F 01. Coordenadas na reta

Transcrição

1 IME IT

2 postila IT F 1 Coordenadas na reta Uma reta diz-se orientada quando sobre ela se escolheu um sentido de percurso, chamada positivo; o sentido inverso chama-se negativo. Numa reta orientada, diz-se que o ponto B está à direita do ponto (portanto que o ponto está à esquerda de B ) quando o sentido de percurso de para B é positivo. Um eio é uma reta orientada na qual se fiou um ponto O, chamado a origem. Todo eio E pode ser posto, de modo natural, em correspondência biunívoca com o conjunto dos números reais. À origem O do eio faz-se corresponder o número zero. cada ponto X de E à direita de O corresponde um número real positivo, a saber, a distância (, ) d O X de X à origem O. os pontos situados à esquerda de O correspondem números reais negativos, cujos valores absolutos medem as distâncias desses pontos à origem. = d O, X se ssim, ao ponto X em E corresponde o número real tal que ( ) X está à direita de O e = d( O, X) se X está à esquerda de O. Se ao ponto X do eio E corresponde, da maneira acima indicada, o número real, diz-se que é a coordenada do ponto X. seta indica o sentido de percurso sobre o eio E, cuja origem é o ponto O, os pontos à direita de O têm coordenadas positivas; os outros, negativa Dados os pontos X e Y sobre o eio E, se suas coordenadas são e respectivamente então a distância do ponto X ao ponto Y é d( X, Y) = =, isto é, tem-se d( X, Y) = se e d( X, Y) = se. Para provar esta afirmação, lembraremos que a distância entre os pontos e B é um número d(, B), que d( B, ) = d( B, ) e que se, B e C são pontos sobre a mesma reta e B está entre e C então (, ) = (, ) + (, ) d C d B d B C Se X = Y, então não há o que provar. Suponhamos, inicialmente, que X esteja à esquerda de Y, ou seja, que <. Há 3 casos a considerar:

3 Matemática 1) X e Y estão à direita da origem, isto é, O< < ; ) X e Y estão à esquerda da origem, ou seja, < < O; 3) X e Y estão em lados opostos da origem, logo < O<. Provando que d( X, Y) =. - No primeiro caso, X está entre O e Y. lém disso, tem-se d( O, X) d( O, Y) =. Segue-se que (, ) (, ) (, ) d O X + d X Y = d O Y, donde (, ) (, ) (, ) d X Y = d O Y d O X = =. - No segundo caso, Y está entre X e O, sendo agora d( O, X) d( O, Y) =. Então (, ) + (, ) = (, ) d O Y d Y X d O X logo d( X, Y) = d( Y, X) = d( O, X) d( O, Y) = + = =. - No terceiro caso, O está entre e, com d( O, X) (, ) (, ) (, ) d X Y = d X O + d O Y = + =. = e = e = e d( O, Y) =. Então Se X estiver à direita de Y a demonstração se faz de modo análogo. Eemplo 1. Sejam, X e Y pontos de coordenadas a e respectivamente, no eio E. Diz-se que Y é o simétrico de X relativamente quando é o ponto médio do segmento cujas etremidades são X e Y. Ou se tem < a < com

4 postila IT a = a, ou < a < com a = a. Em qualquer caso, conclui-se que = a. função s : E E, que associa a cada ponto X do eio E o seu simétrico Y em relação a, chama-se a simetria (ou refleão) em torno do ponto. Se X ' é outro ponto de E com coordenada ' tem-se ( ( ),( ')) = ( ') = ' = (, ') d s X X a a d X X igualdade d( s( X), s( X ')) d( X, X ') =, válida para quaisquer pontos X, X ' se eprime dizendo que a função s : E E preserva as distâncias, ou é uma isometria de E. Eemplo. Outro tipo de isometria de um eio E são as translações. Uma translação t: E E é determinada por um número a. cada ponto X de coordenada em t X, de coordenada + a. Se X ' é outro ponto de E, t faz corresponder o ponto ( ) E, de coordenada ', temos ( ( ), ( ')) ( ' ) ' (, ') d t X t X = + a + a = = d X X. Portanto t preserva distâncias. Um caso particular de translação é a função identidade t( X) = X, que corresponde a tomar a = na definição acima. Uma simetria s e uma translação t do eio E são ambas isometrias mas há duas diferenças cruciais entre elas: a primeira é que s inverte enquanto t preserva orientação. Se X está à esquerda de X ' então s ( X ) está à direita de s( X ') enquanto t( X ) está à esquerda de t( X '). segunda diferença é que s possui um = X se, e somente se X =. Por outro lado, uma translação único ponto fio: s ( X) X ) eceto quando é a função identidade, e neste caso todos os pontos de E são fios. t não possui pontos fios (isto é, tem-se t( X) Coordenadas no Plano o conjunto formado pelos pares ordenados ( ) Indica-se com,, onde e são números reais. Dados (, ) e ( ', ') em, tem-se (, ) = ( ', ' ) se, e somente se, = ' e = '. O número chama-se a primeira coordenada e o número a segunda coordenada do par (, ). Observe, por eemplo, que os pares ordenados ( ) ( 3, ) são diferentes pois a primeira coordenada de ( ), 3 e, 3 é enquanto que a 3

5 Matemática primeira coordenada de ( 3, ) é 3. Por outro lado, os conjuntos {, 3 } e { } 3, são iguais pois um objeto pertence a um deles se, e somente se, pertence ao outro. Portanto, um par ordenado não é a mesma coisa que um conjunto com elementos., pode-se ter, pode-se ter = mas se No par ordenado ( ) = mas se { } {, } é um conjunto com elementos tem-se necessariamente Y. O X Sistema de eios ortogonais Um sistema de eios ortogonais num plano Π é um par de eios OX e OY, tornados em Π, que são perpendiculares e têm a mesma origem O. Diz-se que o eio OX é horizontal e o eio OY é vertical. Um plano Π munido de um sistema de eios ortogonais põe-se, de modo natural, em correspondência biunívoca com. Dado o ponto P do plano, baiamos por ele paralelas ao eios OY e OX. Essas paralelas cortam os eios em pontos cujas coordenadas são e respectivamente. o ponto P do plano Π faz-se então corresponder o par ordenado (, ) R. Reciprocamente, a cada par ordenado (, ) R corresponde o ponto P Π, interseção da paralela a OY traçada pelo ponto de coordenada com a paralela a OX traçada a partir do ponto de OY cuja coordenada é. Os números e chamam-se as coordenadas (cartesianas) do ponto P relativamente ao sistema de eio ortogonais fiado: é a abscissa e a ordenada de P. No que se segue, a menos que seja feita eplicitamente uma menção em contrário, admitiremos que foi fiado um sistema de eios ortogonais no plano, que assim se identificada a P =, do plano passa a ser a mesma. Cada ponto ( ) coisa que um par ordenado de números reais. Os eios ortogonais decompõem o plano em quatro regiões, chamadas quadrantes. Tem-se o primeiro quadrante, formado pelos pontos que têm ambas coordenadas positivas. No segundo quadrante, a abscissa é negativa e a ordenada é positiva. No terceiro, abscissa e ordenada são ambas negativas. No quarto quadrante, os pontos têm abscissa positiva e ordenada negativa. 4

6 postila IT Y º Quadrante 1 P 1 P 1º Quadrante X P 3 3 3º Quadrante 4 4º Quadrante P 4 Coordenadas cartesianas e quadrantes no plano. Evidentemente, os pontos do eio OX das abscissas têm coordenadas (,) e no eio das ordenadas OY os pontos são da forma (, ). O ponto O, origem dos eios, tem coordenadas (, ). Embora utilizemos neste livro eclusivamente sistemas de eios ortogonais, isto não é uma necessidade absoluta da Geometria nalítica. Dados dois eios concorrentes quaisquer, o processo acima descrito permite estabelecer uma correspondência biunívoca entre pontos do plano e pares ordenados de números reais. Na maior parte dos casos não há motivos para se optar por um sistema de eios não-ortogonais mas há algumas situações em que isto pode ser vantajoso. É possível desenvolver a Geometria nalítica usando eios que formam ângulos diferentes de 9. Tal modificação afeta todas as propriedades ligadas ao conceito de distância. Outras propriedades (por eemplo, as relacionadas com colinearidade) não são afetadas por esta mudança. Y P O X Coordenadas cartesianas não-regulares. 5

7 Matemática O uso de um par de eios (ortogonais ou não), não é a única maneira de se estabelecer correspondências entre pontos do plano e pares ordenados de números reais. No sistema de coordenadas polares usa-se um único eio OX. Distância entre dois pontos Dados os pontos P1 = ( 1, 1) e P (, ) distância ( 1, ) novo ponto Q = (, ). =, queremos obter a epressão da d P P em termos das coordenadas de P 1 e P. Para isso, introduzirmos o 1 P P 1 1 Q 1 Como 1 PPQ é retângulo. Sua hipotenusa mede (, ). 1 d P1 P e seus catetos medem 1 e Como P 1 e Q têm a mesma ordenada, o segmento PQ 1 é horizontal (paralelo ao eio OX ). nalogamente, o segmento P Q é vertical (paralelo a OY ). Portanto P 1 P é a hipotenusa do triângulo retângulo PPQ. 1 Pelo visto na seção 1, os catetos deste triângulo medem 1 e 1. Resulta então do Teorema de Pitágoras que 6 (, ) ( ) ( ) d P P = +. Divisão de um segmento O ponto C divide o segmento B em uma razão k, ou seja C k B =, as coordenadas de C são = (1 k) + k c a b

8 postila IT c = (1 k) a + k b, a, a, B( b, b) e C( c, c). 1 Caso k =, chamaremos o ponto C de ponto médio. onde ( ) 1. Determine a distância entre os pontos:,3 B 5,7 a) ( ) e ( ) b) ( 1, ) e B ( 11,5 ) c) ( 1, 3) e B( 4, ) d) ( 3, ) e B( 5, 4) Eercícios. (UnB) No plano cartesiano, os pontos = (, ), B = ( 1, 5) e ( 6, 1) D = são vértices do paralelogramo BCD. Determine a soma das coordenadas do vértice C. C D B 3. Determine as coordenadas dos pontos que dividem o segmento B em três partes 1, 4 B 5,1. iguais, onde ( ) e ( ) 4. Demonstre que as coordenadas do baricentro de um triângulo de vértices a + b + c a + b + c ( a, a), B( b, b) e C( c, c) é dado por G, (UnB) Um triângulo inscrito num círculo tem dois vértices ( 3, 9 ) e ( ) 11, 3 sobre pontos etremos de um dos diâmetros. O terceiro vértice está colocado de tal,, modo que a altura h do triângulo seja a máima possível. Se ( ) e ( ) 1 1 são as possíveis soluções para o 3 o vértice, calcule

9 Matemática 6. (PS-UnB) O diagrama a seguir representa o mapa da região central de uma cidade planejada. Cada quadradinho simboliza uma quadra cujo lado mede 1 m e cada linha representa uma rua. No sistema de coordenadas cartesianas traçado, de origem C, o par ordenado (, ) representa o ponto que está a metros da origem, no sentido do oeste ( O ) para o leste ( L ), e a metros da origem, no sentido de sul ( S ) para o norte ( N ). Os pontos e B simbolizam duas escolas públicas e a origem C representa a estação rodoviária. C B O N S L dmitindo a cidade plana, julgue os itens que se seguem. (1) Considere que um passageiro, ao desembarcar na rodoviária com a intenção de chegar ao fórum, tenha recebido a seguinte orientação: caminhe 5m para leste; depois, 4 m para norte; e 9 m para oeste; em seguida 6 m para sul e, finalmente, 1 m para leste. Nessas condições, é correto concluir que o informante poderia ter indicado um trajeto mais curto para que o passageiro chegasse ao fórum, como, por eemplo, caminhar 5 m para oeste e 4 m para sul. () Se a prefeitura localiza-se em ( 9, 3) e a biblioteca municipal em (3, 9), então a distância, em linha reta, entre esses dois locais públicos é superior a 1.8m. 8

10 postila IT F linhamento de 3 pontos e área de um triângulo Sejam (, ), B(, ) e (, ) Sendo D o determinante obtido por B B C três pontos de um plano cartesiano. C 1 D = B B 1, tem-se que: 1 C C * D =, B e C são colineares; * D, B e C são vértices de um triângulo cuja área S é dada por: S = 1 C D 1. Sendo (, ), ( 3, 4) Eercícios B e C( 5,1), julgue os itens a seguir. (1) O perímetro do triângulo BC é igual a ( 4 ) +. () área do triângulo BC é igual a 56 ua... (3) O ponto (,7 ) pertence ao lado BC.. Calcule a área do pentágono não-conveo BCDE da figura E D B C

11 3. Julgue os itens a seguir. (1) Se os vértices de um triângulo de área 5 ua.. são (5, 3) Matemática, (,) B e C( 1, 3), então é igual a 5/3. () Se o baricentro do triângulo OPQ da figura é o ponto ( 3, ), então o segmento PQ tem medida menor que 1. Q P (3) Se os pontos ( 3, 5), B(1, 1) e C (, 16) pertencem a uma mesma reta, então é um número inteiro. (4) Em um sistema cartesiano ortogonal, a área do quadrilátero de vértices (, ), B (, 5), C ( 4, 6) e D ( 6, ) é igual a 44. 3, C, 1 ; M é (5) Os vértices de um triângulo são os pontos ( 1, ) k, B ( ) e ( ) o ponto médio de B e N é o ponto médio de BC. Se a área do triângulo MCN é igual a, ua.., então k é igual a 18 / Calcule a área do pentágono conveo cujos vértices são (, ), ( 6, 6 ), ( ) ( 1, 6 ) e ( 5, 8 ). 5, 1, 1

12 postila IT F 3 Uma equação da reta é uma equação que relaciona a abscissa ( ) e a ordenada ( ) de tal forma que todo par (, ) que satisfaz a equação pertence à mesma reta. Equação geral da reta equação a + b + c = é conhecida como equação geral da reta. Como dados dois pontos distintos determinam uma única reta, podemos determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos e B aplicando a condição de alinhamento, como no eemplo seguinte. Eemplo: Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos (,3 ) e ( 1, 4 )? Resolução: Sendo (, ) pontos (,3 ) e ( ) um ponto pertencente a tal reta, este ponto juntamente com os 1, 4 são colineares. plicando a condição de alinhamento temos: = = + 5=. Equação reduzida da reta equação = m + n é conhecida como equação reduzida da reta, onde os coeficientes m e n são conhecidos como coeficiente angular e coeficiente linear, respectivamente. Inclinação inclinação de uma reta é o ângulo formado entre o eio das abscissas no sentido positvo e a reta, medido no sentido anti-horário. 11

13 Matemática r O Observando a figura a seguir temos notamos que m = tg α, pois: P(, ) (, ) O m = tg α= tg ( ) tg = α ( tg ) = tg α + α, ou seja, o coeficiente angular é igual a tangente da inclinação. Outro meio de se obter o coeficiente angular é através de dois pontos distintos pertencentes a reta. Desta forma temos: 1 Δ tg α= = Δ 1 1 b 1 1

14 postila IT Eercícios 1. Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos: a) ( 1, ) e ( 3,5 ) 3, 5 b) (,1 ) e ( ). (Unifor CE) Na figura abaio tem-se um triângulo equilátero de lado 6 e cujos vértices, B, C situam-se sobre os eios cartesianos. C B equação da reta suporte do lado BC é 3. (UFPB PB) Determine a equação da reta cujo gráfico está representado no plano cartesiano ao lado (UERJ RJ) área do triângulo formado pela reta = com os eios coordenados vale: a) 6 b) 8 c) 9 d) 1 e) 1 13

15 Matemática 5. (UFF RJ) Determine a equação da reta r, representada na figura abaio, sabendo que O = OB e B = 5.. B r O. 6. (Unifor CE) Considere a reta r, representada na figura abaio. Sua equação é: a) 3 + = 1+ 3 b) 3 = 1 3 c) 3 + = 1 3 d) 3 = 1+ 3 e) 3 + = 3 7. (Unifor CE) nalise a figura abaio r 1 45 s O coeficiente angular da reta r é 14

16 postila IT a) b) 1 1 c) 1 d) e) 3 3 r tem inclinação de 135 e passa pelo ponto P ( 3,5). Determine a equação da reta r que é perpendicular à reta r 1 e passa pelo ponto Q5,3. ( ) 8. (EFEI MG) Uma reta 1 9. (PUC - RG) área do trapézio determinado pelas retas = 3 ; = 4 ; = e = é: a) 7,5 b) 7 c) 6,5 d) 6 e) 5,5 15

17 Matemática F 4 Equação segmentária da reta Sejam p e q os pontos em que a reta r intercepta os eios cartesianos. equação segmentária da reta r é dada por + = 1 p q partir da equação geral da reta podemos chegar a equação segmentárica da seguinte forma a + b + c = 16 a + b = c a b 1 c + c = + = 1 c c a b + = 1 p q Equação paramétrica da reta s equações paramétricas são equações que relacionam as coordenadas através de um parâmetro, ou seja, outra variável nos ajuda a calcular uma abscissa e uma ordenada.

18 postila IT equação paramétrica de uma reta é dada por = a t+ b, = a t + b Onde a, a, b e b são coeficientes e t é o parâmetro. b b pertence a reta e os coeficientes a e a são iguais a a = k cos α e b = k sen α, onde α é inclinação da reta e k depende do parâmetro, ou seja, podemos escolher o parâmetro de tal modo que a = cos α e b = sen α. Deste modo, sendo r uma reta que passa pelo, e possui inclinação α poderá ter a seguinte equação paramétrica Na equação paramétrica da reta o par ordenado (, ) ponto ( ) = cos α t+ = sen α t +. Para se obter a equação reduzida da reta a partir da equação paramétrica basta isolar o parâmetro em uma equação e substituir na outra, como segue: t = cos α = sen α + cos α sen α = ( ) + cos α ( ) = tg α + = m + n. 17

19 Matemática Eercícios 1. (VUNESP) área da região triangular limitada pelas retas: + = 1 e = é igual a: 4 3 a) 9 b) 7 c) 18 d) 1 e) 6 + = 1 ; 3. (USP) equação da reta representada no gráfico cartesiano abaio é: a) = b) = c) = d) = e) = 3. (Unificado RJ) equação da reta mostrada na figura abaio é :

20 postila IT a) = b) = c) = d) 4 3 1= e) = 4. (UFMT MT) Num determinado instante t (em minutos), as posições de duas partículas P e Q são dadas, respectivamente, pelas equações paramétricas das = 1+ t = 4 + t retas e. = 1+ t = 3 + 6t partir das informações dadas, julgue os itens. 5, 3.. s trajetórias se interceptam no ponto ( ) 1. s partículas se chocam no ponto ( 5, 3 ).. partícula Q passa, em ( 5, 3 ), 1 minuto depois que a partícula P. 5. Dadas as equações paramétricas, obtenha a equação geral de cada reta a seguir: a) = 5 t + = 4 t + 3 b) = 6 t + 9 = 7 6. Determine a equação paramétrica da reta que passa pelos pontos (1,) e (5, 5). 7. Determene a equação paramétrica da reta que possui inclinação de 3 e passa pelo ponto (,3 ). 8. Dada a equação geral, obtenha um par de equações paramétrica, usando a substituição sugerida, em cada caso a seguir. a) = ; use = 4 t 1. b) = ; use = 4 t 3. c) = ; use = 3 t 1. 19

21 Matemática

22 IME IT