SOLICITAÇÕES COMBINADAS (FLEXÃO COMPOSTA)

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1 Versão 2009 (FLEXÃO COMPOSTA) As chamadas Solicitações Simples são: a) Tração e Compressão (Solicitação Aial): age somente esforço normal N na seção b) Torção: age somente momento torsor T na seção c) Fleão Pura (Reta ou Oblíqua): age somente momento fletor M na seção d) Fleão Simples (Reta ou Oblíqua): agem momento fletor M e esforço cortante V As chamadas Solicitações Combinadas são, nada mais nada menos, do que combinações das Solicitações Simples. São de interesse prático o estudo do caso geral (N, T, M e V) e dos seguintes casos particulares: a) Fleão Composta com Esforço Aial (Fleo-Tração ou Fleo-Compressão) b) Fleão Composta com Torção (Fleo-Torção) Fleão Composta com Esforço Aial M M N z (,): eios centrais principais de inércia Figura 0 A tensão normal num ponto (,) qualquer da seção transversal da barra é dada por: = N A M. M I onde e I são os momentos principais de inércia da seção..

2 Versão Posição da LN: =0 ou ou N A M M I =0 = I M N M I A Conclusão: A LN não passa pelo C.G. da seção, o que somente ocorre na fleão simples (reta ou oblíqua). A equação da LN ainda pode ser escrita como =. M I. M. N A. M onde. M é o coeficiente angular da LN e I. M. N é o coeficiente linear da LN A. M LN Figura 02 Tensões Máimas: As máimas tensões normais de tração e de compressão são, respectivamente, T má = N A M I T M I T e C má = N A M C M I C onde ( T, T ) é o ponto mais afastado da LN, na região tracionada da seção, ( C, C ) é o ponto mais afastado da LN, na região comprimida e N é o esforço normal em valor relativo (positivo para tração e negativo para compressão).

3 Versão Tração ou Compressão Ecêntrica: É um tipo de Fleo-Tração ou de Fleo-Compressão provocada por esforço normal N aplicado fora do C.G. da seção. P P b CG N a z (,): eios centrais principais de inércia P(a,b): ponto de aplicação do esforço normal N Figura 03 Os momentos fletores em torno nos eios centrais principais são: M =N b M = N a A tensão normal num ponto (,) qualquer da seção transversal é: = N A M M ou I =N A b a I A equação da LN é, então, dada por: a. =0 ou b. I A =0 e as interseções da LN com os eios coordenados: para =0, 0 = A.b e para =0, 0 = I A.a assim podemos concluir que a LN não passa pelo quadrante onde a força está aplicada se a > 0 e b > 0 ( o quadrante) então 0 < 0 e 0 < 0, ou seja a LN passa pelos 2º. 3º e 4º quadrantes.

4 Versão Se a força N for aplicada no ponto B ( 0 ; 0 ) a nova equação da LN será: A 0 0 I =0 as interseções com os eios coordenados serão: para =0, = A. 0 =b para =0, = I A. 0 =a a LN interceptará os eios coordenados nos pontos (a;0) e (0;b). - Força percorrendo um segmento de reta: r P m B B b a B 2 n s Fig. 4 Aplicando a força em P(r,s) a equação da linha neutra é: A s r =0 I interseção com os eios coordenados: =0 n= A.s e =0 m= I A.r Na Fig. 4, observa-se que B(-a; -b) é um ponto sobre a LN quando a força N está aplicada em P(r ; s), assim A s b r a =0 I

5 Versão Aplicando a força em B(-a; -b) a equação da nova linha neutra será: A b a =0 I Observando estas duas últimas epressões, pode-se concluir que o ponto P(r ; s) é um ponto da linha neutra correspondente à força aplicada no ponto B. Desta forma, se a força percorre um segmento de reta B B 2 a linha neutra gira em torno de um determinado ponto P. - distância da linha neutra ao centróide da seção LN P o 0 Figura 05 Se a LN é a reta a + b + c = 0, então a distância d do CG (origem dos eios e ) é: d = c a² b 2 Assim, d = A 2 0 I 0 2 Observação: À medida que ( o, o ) se aproima do CG da seção, a distância d aumenta, isto é, a LN se afasta. Se a LN passa pela seção, teremos tensões de tração e de compressão; caso contrário, o sinal da tensão será único em todos os pontos da seção e, por conseguinte, teremos apenas tensões de tração ou de compressão. Núcleo Central da Seção (NC): Lugar geométrico dos pontos de aplicação do esforço normal N, para os quais as tensões, em toda a seção, têm um único sinal; isto é, lugar geométrico dos pontos ( o, o ) tais que a LN tangencie a seção.

6 Versão Variação da tensão normal ao longo da seção: (a) (b) (c) (a): A LN passa pela seção (b): A LN tangencia a seção (c): A LN não passa pela seção Figura 06 O contorno do Núcleo Central pode ser obtido a partir da equação da LN ou da fórmula da distância entre a LN e o CG. Eemplos: a) Seção Circular:. ( o, o ) d LN d = R Figura 07 A=.R² =I =. R4 4 Distância entre a LN (tangenciando a seção) e o CG: d = R d = =R A ² 0 ²= R 4 I Logo, o NC é um círculo cujo contorno é a circunferência de raio igual a R/4 e centro coincidente com o CG (parte sombreada da figura abaio) 4

7 Versão R/4 NC R/4 Figura 08 b) Seção Retangular: h/2 h/2 LN CG A = b.h I = b.h3 /2 I = h.b3 /2 b/2 b/2 Figura 09 A equação da LN é 0 I 0 A =0 Se a LN tangencia o vértice conforme figura (situação genérica), = b 2 e = h 2 Substituindo estes valores na equação da LN, temos: que é a equação da reta mostrada na figura abaio b 6. 0 h =0 b/6 h/6 Figura 0

8 Versão Repetindo este raciocínio para a LN tangenciando os demais vértices, teremos que o NC será o losango abaio representado. h/6 NC h/6 b/6 b/6 Figura

9 Versão Fleão Composta com Torção M M (,): eios centrais principais de inércia T Figura 2 z Neste caso, os momentos fletores M e M provocam tensão normal = M M I e o momento torsor T provoca tensão de cisalhamento cuja epressão varia com a forma da seção transversal da barra. O estado de tensão num ponto qualquer da barra é, então, Assim, nem a tensão normal nem a tensão de cisalhamento são máimas. Cálculo das componentes normal e cisalhante em um plano qualquer com inclinação θ θ ds ds =ds.cos ds =ds. sen F N.dS.cos.dS. sen.ds cos.ds=0.ds cos².ds,sen.cos. ds. sen.cos.ds=0 =. cos². sen 2 ds θ θ θ ds N

10 Versão cos 2 ou, sabendo que cos² = 2 cos 2 e sen² = 2 = 2 cos 2.sen 2 2 F N.dS. ds.sen.ds cos.ds. sen =0. ds. ds. sen. cos.ds. cos².ds. sen² =0 = sen 2. cos 2 2 Cálculo das tensões normais máima e mínima (tensões principais): d d =0 2..cos p. sen p 2..cos 2 p =0 2 sen 2 p.cos 2 p =0, assim tg 2 p = 2. 2 ² 4. ² 2. sen 2 p = ² 4. ² 2θ cos 2 p = ² 4. ² Substituindo na epressão do cálculo da tensão em um plano qualquer, vem: p = 2 2 ² 4. ² 2. ² 4. ² p = 2 ² 4. ² 2 ² 4. ² = 2 2 ² 4. ² p = 2 ± 2 2 ² ou T má = ² e C má = ² Notar que T má é sempre positiva (tração) e que C má é sempre negativa (compressão) A máima tensão de cisalhamento é dada por má = má min 2, assim má = 2 2 ²

11 Versão 2009 Caso Geral V M V M (,): eios centrais principais de inércia N T z Figura 3 = N A M M I e = T V V (soma vetorial) A tensão normal é função do esforço normal N e dos momentos fletores M e M. A tensão de cisalhamento é resultante da soma vetorial entre a tensão devida ao momento torsor T e às tensões devidas aos esforços cortantes V e V. O estado de tensão é o mesmo da fleo-torção e as máimas tensões dadas pelas fórmulas má = 2 ± 2 2 ² e má = 2 2 ²