Matemática 3ª série Roteiro 01. Geometria Analítica Estudo do ponto

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1 Matemática 3ª série Roteiro 01 Profª Helena Geometria Analítica Estudo do ponto Atividade em Dupla Material necessário: lápis, borracha, régua, uma folha de papel sulfite (use esta!), um aparelho celular (desta vez ele será permitido...). 1

2 1.1 Plano Cartesiano Exemplos: 1) Determine os valores reais de k para os quais o ponto P(k 2 9, 5) pertence ao eixo das ordenadas. 2) Determine o valor de k para que o ponto P(k 2 25, 7 k) pertença ao quarto quadrante. 3) Os pontos A(3, 5), (2, m) e C ( 4, n) pertencem a uma reta paralela ao eixo das abscissas e os pontos P(3, 2), Q(a, 5) e R(b, 100) pertencem ao eixo das ordenadas. Determine os valores de m, n, a e b. 2

3 Simetria em relação a um ponto Simetria em relação a uma reta Exemplos 4) Qual é o ponto simétrico de P(2, 3) em relação: a) ao eixo das ordenadas? b) ao eixo das abscissas? c) à origem do sistema? Representações Genéricas: (pontos especiais) Pontos no eixo x (abscissas): Pontos no eixo y (ordenadas): Pontos na bissetriz ímpar: Pontos na bissetriz par: OS: a é um número negativo? As representações (a, a) e ( a, a) são equivalentes! Representam pontos com coordenadas opostas. 2 a = Para Casa: pág 12 4, 6, 11, 13 3

4 Problema (não use todo o espaço) Numa determinada região plana da cidade Delta, as ruas são retas e estão dispostas de tal forma que os quarteirões são todos retangulares. Duas crianças, Pedrinho e Joãozinho, encontram-se exatamente no cruzamento das ruas Alfa (direção Leste-Oeste) e eta (direção Norte- Sul), brincando com seus walkie talkies (figura), quando decidem fazer um teste sobre o alcance do brinquedo que é comprovadamente de 25 m. Combinam que cada um deverá percorrer uma das ruas, afastando-se do cruzamento até uma distância em que não consigam mais se comunicar. Pedrinho percorre, então, 16 m pela rua Alfa e Joãozinho desloca-se 15m através da rua eta, até atingir a próxima esquina, e entra na rua Gama, paralela a Alfa. Quantos metros Joãozinho caminhará pela rua Gama até perder o contato com Pedrinho? (Despreze as larguras das ruas) 4

5 1.2 Distância entre dois pontos Problema: Qual a distância entre os pontos A(2, 3) e (5, 7)? Fórmula Exemplos: 5) Determine a distância entre os pontos A e : a) A( 4, 2) e (5, 1) b) A(a, 2b) e (a, b), a e b reais 6) Encontre o ponto do eixo das abscissas que equidista de A(2, 5) e ( 3, 4). Pergunta: quantos pontos equidistantes de A e existem? 7) Refaça o problema da página 04. Para Casa: pág 15 14bdeh, 18, 20, 23, 25, 27 5

6 1.3 Coordenadas do ponto médio de um segmento Pergunta: Quais as coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades (7, 4) e (1, 2)? Fórmula Exemplos: 8) Determine o ponto médio do segmento com extremidades em: a) ( 5, 0) e (1, 3) b) (3, 4) e ( 3, 5) 9) Se (2, 3) é o ponto médio de A, com A(n, 5) e (4, m), qual o valor de m + n? 10) Se P(2m + 1, m 3) é um ponto do eixo das abscissas e Q(2n + 4, n 6) é um ponto do eixo das ordenadas, determine o ponto médio do segmento PQ. 6

7 11) Determine o comprimento da mediana AM do triângulo AC, dados: A(5, 1), (7, 1) e C( 3, 5). 12) Obtenha o ponto F, simétrico do ponto E(1, 3) em relação ao ponto M(5, 0). 13) Considere o paralelogramo ACD. Sendo A(2, 3), (7, 5) e C(8, 9) vértices consecutivos desse paralelogramo, obtenha o vértice D, oposto ao vértice. Para Casa: pág 19 32, 34, 37 (OS: os vértices dados são consecutivos), 39, 41 7

8 1.4 Divisão de um segmento Exemplos: 14) Determine as coordenadas dos pontos que dividem em quatro partes iguais o segmento de extremidades A( 4, 20) e (12, 0). 15) Determine as coordenadas dos pontos que dividem o segmento A em três partes iguais, sendo dados: A( 5, 4) e (7, 2) 16) Encontre o ponto P, do segmento A, que divide A em duas partes tais que AP = 2P. Dados: A( 2, 2) e (7, 5). 8

9 17) Encontre o ponto Q, do segmento A, que divide A em duas partes tais que AQ 2 =. Dados: A(7, 2) e ( 3, 7). Q 3 18) Desafio: Um triângulo possui vértices nos pontos (7, 1), (4, 3) e ( 2, 2). Determine as coordenadas de seu baricentro. 1.5 Coordenadas do baricentro de um triângulo 9

10 Exemplos: 19) A(2a, b), (b 1, a) e C(a + b, 1 b), com a e b reais, são vértices de um triângulo. Se o baricentro desse triângulo é o ponto (1, 1), determine os valores de a e b. 20) Sabendo que A(2, 1) é um dos vértices do triângulo equilátero AC e G(8, 9) é o seu baricentro, determine sua altura. Problema: Um trecho reto de uma estrada de ferro será construído passando pelos pontos A e. No papel quadriculado abaixo, pode-se elaborar, em escala, o desenho da estrada de ferro. Na escala em questão e em relação a um sistema de eixos ortogonais, A e são os pontos de coordenadas ( 4, 0) e (6, 6), respectivamente. Com o projeto quase pronto, constatou-se a presença de uma árvore no ponto de coordenadas (0, 2). Como a legislação local não permite a derrubada de árvores, o projeto em questão corre o risco de precisar ser reelaborado. Para não perder o trabalho já realizado, decidiu-se por refazer o projeto apenas no caso da estrada passar exatamente no ponto onde a árvore se encontra. Decida se o projeto deverá ser refeito. 10

11 1.6 Condição de alinhamento de três pontos Se A, e C são pontos não colineares então existe o triângulo AC e, consequentemente, uma circunferência que passa pelos três pontos (circunferência circunscrita ao triângulo, com centro no circuncentro do triângulo, isto é, no encontro das mediatrizes dos lados do triângulo) Conhecidas as coordenadas de três pontos é possível decidir a partir de suas coordenadas se eles são ou não colineares. Exemplos: 21) Decida se os pontos A, e C são colineares, nos seguintes casos: a) A( 5, 7) c) A(2, 3) ( 3, 3) (2, 4) C(1, 5) C(2, 5) b) A( 2, 0) d) A(5, 1) (0, 1) (7, 1) C(3,3) C( 4, 1) 11

12 Observe: Se A(x A, y A), (x, y ) e C(x C, y C) são colineares, tem-se y x y x conclui que: x A y + x y C + x C y A x A y C x y A x C y = 0 A A y = x C C y x. De onde se Agora considere o desenvolvimento do seguinte determinante: x D = x y 1 = x A c y y A C 1 1 Conclusão: Exercícios: ) Se os três pontos A t,, 0, e C(6, 1) são colineares, determine o valor de t ) Qual é o ponto do eixo das abscissas alinhado aos pontos médios dos segmentos A e CD, sendo dados: A(2, 4), (4, 2), C(1, -1) e D(3, -3)? 12

13 Pergunta: Os pontos A(4, 0), ( 2, 0) e C(3, 3) são colineares? Qual a área do triângulo AC? 1.7 Área de um triângulo Se A(x A, y A), (x, y ) e C(x C, y C) são vértices de um triângulo e D = x x x A C y y y A c 1 1 1, então a área do triângulo AC pode ser calculada da seguinte forma: Problemas: 24) Qual a área do triângulo com vértices na origem e nos pontos médios dos segmentos A e CD, sendo dados: A(2, 4), (4, 2), C(1, -1) e D(3, -3)? 13

14 25) Para que valores de m os pontos (3, 1), (m, 2) e (0, 2) são alinhados? 26) As retas A e CD encontram-se no ponto P. Quais as coordenadas de P? São dados: A(1, 5), (4, 14), C(0, 3) e D(6, 9) 27) O triângulo de vértices A(3, 1), (2, 4) e C tem área 10. Se C é um ponto sobre o eixo das ordenadas, determine suas coordenadas. Para Casa: pág 23 49, 53 pág 61 93ab, 94 14