 4t A I σ = 0 pd 2t (3-8) O estado de deformação do tubo sob carregamento combinado pode ser descrito pelas seguintes equações (3-9) a (3-11). ε L = 1 E (σ L υσ C ) (3-9) ε C = 1 E (σ C υσ L ) (3-10) ε r = υ E (σ C + σ L ) (3-11)

6 Capítulo 3. Método Anaĺıtico 35 Usando as equações (3-7), (3-9), (3-10) e (3-11), no sistema de eixos L, C e R, o estado de deformações em um tubo sob o carregamento combinado é dado pela equação (3-12) onde ε é o tensor resultante do carregamento combinado. ε t = ( 1 pd E 4t + F A + My I υ pd ) 2t [ ( 0 1 pd E 2t υ pd 4t + F A + My )] I υ E 0 ( pd 2t + F A + My I + pd ) 4t (3-12) Utilizando os valores citados anteriormente e as equações (3-13) a (3-16) calcula-se a deformação longitudinal e circunferencial para os pontos propostos no tubo. O ângulo θ é tomado no sentido anti-horário de 0 a 360, sendo por exemplo, que a posição 0 mostrada na figura 3.1 é calculada com o θ = 90. Deformação Circunferencial ε C = 1 E (σ C υσ L ) = 1 E [ σ P C υ ( σ P L σ F L + σ M L )] (3-13) ε C = 1 E [( ) P(D) 2t ( P(D) υ 4t 4(F) π(de 2 Di 2) + M(y) )] I (3-14) Deformação Longitudinal ε L = 1 E (σ L υσ C ) = 1 E [( σ P L σ F L + σ M L ) υσ P C ] (3-15) ε L = 1 [( P(D) 4(F) E 4t π(de 2 Di 2) + M(y) ) ( )] P(D) υ I 2t (3-16) Deformações causadas pelo Momento Fletor e pelo Esforço Axial Foram calculadas as deformações circunferenciais e longitudinais, variando a força F mostrada na figura 3.2, desde 0kN a 60kN com passos de 10kN, sendo que nas figuras 3.4b a 3.7b, a linha com maior espessura representa ao tubo sem carregamento (F = 0kN).

7 Capítulo 3. Método Anaĺıtico 36 Figura 3.4: Distribuição da Deformação Circunferencial do tubo ao longo do perímetro planificado causada pelo Momento Fletor e pelo Esforço Axial. Figura 3.5: Distribuição da Deformação Circunferencial do tubo ao longo do perímetro (plotagem polar dos valores das deformações) causada pelo Momento Fletor e pelo Esforço Axial.

8 Capítulo 3. Método Anaĺıtico 37 Figura 3.6: Distribuição da Deformação Longitudinal do tubo ao longo do perímetro planificado causada pelo Momento Fletor e pelo Esforço Axial. Figura 3.7: Distribuição da Deformação Longitudinal do tubo ao longo do perímetro (plotagem polar dos valores das deformações) causada pelo Momento Fletor e pelo Esforço Axial.

9 Capítulo 3. Método Anaĺıtico 38 Para o caso do carregamento que gera momento fletor e esforço axial, as figuras 3.4 a 3.7 mostram que as deformações longitudinais nos pontos do tubo são maiores do que as respectivas deformações circunferenciais que são originadas pelo efeito do coeficiente de Poisson, pois o tubo se encontra em um estado uniaxial de tensões, sendo a relação entre elas: ε C = 0.3ε L. O gráfico da figura 3.4 permite observar, para uma carga de 60kN, os valores das máximas deformações atuantes na direção circunferencial: trativa de 131, 7µε e compressiva de 113, 1µε nos pontos a 0 e 180, respectivamente. Assim também o gráfico da figura 3.6 permite observar os valores das máximas deformações atuantes na direção longitudinal: trativa de 377µε e compressiva de 439µε nos pontos a 0 e 180, respectivamente. A separação das deformações combinadas calculadas para os pontos 0 e 180 permite concluir sobre os valores individuais das deformações máximas causadas pelo esforço normal e de momento fletor que são: ε cn = 131,7 113,1 2 = 9, 3µε ε cm = 131,7+113,1 2 = 122, 4µε ε cm ε cn = 13, 16 ε ln = = 31µε ε lm = = 408µε ε lm ε ln = 13, 16 O valor da razão ε N /ε M também pode ser previsto pela manipulação algébrica das dimensões impostas pela geometria do dispositivo: σ N = F A e σ M = F.a.D/2 I Para uma melhor representação das deformações foram plotados os gráficos das figuras 3.5 e 3.7 que se referem à distribuição polar das deformações Deformações causadas pela Pressão Interna Foram calculadas as deformações circunferenciais e longitudinais, variando a pressão interna p mostrada na figura 3.2, desde 0MPa a 6MPa com passos de 1MPa, sendo que nas figuras 3.8b e 3.11b, a linha com maior espessura representa o tubo sem carregamento (p = 0MPa).

10 Capítulo 3. Método Anaĺıtico 39 Figura 3.8: Distribuição da Deformação Circunferencial do tubo ao longo do perímetro planificado causada pela Pressão Interna. Figura 3.9: Distribuição da Deformação Circunferencial do tubo ao longo do perímetro (plotagem polar dos valores das deformações) causada pela Pressão Interna.

11 Capítulo 3. Método Anaĺıtico 40 Figura 3.10: Distribuição da Deformação Longitudinal do tubo ao longo do perímetro planificado causada pela Pressão Interna. Figura 3.11: Distribuição da Deformação Longitudinal do tubo ao longo do perímetro (plotagem polar dos valores das deformações) causada pela Pressão Interna.

12 Capítulo 3. Método Anaĺıtico 41 As figuras 3.8 a 3.11 mostram as deformações circunferenciais e longitudinais no tubo quando este está submetido à pressão interna. Para esse caso particular determinou-se a seguinte relação entre as deformações circunferencial e longitudinal: ε C = 4.25ε 1 L. As figuras da direita representam uma distribuição polar das deformações, mostrando a uniformidade em toda a circunferência da seção transversal do tubo. Para uma pressão de 6MPa, encontrou-se uma deformação circunferencial máxima ε cp = 431µε e uma deformação longitudinal máxima ε lp = 102µε. Estes valores se comparam com as deformações máximas absolutas impostas pelos carregamentos de esforços normal e fletor da seguinte forma: ε cp ε cm +ε cn = = 3, 29 ε lp ε lm +ε ln = = 0, Deformações causadas pelo Momento Fletor, pelo Esforço Axial e pela Pressão Interna Para um último caso foram combinados os carregamentos apresentados anteriormente, força axial F = 60kN e pressao interna p = 6M P a. As figuras 3.12 a 3.15 indicam que a máxima deformação trativa está dada na direção circunferencial (486µε) e a máxima deformação compressiva na direção longitudinal ( 164µε). Estes pontos são localizados na posição a (180 ). 1 Com as equações para pressão interna, substitui-se σ C = pd 2t (3-1) e σ L = pd 4t (3-2) nas equações ε C = 1 E (σ C υσ L ) (3-10) e ε L = 1 E (σ L υσ C ) (3-9). Logo tem-se ε C = 0, 425 PD t e ε L = 0, 1 PD t. Finalmente ε C εl = 4, 25.

13 Capítulo 3. Método Anaĺıtico 42 Figura 3.12: Distribuição da Deformação circunferencial do tubo ao longo do perímetro planificado causado pelo Momento Fletor, pelo Esforço Axial e pela Pressão Interna. Figura 3.13: Distribuição da Deformação circunferencial do tubo ao longo do perímetro (plotagem polar dos valores das deformações) causado pelo Momento Fletor, pelo Esforço Axial e pela Pressão Interna.

14 Capítulo 3. Método Anaĺıtico 43 Figura 3.14: Distribuição da Deformação Longitudinal do tubo ao longo do perímetro planificado causado pelo Momento Fletor, pelo Esforço Axial e pela Pressão Interna. Figura 3.15: Distribuição da Deformação Longitudinal do tubo ao longo do perímetro (plotagem polar dos valores das deformações) causado pelo Momento Fletor, pelo Esforço Axial e pela Pressão Interna.