Geometria Analítica:

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1 Geometria Analítica: DISCIPLINA : Geometria Analítica - II PROFESSOR:: Erandi Alves de Lima Moraújo CE Janeiro

2 GEOMETRIA ANALÍTICA 1.. O PLANO CARTESIIANO Y ( eixo das ORDENADAS ) Bissetriz dos quadrantes pares Bissetriz dos quadrantes ímpares 2º QUADRANTE ( -, + ) 1º QUADRANTE ( +, + ) x ( eixo das ABSCISSAS ) 3º QUADRANTE ( -, - ) 4º QUADRANTE ( +, - ) A cada ponto P do plano cartesiano corresponde um par ordenado ( x, y ) de números reais e escrevemos P( x, y ) para indicar este ponto. Dois eixos orientados ( x e y ) são dispostos ortogonalmente, dando a origem à divisão do plano em quatro partes, cada uma denominada quadrante. Os quatro quadrantes são numerados no sentido anti-horário, e os eixos e a intersecção entre eles são denominados, respectivamente, eixo das abscissas ( x ), eixo das ordenadas ( y ) e origem ( 0 ) do sistema de coordenadas cartesianas. A reta que divide ao meio os quadrantes ímpares é chamada de bissetriz dos quadrantes ímpares e a que divide os quadrantes pares é a bissetriz dos quadrantes pares. EEXXEERRCCÍ ÍÍCCI IIOSS EEXXEEMPPLLOSS 01. Determine o valor de k, sabendo que o ponto A( 2k-1, - k+2 ) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares DIISTÂNCIIA ENTRE DOIIS PONTOS y b B y a A d AB y b - y a x b x a x a x b - 2 -

3 Dados dois pontos distintos do plano cartesiano, chama-se distância entre eles a medida do segmento de reta que tem os dois pontos por extremidade. Sendo A(xa, ya) e B(xb, yb), aplicando Pitágoras temos: EEXXEERRCCÍ ÍÍCCI IIOSS EEXXEEMPPLLOSS 02. Sejam os ponto A(-3, 1) e B(4, 3). A distância entre eles é ou 03. A distância entre A(1, 3) e B(5, 6) é: 04. (UFRGS) A distância entre os pontos A(-2, y) e B(6, 7) é 10. O valor de y é: 05. Qual o ponto do eixo das ordenadas que eqüidista dos pontos A(2, -1) e B(6, 3)? 03.. PONTO MÉDIIO Sendo A(x a, y a ), B(x b, y b ) e M( x M, y M ) o seu ponto médio, temos: yb ym ya A M A B M é o ponto que divide o segmento AB ao meio. xa xm XB EEXXEERRCCÍ ÍÍCCI IIOSS EEXXEEMPPLLOSS 06. Sendo A(1, 3) e B(7, 13) as extremidades do segmento AB, seu ponto médio é: 07. Sendo A(-5, 2) uma das extremidades do segmento de reta AB e M(-2, 4) o seu ponto médio, o ponto B vale: 04.. ÁREA DE UM TRIIÂNGULO Consideramos um triângulo de vértices A(xA, ya), B(xB, yb) e C(xC, yc) a sua área é dada por: B(xB, yb) C(xC, yc) A = A(xA, ya) - 3 -

4 EEXXEERRCCÍ ÍÍCCI IIOSS EEXXEEMPPLLOSS 08. Calcular a área do triângulo de vértices A(1,3), B(4,1) e C(6,5). 09. Calcular a área do triângulo de vértices A(1,1), B(7,8) e C(1,10). DE ALIINHAMENTO DE TRÊS PONTOS Sendo A(xA, ya), B(xB, yb) e C(xC, yc) três pontos distintos dois a dois, são colineares ou estão alinhados, se e somente se: C(xC, yc) A(xA, ya) B(xB, yb) EEXXEERRCCÍ ÍÍCCI IIOSS EEXXEEMPPLLOSS 10. O valor de x para que os pontos A(x,0), B(3,1) e C(-4,2) sejam colineares é: 11. Os pontos (1,3), (2,7) e (4,k) do plano cartesiano estão alinhados se, e somente se: Estudo da Reta Toda a reta pode ser representada por uma equação, que pode ser determinada por inúmeras maneiras. Vejamos algumas: - Equação da reta com dois pontos (Determinantes). Seja r a reta que passa pelos pontos A(x a, y a ) e B(x b, y b ). Seja P(x, y) um ponto qualquer desta reta. Pela condição de alinhamento de 3 pontos, podemos escrever: - 4 -

5 Ex.: Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(-1,3) e B(1,1) x y 1 x y = 3x + y 1 3 x + y = 2x + 2y 4 ou x + y 2 = Equação Geral da Reta x + y 2 = 0 Equação Geral da Reta Equação Reduzida da Reta y = -x + 2 Equação Reduzida da Reta 01) Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(-2,1) e B(2,5) EGR ERR 02) Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(-3,2) e B(2,-1) EGR ERR - 5 -

6 03) Determine a equação da reta que em cada caso abaixo: a) 5 Y x EGR ERR Coeficiente Angular e Coeficiente Linear Dada a EGR Ax + By + C Então: o coeficiente angular m = -A/B Determina o ponto de intersecção com a abscissa (raiz) E o coeficiente LINEAR n = -C/B Determina o ponto de intersecção com a ordenada (raiz) Dada a ERR y = mx + n Na Equação reduzida o coef. Angular e Linear já estão representados direto na equação - 6 -

7 01) Determine o coeficiente angular e linear nas equações abaixo, representando seu significado no plano cartesiano: a) 2x y - 6 = 0 m = n = b) 8x 2y + 7 = 0 m = n = IMPORTANTE: M = y b - y a OU Tg X b - x a 02) Nos gráficos abaixo, determine o coeficiente angular. a) 5 Y x m = - 7 -

8 Equação da reta que passa por um ponto e possui o valor da declividade- EQUAÇÃO DO FEIXE Para este tipo de equação usa-se o a equação do feixe de retas y y o = m (x x o ) Ex. Determine a equação da reta que passa pelo ponto (4, -1 ) e forma um ângulo de 45 o com a abscissa y y o = m (x x o ) y + 1 = 1 (x 4) y = x 4 1 y + 1 = x - 4 y = x 5 ERR -x + y = 0 -x + y + 5 = 0.(-1) x y 5 = 0 EGR Intersecção de Retas A intersecção de retas se dá através da resolução de um sistema Ex. Determine o ponto de intersecção entre as retas 2x + y + 4=0 e 4x y + 2=0 2x + y + 4=0 2.(-1) + y + 4 = 0 4x y + 2=0-2 + y + 4 = 0 y + 2 = 0 6x + 6 = 0 y = -2 6x = -6 x = -6/6 =

9 01) Determine o ponto de intersecção entre as retas r e s, em cada caso abaixo: a) R: 4X 3Y 1 = 0 E S: 2X 5Y + 3 = 0 Posição relativa de duas retas Retas Paralelas m r = m s Retas Perpendiculares m r = -1/m s Retas concorrentes m r m s Distância entre ponto e reta d pr = ax o + by o + c 2 a 2 b 01) Determine a distância do ponto P(-1,3) à reta de equação 3x 4y 7 = 0 02) Determine a distância do ponto P(0,-2) à reta de equação 8x + 6y 7 = 0 03) Determine a distância do ponto P(0,-2) à reta de equação 8x + 6y 7 = 0-9 -

10 Estudo da circunferência Considere a circunferência representada no plano cartesiano, conforme abaixo, cujo centro é o ponto C(x o, y o ) e cujo raio é igual a R, sendo E(x e, y e ) um ponto qualquer pertencente à circunferência. Y y e R E ye C x c x e x Podemos escrever: D CE = R e pela fórmula de distância entre dois pontos R 2 = (x e - x c ) 2 + (y e - y c ) 2 E com a aplicação da mesma fórmula considerando o centro como o único ponto fixo teremos: (x - x c ) 2 + (y - y c ) 2 = R 2, que é conhecida como equação reduzida da circunferência de centro C(x c, y c ) e raio R. Assim, por exemplo, a equação reduzida da circunferência de raio 5 e centro no ponto C(2,4) é dada por: (x - 2) 2 + (y - 4) 2 = 25. Caso particular: Se o centro da circunferência coincidir com a origem do sistema de coordenadas cartesianas ou seja o ponto O(0,0), a equação reduzida da circunferência

11 fica: x 2 + y 2 = R 2 Para obter a Equação Geral da circunferência, basta desenvolver a equação reduzida. Temos: Ax 2 + By 2 + D x + E y + F = Represente cada circunferência abaixo, sob a forma geral e reduzida a) C( -1, 3) e E ( 3, 0) ERC = EGC = b) C( 3, 5) e E (-12,-3) ERC = EGC = c) C( 0, 3) e E ( -1, 3) ERC = EGC =

12 D) 6 3 Y ERC = EGC = 4 8 E) Y x ERC = EGC = Obter o Centro e o raio a partir da EGC Ax 2 + By 2 + D x + E y + F = 0 Xc = - D 2A Yc = - E 2A

13 R = x 2 c y 2 c F 01. Em cada circunferência abaixo, determine o centro e o raio. a) x 2 + y 2 6x 8y + 9 = 0 C (, ) b) x 2 + y 2 12x 2y - 12 = 0 C (, ) c) x 2 + y 2 4x 10y + 4 = 0 C (, ) d) x 2 + y 2 12x + 2y + 4 = 0 C (, )