SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL Ministério da Educação

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1 SERVIÇO PÚLICO FEDERL Ministério da Educação Universidade Federal do Rio Grande Universidade berta do rasil dministração acharelado Matemática para Ciências Sociais plicadas I Rodrigo arbosa Soares

2 Curso de dministração 4. Geometria nalítica: 4.. Introdução: Geometria nalítica é uma parte da Matemática que, através de processos particulares, estabelece as relações eistentes entre a Álgebra e a Geometria (esta última já era do conhecimento dos gregos, há mais de dois mil anos). Desse modo, uma reta, uma circunferência ou uma figura geométrica qualquer podem ter suas propriedades estudadas através de métodos algébricos. Os estudos iniciais da Geometria nalítica se deram no século XVII. Dois franceses, Pierre de Fermat (60-665) e René Descartes ( ), curiosamente, ambos graduados em Direito, nenhum deles matemático profissional, são os responsáveis por esse grande avanço científico. contribuição de Fermat à geometria analítica encontra-se num pequeno teto intitulado Introdução aos Lugares Planos e Sólidos (d locos planos et sólidos isagoge) e data do ano 636, mas que só foi publicado em 679, postumamente, junto com sua obra completa. Para muitos historiadores, tal manuscrito representa o marco zero da Geometria nalítica. Geometria nalítica de Descartes apareceu em 637, no apêndice intitulado La Géometrie do seu Discurso do Método. Este livro e os seus princípios filosóficos criaram as fundações para o Cálculo, que foi mais tarde introduzido independentemente por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz. Todo o seu trabalho consistia em partir de um problema geométrico, traduzi-lo para uma linguagem de equação algébrica, simplificando ao máimo, e resolvê-lo geometricamente. Sua obra La Géometrie se caracteriza, então, por uma completa aplicação da Álgebra à Geometria e da Geometria à Álgebra. Nessa obra, Descartes defende o método matemático como modelo para a aquisição de conhecimentos em todos os campos. 4.. Distância entre dois pontos na reta orientada: Entre os pontos de uma reta e os números reais, eiste uma correspondência biunívoca, isto é, a cada ponto da reta corresponde um único número real e vice-versa. Considerando uma reta horizontal, orientada da esquerda para a direita (chamada de reta orientada ou eio), o ponto fica determinado através de um número real chamado de coordenada (nesse caso abscissa) desse ponto. Observando a reta a seguir, podemos dizer que a distância entre os pontos e, de coordenada a e b, respectivamente, é dada por

3 Matemática para Ciências Sociais plicadas I a b d(,)= b a onde o númzero real d(,) é também chamado de comprimento do segmento. Dois pontos distintos do eio situados à mesma distância da origem (0) são denominados simétricos em relação à origem. Eemplo : calcular: Dados os pontos, e C das coordenadas -4, e 6, respectivamente, a) a distância entre e ; d(,)= ( 4 ) = +4 =6 b) o comprimento do segmento C. d(,c)= 6 = 4 = Sistema cartesiano ortogonal: O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eios e perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eio horizontal é o eio das abscissas (eio OX) e o eio vertical é o eio das ordenadas (eio OY). O ponto 0, intersecção dos eios, é chamado de origem. ssociando a cada um dos eios o conjunto de todos os números reais, obtém-se o plano cartesiano ortogonal. Os dois eios dividem o plano em quatro regiões, chamadas de quadrantes. identificação dos quadrantes é feita no sentido anti-horário. Estabelecido o sistema, podemos identificar qualquer ponto do plano cartesiano por meio de um par ordenado de números reais. Seja P um ponto do plano cartesiano: suas coordenadas são a e b, onde a é a abscissa e b a ordenada, conforme mostra a figura abaio.

4 Curso de dministração 4 eio das ordenadas 0 quadrant e 0 quadrant e 3 0 quadrant e 4 0 quadrant e eio das abscissas Todo par ordenado (a,b) de números reais fica associado a um único ponto P do plano. linha reta que divide ao meio os quadrantes ímpares é chamada de bissetriz dos quadrantes ímpares e a que divide os quadrantes pares é a bissetriz dos quadrantes pares. b 0 P(a,b) a Observações: Os pontos pertencentes ao eio das abscissas possuem ordenadas nulas, isto é, suas coordenadas são (a,0). Os pontos pertencentes ao eio das ordenadas possuem abscissas nulas, isto é, suas coordenadas são (0,b). Os pontos pertencentes à bissetriz do 0 e 3 0 quadrantes têm coordenadas iguais. Por eemplo (,) e (-.-). Os pontos pertencentes à bissetriz do 0 e 4 0 quadrantes têm coordenadas simétricas, por eemplo (-,) e (.-) Distância entre dois pontos no plano cartesiano:

5 Matemática para Ciências Sociais plicadas I 5 Dados os pontos (, ) e (, ), e sendo d =d (, ) a distância entre eles, conforme mostra a figura. plicando o teorema de Pitágoras ao triângulo C, obtemos: d (d ) =( C ) +(C) (d ) =( ) +( ) C Logo, a distância entre os pontos e é 0 dada por: d =d (, )= ( ) +( ). No gráfico acima, Δ= é a variação horizontal sofrida pela reta que une os pontos e e Δ= é a variação vertical. Δ e Δ são os incrementos das coordenadas de para. Eemplo : Sabe-se que o ponto P(a,) é equidistante dos pontos (3,) e (,4). Calcular a abscissa a do ponto P. Se P é equidistante (mesma distância) de e, devemos ter d( P, )=d (P, ), d(p, ) = (3 a) + ( ) = (3 a) + d( P,)= ( a ) +(4 ) = ( a) +4. ssim: (3 a) += ( a ) +4 (3 a ) +=( a) a+a +=4 4a +a +4 6a+4a=4+4 9 a= a= a=

6 Curso de dministração Eemplo 3: 6 O triângulo C tem vértices (,), (5,) e C(,5). Calcular o seu perímetro e verificar que o triângulo é retângulo e isósceles. 5 C Solução: figura ao lado mostra a identificação dos pontos no plano cartesiano. Cálculo das medidas dos lados do triângulo: 5 d = (5 ) +( ) = 6=4 d C = ( ) +(5 ) = 6=4 d C = ( 5 ) +(5 ) = 6+6=4 Cálculo do perímetro do triângulo: p=d +d C +d C =8+4 Como d C =d =4 o triângulo é isósceles. plicando o teorema de Pitágoras, vem: (d ) +(d C ) =(d C ) 4 +4 =( 4 ) 3=(6 ) () 3=3, logo, o triângulo é retângulo. (Verifica o teorema de Pitágoras) Eercícios: Calcule a distância entre os pontos e nos seguintes casos: a) (0,3 ) e (5,0 ) R : 34 b) (,5) e (,) R :5 c) (3,4) e (, 3) R : 74 d) ( 3, ) e (, 3 ) R : Ponto médio de um segmento:

7 Matemática para Ciências Sociais plicadas I O ponto médio M localizado entre e (aquele que divide o segmento 7 ao meio) tem coordenadas M ( +, + ). Eemplo 4: Os vértices de um triângulo são os pontos (0,4), (,-6) e C(-4,). Calcular os comprimentos das medianas do triângulo. M 3 M M C Cálculo dos pontos médios: M ponto médio de C M ( 4, 6+ ) M (, ) M ponto médio de C M ( 0 4, 4+ ) M (,3) M 3 ponto médio de M 3 ( 0+, 4 6 ) M (, ), Cálculo dos comprimentos das medianas: Comprimento da mediana M sendo (0,4) e M (-,-) d(,m )= ( 0) +( +( 4)) = +36= 37 Comprimento da mediana M sendo (,-6) e M (-,3) d (,M )= ( +( )) +(3+6) = 6+8= 97 Comprimento da mediana CM 3 sendo C(-4,) e M (,-)

8 Curso de dministração 8 d(c,m 3 )= (+4) +( ) = 5+9= Condição de alinhamento de três pontos: Três pontos (, ), (, ) e C( C, C ) estão alinhados se, e somente se, o determinante =0 C C C C E D C Dessa forma, pela figura acima, verificamos que os triângulos D e CE são semelhantes. Então: D E = D EC C = C ou ( )( C ) ( C )( )=0, que após efetuarmos os produtos + C + C C C =0 verificamos o determinante acima. Esse mesmo determinante serve para calcular a área de um triângulo de vértices, e C (pontos não alinhados). Área do Δ=. C C Eemplo 5: Verificar se os pontos (,), (,3) e C( 4,5) estão alinhados. Solução: Os pontos, e C estão alinhados se, e somente se: 3 = 0, 4 5 resolvendo o determinante encontramos =0 então,, e C estão alinhados.

9 Matemática para Ciências Sociais plicadas I Eemplo 6: 9 Determinar m R para que os pontos (3,), (m,m) e C(,m+) sejam vértices de um triângulo. Solução: Se, e C são vértices de um triângulo, então não devem ser alinhados, ou seja: 3 m m 0, resolvendo o determinante obtemos: (m+ ) 3m++m(m+) m 3(m+) m 0 m m 0 { m e m } 4.7. Retas no plano cartesiano: Equação geral da reta que passa por dois pontos: equação geral de uma reta pode ser determinada, a partir da condição de alinhamento de 3 pontos. Dada uma reta r, sendo (, ) e (, ) pontos conhecidos e P(,) um ponto genérico. Se, e P estão alinhados, podemos escrever: = 0 = 0 ( ) + ( ) + ( ) = 0 fazendo ( )=a, ( )=b e ( )=c, com a e b não simultaneamente nulos, temos: a+b+c=0 a equação geral da reta. Eemplo 7: Determinar a equação geral da reta r que passa por (,3) e (,4).

10 Curso de dministração Solução: considerando o ponto P(, ) da reta, temos: 3 =0 3 3 = =0 +=0 Para a determinação de uma reta, é fundamental sabermos o que é inclinação, coeficiente angular da reta e o coeficiente linear da reta Inclinação e coeficiente angular de uma reta: Dados dois pontos P(, ) e Q(, ) com, o coeficiente angular m da reta que passa por esses pontos é o número real m=. O coeficiente angular ou declividade epressa o valor da tangente do ângulo α que a reta faz com o eio das abscissas. Se o ângulo está no primeiro quadrante, o sinal do coeficiente angular é positivo (mesmo sinal da tangente) e se o ângulo está no segundo quadrante, o sinal do coeficiente angular é negativo. Então, podemos dizer que m= =tan( α ). inclinação da reta r é a medida do ângulo α. Podemos, também, dizer que um coeficiente angular se calcula como a variação na vertical por unidade de variação horizontal. ssim, Δ= é a variação vertical de P a Q, Δ= é a variação horizontal de P a Q e o coeficiente angular definimos como sendo m=δ / Δ.

11 Matemática para Ciências Sociais plicadas I 0 o <α<90 o 90 o <α<80 o α=90 o Uma reta que é ascendente, quando aumenta, tem coeficiente angular m positivo (0 o <α<90 o ). Se a reta é descendente, à medida que aumenta, então, seu coeficiente angular é negativo (90 o <α<80 o ). Uma reta horizontal tem coeficiente angular zero, pois todos os seus pontos têm a mesma ordenada, tornando Δ=0. Uma reta horizontal é uma reta paralela ao eio das abscissas. Se α=90 o a reta r é uma reta vertical, ou seja, é paralela ao eio das ordenadas. ssim, Δ=0 e a razão m=δ / Δ é indefinida. Retas verticais não têm coeficiente angular. Então: m=tgα= = Δ Δ é o coeficiente angular ou a declividade da reta r Coeficiente linear de uma reta: n É a ordenada (altura) n do ponto (0,n), onde a reta corta o eio das ordenadas. Coeficien te linear

12 Curso de dministração Eemplo 8 : Em que ponto a reta 3+ 6=0 intercepta o eio? Fazemos =0 na equação 3(0 )+ 6=0 e obtemos o valor de =3 que é o coeficiente linear da reta, ou dividindo por a equação 3+ 6=0, temos = 3 + 3, onde 3 é o coeficiente angular da reta e 3 o coeficiente linear Reta vertical e reta horizontal: Se a reta é vertical, ela não possui coeficiente linear nem angular e é indicada por =a. Por outro lado, se a reta é horizontal, seu coeficiente angular é nulo e o coeficiente linear é a equação da própria reta, =b. Reta Vertical = a Reta Horizontal = b 4.8. Estudo da equação da reta: Equação da reta que passa por um ponto P(,) e de coeficiente angular (ou declividade) m: Uma reta fica perfeitamente determinada se conhecemos um ponto, que pertença à mesma, e seu coeficiente angular. Seja a reta r que passa por P(, ) e tem coeficiente angular m. Tomamos um ponto Q qualquer de r ( P Q ) podemos escrever:, então

13 Matemática para Ciências Sociais plicadas I m= =m( ) Eemplo 9: Determinar a equação geral da reta r que passa por P(3,-) e tem coeficiente angular m=tg 45 º. da reta é Se m=tg 45 m=. Sendo P(3,-) = 3 e =-, logo a equação geral ( )=( 3 ) + = 3 4=0 Eemplo 0: Quando o preço por unidade de um produto () vale R$ 6,00, então, 4 unidades são vendidas por mês; quando o preço por unidade vale R$ 4,00, são vendidas 38 unidades por mês. dmita que o gráfico da quantidade () em função de seja formado por pontos de uma reta. a) Esboce o gráfico = f(); b) Obtenha a epressão de em função de ; c) Se o preço por unidade for R$ 6,00, qual será a quantidade vendida? Solução: a) a reta passa pelos pontos (6,4) e (4,38), marcando os pontos no plano cartesiano temos: (unidades) X(reais)

14 Curso de dministração b) para obtermos a epressão de em função de (equação da reta), podemos calcular a equação geral da reta que passa por dois pontos, ou calcularmos o coeficiente angular e determinar a equação da reta que passa por um ponto e tem coeficiente m. Primeiro, vamos determinar a equação geral da reta que passa por e, por meio de determinante: = = =0 ( 4) + 00=0, que é a equação geral da reta que passa por e. Isolando, obtemos a epressão de em função da variável, = +50. outra maneira é calcularmos m= =, pegando o ponto (6,4), a equação da reta é 4= ( 6) = +50, o que verifica o esboço do gráfico. No gráfico, verificamos que o coeficiente angular da reta é negativo, pois o ângulo formado pela reta com o eio dos é >90. c) Se o preço() for R$ 6,00, então, = (6)+50=37 unidades. Eemplo : (NPD) figura abaio mostra um paralelogramo de vértices,, C e D. Sabe-se que o lado é paralelo a CD. Determine (, 4) (,) D C(5,) a equação da reta suporte do lado CD. Solução: reta que une os pontos C e D tem a mesma inclinação da reta que une os pontos e, então m= 4 =3 é o coeficiente angular da reta CD, que passa por C(5,). equação da reta suporte do lado CD é =3( 5) =3 3

15 Matemática para Ciências Sociais plicadas I Equação reduzida da reta: Partindo da equação =m( ), onde m=, e considerando que P(, ) é igual a P(0,n), então, n=m, ou seja, =m+n é a equação reduzida de reta. n Coeficiente angular da reta Coeficiente linear da reta inda, partindo da equação geral da reta a+b+c=0, isolando, temos: b= a c = a b c b, fazendo a b =m e c b =n, obtemos a equação da reta na forma reduzida = a b c b =m+n Eemplo : Calcular os coeficientes angulares (m) e lineares (n) das retas: r :+ 3 5=0 s :3 4=0 Solução: m r = a b m r = 3 n r = c b =5 3 m s = a b m s =4 3 n s = c b =0 a equação reduzida é: r : = s : = 4 3

16 Curso de dministração Eemplo 3: (FGV-SP) Quando uma família tem uma renda mensal de R$ 3.000,00, ela consome R$.800,00 por mês; quando a renda é de R$ 5.000,00, ela consome R$ 4.00,00. a) Chamando de X a renda mensal e de C o consumo, obtenha C em função de X, sabendo-se que o gráfico de C em função de X é uma reta. P(3000,800) e Q(5000,400), a reta que passa pelos pontos P e Q é: = = =0 = ssim, o custo é dado pela equação: C( )= b) Chama-se poupança mensal da família (P) a renda mensal, menos o correspondente consumo. Obtenha P em função de X. Poupança = Renda(X)- Consumo()= =00 e Poupança = =800, então, temos os pontos (3000,00) e (5000,800), onde passa a reta: = = =0 = Logo: P( )= Equação segmentária da reta: Consideremos a equação da reta que intercepta o eio no ponto ( p,0) e o eio no ponto (0,q) (0,q), com p 0 e q 0. (p,0)

17 Matemática para Ciências Sociais plicadas I O coeficiente angular dessa reta é m= q 0 0 p = q p E sua equação: 0= q ( p) p+q=pq, dividindo ambos os membros por p pq obtemos: q + =, que é denominada equação segmentária da reta. p Eemplo 4: Construa a curva de demanda dada por Q= P Solução: demanda de um determinado bem é a quantidade desse bem que os consumidores pretendem adquirir num certo intervalo de tempo. No presente caso, a curva de demanda é uma reta. Normalmente, quanto menor o preço, maior a quantidade demandada, o que se traduz no fato de termos uma reta descendente, ou seja, uma reta com coeficiente angular negativo. Então, se dividirmos a equação acima por 3.000, teremos a equação segmentária da reta: Q P =, onde 60 (0,3000) é a intersecção da reta com o eio das ordenadas e (60,0) é a interseção da reta com o eio das abscissas. Conhecendo esses, podemos construir a curva de demanda, unindo os dois pontos no plano cartesiano Q Uma outra maneira de descobrir os pontos de intersecção da reta com os eios coordenados: Q = P Sendo a equação da reta Q= P, fazendo Q=0, encontramos o ponto onde a reta corta o eio das abscissas, 0= P P= 3000 =60 50 e ordenadas, 60 P fazendo P=0, encontramos o ponto onde a reta corta o eio das Q= (0) Q=3000.

18 Curso de dministração Eemplo 5: função demanda D, de certo produto é definida por, D=60 p, sendo p o preço, em unidades monetárias, pelo qual o produto é vendido. Qual o valor da demanda máima? Solução: Como a reta é descendente, coeficiente angular negativo, o valor da demanda máima coincide com o ponto de intersecção da reta com o eio das ordenadas, ou seja, o coeficiente linear da reta. Logo, D má = Posições relativas de duas retas no plano cartesiano: Considerando as retas r: =m +n e r : =m +n de inclinações α e α, respectivamente, podem ocorrer os seguintes casos: (α =α ) : Se (α =α ) tgα =tgα m =m, ou seja, as duas retas têm o mesmo coeficiente angular. Nesse caso, as retas são paralelas (r // r ) ou coincidentes (r r ). Retas paralelas formam ângulos iguais com o eio. r r r r r r m n = m n m n = m n Se (α =90 o ) os coeficientes angulares das retas r e r não estão definidos.

19 Matemática para Ciências Sociais plicadas I (α α ) : a) Se (α α 90 o ) as retas são ditas concorrentes. Estas retas se interceptam num ponto P (a,b), cujas coordenadas devem satisfazer, simultaneamente, as equações das duas retas. ssim, obtemos as coordenadas do ponto P resolvendo o sistema formado pelas equações das duas retas b) s retas são perpendiculares, quando o ângulo formado entre elas for igual a 90. r Então, duas retas são perpendiculares se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares for -. Sendo que α é o ângulo formado pela reta r e o eio e θ o ângulo formado pela reta r e o eio. Então, pelo r teorema do ângulo eterno α= π +θ, isso implica em: sen tgα=tg ( π ( π +θ ) tgα= +θ ) cos ( π +θ ) = cosθ tgα= cot gθ tgα= senθ tgθ tgα. tgθ= m r m r = m r = m r condição de perpendicularismo. Resumindo: m r =m r e n r n r r e r são paralelas. m r =m r e n r =n r r e r são coincidentes. m r m r r e r são concorrentes. m r = m r r e r são perpendiculares.

20 Curso de dministração Eemplo 6: Obter a equação da reta r que passa por P( 3,5) e é paralela à reta s : 3+ =0. Solução: m s = a b m s = 3 = 3, se r // s m s =m r = 3, como P r, então, = 3 e =5. Substituindo esses valores em =m( ), vem: 5= 3( +3 ) r:3 ++ 4=0 Eemplo 7: Determinar a equação da reta r, que passa por (,) e é perpendicular a s : +3 5=0. Solução: Como m s = a b = 3 e s r, então, m r =3 (inverso de m s, com o sinal trocado). Então, a equação da reta r é: =3( +) r:3 + 8=0. Eemplo 8: Coordenadas dos pontos de intersecção de retas: Determinar os pontos de intersecção das retas r :+ 4=0 e s: +=0. O ponto de intersecção de duas retas, r e s, é solução do sistema formado pelas equações dessas retas, então temos: { +=4 = } resolvendo pelo método da adição, vem: { +=4 = } 3=3 = substituindo esse valor em =, temos: = =. Logo: P(,) 4.0. Distância entre ponto e reta no plano cartesiano:

21 Matemática para Ciências Sociais plicadas I Dados um ponto P(, ) e uma reta r :a+b+c=0, a distância entre eles d Pr é dada por: d Pr = a +b +c a +b Eemplo 9: Calcular a distância do ponto P(,) à reta r : + =0. Temos: { P (, )=P(, ) a=, b= c= (r )} ( )+( )()+ ssim: d Pr = = 4 +( ) 5 = Referências ibliograficas: ONJORNO, Giovanni. Matemática Fundamental VENTURI, Jacir. Álgebra Vetorial e Geometria nalítica. <