Distâncias e Conceitos Básicos

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1 GEOMETRIA ANAL TICA - N VEL B SICO Distância e Conceitos Básicos...Pag.01 Retas...Pag.05 Distância de Ponto à Reta e reas.pag.11 Circunferências....Pag.14 Posições Relativas entre Retas e Circunferências...Pag.19 Cônicas......Pag.1 Inequações Pag.5 Distâncias e Conceitos Básicos 01. Da igualdade ( xy 1, x y) = (, 0) podemos concluir que: a) x = e y = 0 b) x = y = 1 c) x = y = ± d) x = 1 e y = 0 e) x = e y = 0. Determine o valor correspondente ao ponto X assinalado na figura abaixo. a) 18 b) 16, c) 0,8 d) 8 e) 4 0. Calcule a distância entre os pontos dados: a) A = (, 7) e B = (1, 4) b) E = (, 1) e F = (, 5) c) H = (, 5) e O = (0, 0) 04. Determine o ponto médio do segmento de extremidades: a) A = ( 1, 6) e B = ( 5, 4) b) A = ( 1, 7) e B = (, 5) c) A = ( 4, ) e B = (, 4) 05. Um retângulo de centro na origem do sistema cartesiano apresenta os lados paralelos aos eixos coordenados e um vértice é A = ( 5, ). Os outros vértices são: a) (5, ) (5, 0) e ( 5, 0) b) (, 5) (5, ) e (, 5) c) ( 5, ), (, 5) e (, 5) d) (5, ), (5, ) e ( 5, ) e) n.r.a. 1

2 06. Os pontos A = (, 0) e C = (0, 7) são extremidades de um diagonal de um paralelogramo. Dado também o vértice B = (4, 4), obter o vértice D do paralelogramo. 07. (FEI) Dado um triângulo de vértices (1, 1); (, 1); ( 1, ) o baricentro (ponto de encontro das medianas) é: a) (1, /) b) (/, 1) c) (/, /) d) (1, 5/) e) (0, /) 08. Num triângulo de baricentro G = 0, 1 vértice., dois dos vértices são ( 1, 1 ) A = e B =,. Obter o outro 09. Discuta as seguintes afirmações e classifique-as em verdadeiro ou falso. ( ) Qualquer ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares pode ser representado por (a, a) com a sendo um número real. ( ) A distância de um ponto localizado na bissetriz dos quadrantes ímpares, com abscissa igual a x, até a origem, é x. ( ) O menor caminho entre os pontos (,0) e (0,7) tem comprimento inferior a 8 unidades. 10. (UEL) Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD. Se A = (, ) e C = ( 0, 5), a área de ABCD, em unidades de área, é a) 4 b) 4 c) 8 d) 8 e) O ponto simétrico do ponto P = (, ) em relação ao eixo dos x é o ponto. a) (, ) b) (, ) c) (, ) d) (, ) e) (, ) 1. (PUCCamp) Os pontos (0, 0), (1, ) e (10, 0) são vértices de um retângulo. O quarto vértice do retângulo é o ponto: a) (9, ) b) (9, ) c) (9, 1) d) (8, ) e) (8, 1) 1. (UFRGS) A distância entre os pontos A = (, y) e B = ( 6, 7) é 10. O valor de y é: a) -1 b) 0 c) 1 ou 1 d) 1 ou 10 e) ou Se o ponto A = (m, 4) é eqüidistante dos pontos B = (5, ) e C = (, ), então D = (m 1, m) é um ponto pertencente: a) ao eixo das ordenadas. b) à reta de equação y = x. c) ao terceiro quadrante. d) ao primeiro quadrante. e) ao eixo das abscissas. 15. O ponto P = ( m +, 1 m) dista 5 unidades do ponto Q = (, 4 m) com m > 0. O valor de m é a) 1 b) c) d) 4

3 16. Se o triângulo ABC tem coordenadas A = (0, 0), B = (5, 1) e C = (1, 5), faça uma figura representativa e determine a menor distância do baricentro deste triângulo a algum de seus vértices. 17. (UFRGS/99) No paralelogramo ABCD da figura abaixo, AB = e BC =. Se A = ( 1, 0), então C é igual a a) (, ) b) (, ) c) (, ) d) (, ) e) (, ) 18. O comprimento da circunferência de diâmetro CD, sendo C = (, 1) e D = (10, 7) é: a) 5π b) 10π c) 0π d) 17π e) 9π 19. Os pontos A = ( 5, ) e C = (, 4) são extremidades de uma diagonal de um quadrado.qual o perímetro desse quadrado? 0. Demonstre que o triângulo com os vértices A = (0, 5), B = (, ) e C = (, ) é isósceles e calcule seu perímetro. 1. Determine x de modo que o triângulo ABC seja retângulo em B. São dados A = (, 5), B = (, 1) e C = (, x)... Qual o ponto do eixo das ordenadas que eqüidista dos pontos A = (, 1) e B = (6, )? a) (0, 5) b) (5, 0) c) (, ) d) (6, ) e) ( 1, 0). (Unesp/98) Os vértices da base de um triângulo isósceles são os pontos (1, 1) e (, 4) de um sistema de coordenadas cartesianas retangulares. Qual a ordenada do terceiro vértice, se ele pertence ao eixo das ordenadas? 4. (UFF/97) Considere os pontos A = (, ) e B = ( 8, 6). Determine as coordenadas do ponto P, pertencente ao eixo x, de modo que os segmentos PA e PB tenham o mesmo comprimento. 5. Na figura abaixo tem-se o losango ABCD, com A = (1, 1) e C = (4, 4), e cuja diagonal AC forma ângulo de medida 60À com o lado AB.

4 O perímetro desse losango é a) b) 6 c) 1 d) 4 e) Determine o ponto P, da bissetriz dos quadrantes pares que eqüidista de A = (0, 1) e B = (, ) 7. Os pontos ( 1, 1), (, ) e (5, 1) determinará: a) um triângulo retângulo isósceles. b) um triângulo retângulo escaleno. c) um triângulo escaleno não retângulo. d) um triângulo equilátero. e) um triângulo isósceles não retângulo. 8. (IBMEC) Considerando o triângulo MNP, sendo M = ( 8, 6), N = ( 4, 10) e P = ( 8, ), determine o tamanho da mediana relativa ao vértice M. 9. Dados os pontos A = (8, 11), B = ( 4, 5) e C = ( 6, 9), obtenha o circuncentro do triângulo ABC. 0. Considerem-se os pontos A = (, ), B = (, 0) e C = ( 4, ) o centro da circunferência circunscrita ao triângulo ABC é o ponto a) (1, 1) b) ( 1, 1) c) (1, 1) d) (, ) e) (, 1) 1. Dado o segmento AB com A = (, ) e B = ( 6, 7). Determine as coordenadas de dois pontos M e N que dividem o segmento em três pedaços de igual comprimento.. Dos pontos que dividem o segmento AB, A = (, 9) e B = (16, 5), em 7 partes iguais, o que está mais próximo de B é: a) (4, 7) b) (9, ) c) (1, ) d) (14, ) e) n.r.a.. Até que ponto devemos prolongar o segmento AB, com A = ( 1, 1) e B = ( 4, 5), no sentido de A para B, para que seu comprimento triplique? 4

5 Retas 4. (PUC-RJ/99) O valor de x para que os pontos (1, ), (, 4), e (x, 0) do plano sejam colineares é: a) 8 b) 9 c) 11 d) 10 e) 5 5. (IBMEC/06) Para que os pontos do plano cartesiano de coordenadas (1, 1), (a, ) e (, b) estejam sobre uma mesma reta é necessário e suficiente que: a) ab = a b b) ab = a + b c) ab = b a d) ab = a b e) ab = a + b 6. (UFOP/09) A reta r contém os pontos ( 1, ) e (, ). O valor de m, de modo que o ponto ( m, 7) pertença a r, é: a) 1 b) c) d) 4 7. (PUC-RJ) Sejam os pontos A = ( a, 1) e B = ( 0, a). Sabendo que o ponto médio do segmento AB pertence à reta x + y = 7, calcule o valor de a. 8. Determine a equação da reta que passa pelos pontos A = ( 1, ) e B = (5, ). 9. Determine a equação da reta que passa pelos pontos A = (, ) e B = (5, 4) a) 4x + y + 1= 0 b) x + 4y + 1= 0 c) x + y + = 0 d) x + y 4 = 0 e) x y 1= Os pontos A = ( x, 0) e B = (, y), pertencem a reta de equação x y + 9 = 0. A distância entre eles é: a) 10 b) c) 10 d) 4 10 e) Os pontos A = (6, 0), B = (5, 4) e C = (1, ) são, nessa ordem, vértices consecutivos do paralelogramo ABCD. A equação da reta BD é: a) x y 1= 0 b) x 4y + 1= 0 c) x + 5y = 0 d) x + y 5 = 0 e) 5x y 1 = 0 5

6 4. Os coeficientes angular e linear da reta y x + 1 = 0 são respectivamente: a) / e 4 b) / e 1 c) / e 1 d) / e 4 e) / e 4 4. Escreva a equação fundamental da reta que passa pelo ponto P e tem inclinação α. a) P = (, 8) e α = 45º b) P = ( 4, 6) e α = 0º c) P = (, 1) e α = 10º 44. Determine a equação da reta que passa pelo ponto A = (4, ) e tem inclinação de 45À com eixo das abscissas. 45. Determine a equação da reta que passa pelos pontos A = ( 1, 4) e tem coeficiente angular. 46. A equação da reta que forma ângulo de 0À com o eixo das abscissas e contém o ponto (, 1) é: a) y = x b) y = x + 1 c) y = x + d) y = x + e) y = x (UFRGS) As equações das retas representadas no sistema de coordenadas cartesianas abaixo são x + y = 0, 5x 4y 8 = 0 e x y + = 0. As equações de r e s são, respectivamente, a) x + y = 0 e x y + = 0. b) x + y = 0 e 5x 4y 8 = 0. c) 5x 4y 8 = 0 e x y + = 0. d) x y + = 0 e x + y = 0. e) x y + = 0 e 5x 4y 8 = 0. 6

7 4t 48. (UFSC) Um ponto material móvel P = ( + t, + ) desloca-se no plano cartesiano e suas coordenadas variam em função do tempo t ( t 0 ). Determine a distância percorrida pelo ponto material móvel entre o ponto A para t = 0 e o ponto B para t = (UFRGS) O ponto P = ( x, y) descreve uma trajetória no plano cartesiano, tendo sua posição a cada instante t ( t 0 ) dada pelas equações x = t y = t A distância percorrida pelo ponto P = ( x, y) para 0 t é a) b) c) 1 d) 1 e) A reta determinada por A = ( p, q) e B = ( 7, ), passa pela origem. Qual é a relação entre p e q. 51. Considere os pontos A = ( 4, ), B = ( 0, ) e C = ( 1, 1). A equação da reta suporte da mediana do triângulo ABC, relativa ao lado AB, é: a) x y + = 0 b) x + y 4 = 0 c) x y = 0 d) x + y 4 = 0 e) x y + = 0 5. Obtenha o ponto de intersecção entre as retas r: x + 5y 9 = 0 e s: y = x. a) (, ) b) (, ) c) (5, ) d) (1, ) e) (, 4) 5. As retas de equação x y = 0 e y = x k interceptam-se no ponto ( k + 1, k 1) determine o valor de k e o ponto de intersecção entre as duas retas, respectivamente. a) 1 e (, 0) b) e (1, 0) c) 5 e (, 0) d) 1 e (0, ) e) e (1, ) 54. As retas r e s de equações x y + 7 = 0 e 4x y 5 = 0 respectivamente passam pelo ponto P = ( ab, ). Calcule o valor de a + b. 55. Os pontos (x, y) equidistantes de (4, 5) e (6, 7) pertencem à reta de equação: a) y = x b) y = x + c) x + y 11= 0 d) x = t e y = t + 1, t R x y e) + =

8 56. Calcule as coordenadas do ponto da reta de equação x y + = 0, que é eqüidistante dos pontos A = (, 0) e B = (1, 4). 57. (Cesgranrio) As retas x + ay = 0 e x y + 5 = 0 são paralelas, se a vale: a) b) 0,5 c) 0,5 d) e) Determine o valor de m para que as retas x + y 1= 0 e mx + 4y = 0 sejam paralelas. a) 1 b) / c) - d) - 6 e) 8/ 59. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P = (, ) e é paralela à reta x y 6 = 0. a) x y + 9 = 0 b) x y 15 = 0 c) x + y 15 = 0 d) x y + 9 = 0 e) x y + 15 = A equação geral da reta que passa pelo ponto P = (, 4) e é paralela a reta x y + 4 = 0 é a) x y + 8 = 0 b) x + y 7 = 0 c) x y 8 = 0 d) x + y + 7 = (UFRRJ/04) Sabendo que as retas mx + ( m ) y = m e ( m + ) x + ( m + 5) y = m + 1 são paralelas, o valor de m será: a) 1/ b) 1/ c) / d) / e) 5/ 6. (FGV/11) No plano cartesiano, considere a reta (r) da equação x + 4y 7 = 0 e a reta (s) dada na forma paramétrica x = t 5, t R y = t Podemos afirmar que: a) r e s são perpendiculares. b) r e s determinam, com o eixo das abscissas, um triângulo de área 44/. c) r e s se interceptam num ponto do eixo das abscissas. d) r e s se interceptam num ponto do eixo das ordenadas. e) r e s são paralelas 6. (UFSM) Sejam r: x + qy 1= 0 e s: px + 5y + = 0 duas retas perpendiculares entre si. Então, é correto afirmar que a) p q = 5 b) p q = 5 c) p q = 1 d) p q = 1 e) p q = 5 8

9 64. Se as retas r e s da figura abaixo são perpendiculares, então a equação da reta r é: a) y x = 0 b) y + x = 0 c) y + x + = 0 d) y x + = 0 e) y + x = Determine a equação da reta s que contém P = (, 1) e é perpendicular a reta ( r) x y + = São dados os pontos A = (, y), B = (1, 4) e C = (, 1). Qual deve ser o valor de y para que o triângulo ABC seja retângulo em B. a) 14 b) 14 c) d) e) Dados os pontos A = (1, ), B = (, ) e C = (4, ), obtenha a equação da reta que passa por A e pelo ponto médio do segmento BC. 68. Considere o quadrilátero ABCD tal que A = ( 1, ), B = (1, ), C = (, ) e D = (0, ). Determine as coordenadas do ponto de encontro das suas diagonais. 69. Seja s uma reta que passa pelo ponto P = ( 1, 4) e é perpendicular à reta de equação x + y + 4 = 0. Podemos afirmar que a ordenada do ponto de abscissa da reta s é a) 10 b) 11 c) 1 d) Duas retas, são perpendiculares em um ponto de abscissa 4, se a equação de uma é x 7y + 5 = 0, a soma dos coeficientes da equação geral da outra é a) 41 b) 4 c) 4 d) (MACK/0) Se a equação de equação ( k k ) x + y + k k = 0 passa pela origem e é perpendicular à reta de equação x + 4y 1= 0, o valor de k + é: a) b) c) d) e) 1 9

10 7. (Unesp/01) Dada a reta r de equação 4x + y + 5 = 0 e o ponto P = (, 1), determine a) o coeficiente angular de r; b) a equação da reta s que é perpendicular a r e passa pelo ponto P. 7. (FUVEST) No plano cartesiano são dados os pontos A = ( 1, ), B = ( 1, ) e C = (, 1). Determine uma equação: a) da reta AB b) da reta que passa por C e é perpendicular a AB 74. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P = (1, 5) e é perpendicular à reta de equação x + y 1 = 0. a) y = x 1 b) y = x + 4 c) y = x + d) y = x + 5 e) y = x (UFC) Determine a equação da reta que é perpendicular à reta 4x + y 1= 0 e que passa pelo ponto de interseção das retas x 5y + = 0 e x y 7 = 0 é: 76. (UFF) Determine as coordenadas dos pontos da reta de equação y = x + 4 que distam quatro unidades da origem. 77. Obtenha a equação da mediatriz do segmento de reta AB, sendo A = (, ) e B = (7, 4). a) y = x + 1 b) y = x 1 c) y = x + 1 d) y = 1x + e) y = x Determine a projeção ortogonal do ponto P = ( 7, 15) sobre a reta ( r) x = t, y = t 79. (FGV) Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P = (, 1) e que determina com os eixos Ox e Oy um triângulo localizado no primeiro quadrante e de área igual a 5/4 cm. 10

11 Distância de Ponto à Reta e reas 80. Calcule a distância do ponto P = (, 6) à reta x 4y = 0. a) b) 10 c) 8 d) 4 e) 81. (PUC) A distância do ponto P = (, 1) à reta r de equação x + 5y 1= 0 é: a) b) c) d) e) (UFPI) Qual é a distância da origem à reta de equação x 4y = 10? a) b) c) 10 d) 1 e) 8. (UFMG) Observe a figura. Nessa figura, a reta AC intercepta o eixo das abscissas no ponto ( 1/, 0), e a área do triângulo de vértices A, B e C é 10. Então, a ordenada do ponto B é a) 0/11 b) 1/11 c) 4 d) 5 e) Calcular a área do triângulo de vértices A = (1, 1), B = (7, 8) e C = (1, 10). a) 7 b) 54 c) d) 19 e) (PUCCamp) Qual área de um triângulo cujos vértices são a origem do plano cartesiano e os pontos de intersecção da reta de equação x + y = 0 com os eixos coordenados? a) 1 b) c) 4 d) 1/ e) 1/4 86. (UFRR) Considere o ponto A = (1, ). Sejam B e C os pontos simétricos de A em relação ao eixo OX e OY, respectivamente. A área do triângulo ABC, em unidade de área, é igual a: a) 0,5 b) 1 c) d) e) (Unicamp/01) Considere, no plano xy, as retas y = 1, y = x 5 e x y + 5 = 0. a) Quais são as coordenadas dos vértices do triângulo ABC formado por essas retas? b) Qual é a área do triângulo ABC? 11

12 88. (UERJ/0) No sistema de coordenadas cartesianas abaixo, está representado o triângulo ABC. Em relação a esse triângulo, a) demonstre que ele é retângulo; b) calcule a sua área 89. Calcular a área do quadrilátero de vértices A = (1, ), B = (5, 1), C = (6, 5) e D = (, 7). a) 17 b) 4 c) 10 d) 6 e) (UFPEL/06) Em julho de 005, Londres foi alvo dos terroristas. Especialistas em combater o terrorismo advertem que é praticamente impossível evitar que a capital inglesa seja alvo de outro ataque terrorista, pois qualquer sociedade, não importa quão preparada esteja, é vulnerável ao terrorismo sofisticado, que possui informações de inteligência. Foram quatro as explosões em Londres, todas no centro da cidade. O mapa abaixo pode ser representado no plano cartesiano, em que os pontos A, B, C e D terão as seguintes coordenadas: A = (, ), B = (, 4), C = (4, ) e D = (6, ). Com base nos textos e em seus conhecimentos, é correto afirmar que o polígono formado pela união dos pontos A, B, C e D é um a) quadrilátero de,5 unidades de área. b) triângulo de,5 unidades de área. c) quadrilátero de 7 unidades de área. d) triângulo de 7 unidades de área. e) quadrilátero de unidades de área. 91. Sejam os pontos A = (-,), B = (-1,0), C = (1,0), D = (, ) e E = (0,5). a) Calcule a área do triângulo ABC b) Calcule a área do pentágono ABCDE 1

13 9. (Unimontes/09) A área do pentágono cujos vértices são A = (0,0), B = (,), C = (,), D = (1,5) e E = (,1) é: a) 14,5 b) 10,5 c) 1,5 d) 11,5 9. (Unesp) Um triângulo tem vértices P = (,1), Q = (,5) e R = (x, 4). Sabendo-se que a área do triângulo é 0, calcule a abscissa do ponto R. a) 8 ou 1 b) 9 ou 1 c) 10 ou 9 d) 11 ou 8 e) 1 ou (FGV/09) Uma reta vertical divide o triângulo de vértices (0,0), (1,1) e (9,1), definido no plano ortogonal ( x, y ), em duas regiões de mesma área. A equação dessa reta é 5 a) x = 0 b) x = 0 c) 7 x = 0 d) x 4 = 0 e) 5 x + = (FGV/05) No plano cartesiano, seja P o ponto situado no 1À quadrante e pertencente à reta de equação y = x. Sabendo que a distância de P à reta de equação x + 4y = 0 é igual a, podemos afirmar que a soma das coordenadas de P vale: a) 5,6 b) 5, c) 4,8 d) 4,0 e) 4,4 96. Encontrar a distância entre as retas x 4y + 8 = 0 e 6x 8y + 9 = Na figura, a área do triângulo assinalado é 6. Então a distância entre as retas paralelas r e s é: a) b) / c) 6/5 d) 7/5 e) 8/5 98. (UFTM/11) Observe a figura. 1

14 São dadas as retas r, de equação x + 4y 6 = 0, e s, de equação x + 4y 46 = 0, e também o ponto P = ( 6, ). Determine: a) A distância entre as retas r e s. b) A medida do segmento PQ, lado do triângulo equilátero PQR. 99. (IME) Estabeleça as equações das retas que distam 10 (dez) unidades da origem e que contém o ponto (5, 10) Calcule o comprimento da altura AH, do triângulo de vértices A = (,0), B = (0, 0) e C = (6, 8). Circunferências 101. Determine a equação reduzida da circunferência de centro C e raio R. C(, 5) a) R = C( 0, 0) b) R = 7 c) C( 0, 4) R = O raio e o centro da circunferência de equação a) 9 e (0, ) 1 b) 10 e, c) e ( ; 1) d) 7 e, e) 5 e (, 0) x y x = 0, são, respectivamente, 14

15 10. Determine o centro e o raio da circunferência x + y 10x + 4y 0 = 0, respectivamente: a) (, 5) e 7 b) (5, ) e 5 c) (, ) e d) (, 4) e 1 e) (5, ) e Determine a equação de uma circunferência de centro C =, 1 T =, 1 : a) 4x + 4y 1x 8y = 0 b) 4x + 4y 1x 8y 4 = 0 c) x + y 6x 4y = 0 d) x + y 6x 4y 4 = 0 e) x + y x y = 0 e que passa pelo ponto 105. Na figura abaixo, a circunferência representada tem centro C. A equação dessa circunferência é a) x + y + 4x + 4y 9 = 0 b) x + y x y 9 = 0 c) x + y x y 1= 0 d) x + y 4x 4y 9 = 0 e) x + y 4x 4y 1= Para quais valores de k o ponto P = (, ) é exterior a circunferência de equação x y x y k = 0? 107. (UFTM/11) A circunferência λ de equação x + y 8x + 8y + 16 = 0 e centro C é tangente ao eixo das abscissas no ponto A e é tangente ao eixo das ordenadas no ponto B, como mostra a figura. 15

16 Determine: a) o raio e o comprimento da circunferência λ. b) a área da região sombreada na figura (FGV-Economia/06) A circunferência γ da figura seguinte é tangente aos eixos x e y e tem equação x y x y = 0. A área da superfície sombreada é: a) 9( π 1) b) 81π 9 c) 9( 4 π) 4 d) 9( 9π 4) 4 e) 6( 6π 4) O ponto diametralmente oposto ao ponto P = ( 1, 0) na circunferência a) (, 4) b) (, 4) c) (, 4) d) (, 4) x y x y = 0 é: 110. (FMTM/0) Na figura abaixo, a circunferência está inscrita no quadrado. Desse modo, a equação da circunferência é: 16

17 a) ( x 4) + ( y ) = 4 b) ( x ) + ( y 1) = c) ( x ) + ( y 4) = 16 d) ( x 4) + ( y ) = e) ( x ) + ( y 4) = 111. Calcule a área de um quadrado inscrito na circunferência x + y 4x 6y = 0 a) b) 4 c) 8 d) 16 e) 11. (FGV/10) Dada a circunferência de equação x + y 6x 10y + 0 = 0, seja P seu ponto de ordenada máxima. A soma das coordenadas de P é: a) 10 b) 10,5 c) 11 d) 11,5 e) Qual o ponto da circunferência ( x ) + y = 4 que fica mais distante do eixo y? 114. A equação de uma circunferência C é x + y y 7 = 0. a) Verifique se o ponto (, ) pertence à circunferência. b) Determine os pontos onde a circunferência intersecta o eixo das coordenadas (UFU/06) Considere a circunferência S de equação x + y 4x + y = 4. Sejam: P 1 = ponto de S que tem ordenada máxima; P = ponto de S que tem abscissa mínima; P = ponto de S que tem abscissa máxima; r = reta que passa por P 1 e P ; s = reta tangente a S no ponto P Determine a distância de P ao ponto em que as retas r e s se intersectam (UFRGS) A equação x + y + 4x 6y + m = 0 representa um círculo se e somente se a) m > 0 b) m < 0 c) m > 1 d) m > 1 e) m < (UFRJ/09 - adaptada) Os pontos ( 6, ), (, 1) e ( 5, 5) pertencem a uma circunferência. Determine o centro e o raio dessa circunferência (UFT/10) Considere as equações das circunferências C : x x+ y y = 0 1 C : x 4x + y 4y = 0 cujos gráficos estão representados abaixo: 17

18 A área da região hachurada é: a) π unidades de área b) π unidades de área c) 5π unidades de área d) 6π unidades de área e) π unidades de área 119. As circunferências de equação x + y 6x + 4y = 0 e ( x + ) + ( y 6) = P são tangentes exteriores, o valor de P é a) 9 b) 16 c) 5 d) (EFOMM) As circunferências C 1 e C de equações tais que: a) C é tangente interior a C 1 b) C 1 e C são tangentes exteriores c) C 1 e C são concêntricas d) C 1 e C são secantes e) C é interior a C 1 x x y y = 0 e x x y y = 0 são 11. Qual a equação reduzida da circunferência que tem raio, tangencia o eixo das abscissas no ponto A = ( 4, 0) e está contida no 4À quadrante? 1. Seja o ponto A = (, 5). A circunferência de centro A e tangente ao eixo dos x intercepta o eixo dos y: a) no ponto (0, ) b) no ponto (0, 5) c) na origem d) nos pontos (0, 1) e (0, 9) e) nos pontos (0, ) e (0, ) 1. A equação de uma das circunferências de raio 4, tangente ao eixo dos y na origem, é: a) x + y 8y = 0 b) x + y + 8y = 0 c) x y 8y = 0 d) x + y + 8y = 0 e) x y + 8y = 0 18

19 Posições Relativas entre Retas e Circunferências 14. (Unesp/06) A reta r de equação x y = intercepta a circunferência de centro na origem e raio dois pontos P e Q, sendo que as coordenadas de P são ambas positivas. Determine: a) a equação da circunferência e os pontos P e Q; b) a equação da reta s, perpendicular a r, passando por P. 5 em 15. Seja a circunferência C, de equação x + y = 5, e a reta r de equação y = ( 5 x). Sejam A e B os pontos de interseção da reta r com a circunferência C. Determine: a) os pontos A e B. b) o menor angulo entre a reta r e o eixo x. 16. Escreva a equação da circunferência de centro C = (, 5) e tangente a reta (r) 5x + 1y 10 = 0 a) x + y 6x 10y + 9 = 0 b) x + y + 1x + 8y 1= 0 c) x + y 8x + 15y + 1= 0 d) x + y 8x 8y + 7 = 0 e) x y x y = Calcule a área da circunferência cujo centro esta na origem do sistema de coordenadas e que e tangente a reta de equação 4x y = (Fuvest) Uma circunferência de raio, localizada no primeiro quadrante, tangencia o eixo x e a reta de equação 4x y = 0. Então a abscissa do centro dessa circunferência é: a) 1 b) c) d) 4 e) A reta x + 4y + ( p 5) = 0, com p > 0, é tangente a circunferência de p é a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 x y x y = 0, o valor 10. (Fuvest) A reta circunferência. y = x é tangente a uma circunferência de centro (, 0). Calcule o raio da 11. A circunferência λ tem equação x + y + x = 0. A reta t é tangente a λ no ponto (1, 0). A equação de t é a) x = 1 b) y = 1 c) x + y = 1 d) x y = e) x y = 1 19

20 1. (UFF/01) Considere a circunferência C, de equação ( x 1) + ( y 1) = 1, e a reta que contém a origem e o centro desta circunferência. Encontre a equação de uma reta que seja perpendicular a r e tangente a C. 1. (UEM) A equação da reta tangente à circunferência ( x ) + ( y ) = 5 no ponto (6, 6) é: a) y 4x + 6 = 0 b) 4y + x 4 = 0 c) 4y + x 6 = 0 d) 4y x 6 = 0 e) y + 4x 4 = A reta (t) x + y 1= 0 tangencia a circunferência x + y 4x y + = 0 no ponto P = ( ab, ). O valor de a b é a) 1 b) 1 c) d) e) (UFRRJ/00) Determine os valores de m para que a reta de equação mx y + = 0 seja tangente à circunferência de equação a) m = ou m = b) m = ou m = c) m = ou m = d) m = 1 ou m = 1 e) m = ou m = x + y = 16. Dado que a circunferência distintos, então: a) 5 < m < 5 b) 15< m < 65 c) 5 < m < 85 d) 85 < m < 5 x y x y + = intersecta a reta x 4y = m em dois pontos 0

21 Cônicas 17. A excentricidade da elipse de equação a) b) 1 x y x y = 0 vale: 1 1 c) d) 18. (AFA) Um ponto P da elipse x y + = 1 dista de um focos. Qual é a distância de P ao outro foco 9 4 da elipse? a) b) c) 4 d) (Unesp/0) A figura representa uma elipse. A partir dos dados disponíveis, a equação desta elipse é: x y a) + = b) ( ) ( ) x + 5 y 7 + = c) ( x 5) + ( y 7) = 1 d) ( ) ( ) x + 5 y = e) ( ) ( ) x + y 4 + = (AFA) Deduzindo a equação reduzida da hipérbole de parâmetro, com eixo imaginário e real de mesma medida, centro na origem e focos no eixo Ox, obtemos: a) x y = 9 b) x y = 9 c) x y = 9 d) x y = O eixo maior de uma elipse está contido no eixo x. Sabendo que o comprimento do eixo menor é 6 e a distância focal é 10. A equação da elipse é: 1

22 x y a) + = x y b) + = x y c) + = x y d) + = 1 4 x y e) + = (UFTM/07) Considere um corpo celeste (hipotético) que descreve uma órbita elíptica ao redor do Sol, e que o Sol esteja num foco da elipse. Quando o corpo celeste se encontra no vértice A da elipse da figura, a sua distância ao Sol é de 0,808. Sabendo-se que F 1 e F são os focos da elipse, e que a excentricidade de sua órbita é e = 0,01, então a distância x ao Sol, quando o corpo se encontra no vértice A 1 é igual a: a),0 b) 0,79 c) 0,808 d) 1,616 e) 0,5 14. (UFBA/04) Determine a área do quadrilátero ABCD, no qual A e C são os vértices da cônica 9x 4y = 6, e B e D são os pontos de interseção dessa cônica com a reta que contém a bissetriz do primeiro quadrante (UECE) A área do quadrilátero cujos vértices são as interseções da elipse eixos coordenados é igual, em unidades de área, a: a) 0 b) c) 4 d) 6 9x 5y 5 + = com os 145. (UNIRIO) A área do triângulo PFF 1, onde P = (, 8) e F 1 e F são os focos da elipse de equação x y + = 1, é igual a: 5 9 a) 8 b) 16 c) 0 d) e) Considere a elipse de equação então a soma PF1 + PF é igual a: x y + = 1, cujos focos são F 1 e F. Se P é um ponto dessa elipse, 18 9 a) 6 b) 6 c) d) 18 e) 9

23 147. A excentricidade da elipse de equação x y + = 1, é: a) b) c) d) e) 148. A equação da hipérbole da figura abaixo é expressa por: a) 9y 7x = 6 b) 16x 9y = 144 c) 7x 9y = 6 d) 9x 7y = 6 e) 9x 16y = Numa hipérbole, a distância focal é 16 e o comprimento do eixo real é 1. Os focos pertencem ao eixo das abscissas. Uma equação possível da hipérbole é: x y x y x y x y x y a) = 1 b) = 1 c) = 1 d) = 1 e) = (Udesc/08) Determine os focos e os vértices no eixo real da hipérbole cuja equação é 5x 4y = O ponto A =, triângulo AFF 1 é: a) retângulo e isósceles b) obtusângulo e escaleno c) acutângulo e isósceles d) acutângulo e escaleno e) equilátero pertence à hipérbole de equação y x = 1, cujos focos são 1 F e F. Então, o 15. Um dos focos da hipérbole x y x y 8 11= 0 é: a) ( 6, 0 ) b) ( 6, ) c) ( 1+ 6, ) d) (1, ) e) (, )

24 15. A hipérbole de equação 4x 9y 6 = tem distância focal igual a: a) 1 b) 6 c) 4 d) 5 e) Dados os pontos A = ( 1, 0), B = ( 1, 0) e C = (, 1), determine a equação da parábola que tem eixo paralelo ao eixo y e passa por esses pontos (UFG) Uma parábola é definida como sendo o lugar geométricos dos pontos do plano que eqüidistam de uma reta r, chamada diretriz da parábola, e de um ponto F, chamado de foco da 1 parábola. Encontre a equação da parábola cuja diretriz é a reta y = e cujo foco é o ponto (1,1) (UFMG/99) Observe a figura. Essa figura representa uma parábola, seu foco F = (4, 9) e sua diretriz r, cuja equação é y =. Sabe-se que uma parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que estão à mesma distância de um ponto fixo (o foco) e de uma reta fixa (a diretriz). Calcule os valores de a, b e c de modo que a equação da parábola da figura seja y = ax + bx + c As coordenadas do vértice da parábola de equação x + 4x + 8y + 1 = 0 é: a) V = ( 1, ) b) V = ( 1, 1) c) V = (, 1) d) V = (, ) e) V = ( 1, ) 158. A parábola de equação x y + 6 = 0 tem diretriz igual a: a) y = 1 b) y = 1 c) y = d) y = e) y = 159. As retas definidas por x = 4 e y + x = se interceptam no ponto A. A distância do ponto A ao vértice da parábola definida por y x x = é: a) b) c) d) 5 e) A distância entre os focos da cônica x y 9 = 0 é: a) b) c) 4 d) 6 e) 8 4

25 161. (AFA) No plano cartesiano, a equação y 6y 1x + 1= 0 a) Tem vértice V = ( 1, ) b) Tem foco F = (, ) c) Tem diretriz x = 1 d) Tem eixo de simetria y = 1 e) Tem concavidade voltada para esquerda. 16. (Unesp/09) Identifique a cônica que representa o lugar geométrico dos pontos (x, y) do plano que satisfaz a equação x + y x y det 0 1 = Inequações 16. (MACK/79) As desigualdades y 4, x 1 e y + x 0 definem uma região de área: a) indefinida b) 1 c) 7 d) 9 e) (IBMEC/0) Determine a área do polígono formado pelas desigualdades: x y x + y x 0 y O ponto que pertence à região descrita no sistema de desigualdades x + y 6 é: x + y a) (0, 10) b) (0, 0) c) (, 1) d) (5, 5) 5

26 166. (PUC-MG/05) Considere a região do plano cartesiano formada pelos pontos cujas coordenadas 0 x satisfazem ao sistema y x. y x + Tomando-se o metro como unidade de medida nos eixos coordenados, essa região é um trapézio com m de altura e área igual a A m. Então o valor de A é: a) b) 4 c) 5 d) (UFRGS/01) Considere a região plana ilimitada pelos gráficos das inequações y x 1 e x + y 1, no sistema de coordenadas cartesianas. A área dessa região é π 1 π 1 π π π a) b) c) 1 d) + 1 e) (UFPE/99) Qual o inteiro mais próximo da área da região do plano cartesiano definida pelas inequações abaixo? x + y x + y (Ibmec) Num sistema de coordenadas cartesianas xoy considere a seguinte região: x 0, y 0 R: x + y 4 x + y 0 Logo, a área da região R, em unidades de área, é igual a: a) π + b) π + 1 c) π d) π 1 e) π (UEL/05) Na decoração de uma pré-escola são usadas placas com formas de figuras geométricas. Uma destas placas é formada por uma figura que pode ser definida por x + y 8x 8y quando projetada em um plano cartesiano xy, onde x e y são dados em metros. Esta placa vai ser pintada usando duas cores, cuja separação é definida pela reta y = x no plano xy. Considerando o plano cartesiano xy como referência, a região acima da reta será pintada de vermelho e região abaixo da reta, de verde. Sabendo que a escola vai fazer 1 destas placas e que, é necessária uma lata de tinta para pintar m de placa, serão necessárias, no mínimo, quantas latas de tinta vermelha? a) 1 b) 4 c) 6 d) e) Na figura abaixo, a região hachurada representa o conjunto de todos os pontos ( x, y ) de R tais que: 6

27 a) x + ( y 4) 9 e y x b) x + ( y 4) > 9 e y < x c) x + ( y 4) 9 e y x d) ( x 4) + y < 9 e y > x e) ( x 4) + y > 9 e y < x 17. (Unesp/09) Dentre as regiões sombreadas, aquela que representa no plano cartesiano o conjunto U = {( x, y) R y x + 1 e x + y 4} é: a) b) 7

28 c) d) e) 8

29 GABARITO 01. C 0. E 0. a) 1 b) 4 c) a) M = (, 5) b) M = ( 1, 6) c) M = (, ) 05. D 06. ( 1, ) 07. D , (V) (F) (V) 10. A 11. C 1. C 1. C 14. C 15. C 16. GA = 17. C 18. C P = A., 1 x = 4. P = ( 87 10, 0) 5. C 6. P =, 7. C (,) 0. C 1. M = 0, 11 e N =, 16. D. P = ( 10, 17) 4. D 5. B 6. D 7. a = 1 8. x y 4 = 0 9. B 40. D 41. E 4. D 4. a) y 8 = 1 ( x ) b) y 6 = ( x + 4) c) y + 1= ( x 4) 44. y = x 45. y = x E 47. A E 50. p = 7q 51. A 5. A 5. A 54. a + b = C 9

30 P =, B 58. E 59. B 60. B 61. D 6. B 6. A 64. B 65. B 66. C 67. x + 4y 11= P =, B 70. A 71. D 7. a) b) x y 4 = 0 7. a) x y + 5 = 0 b) x + y = C 75. x 4y 4 = (0,4) e ( 1/5, 16/5) 77. A , x + y 5 = 0 ou x + 9y 15 = D 81. D 8. E 8. D 84. A E a) A = (,1), B = (, 1) e C = (5,5). b) S = a) Demonstração b) S = A 90. A 91. a) ; b) 1 9. D 9. E 94. B 95. D 96. 7/ C 98. a) 8 b) PQ = y = 10 ou 100. AH = y = x a) ( x ) + ( y 5) = 4 b) x + y = 7 c) x + ( y 4) = E 10. E 104. A 105. E 106. k < a) r = 4, C = 8π ; b) A = 4π C 109. C 110. A 111. E 11. A 11. (5,0) 114. a) sim

31 b) ( 0, 1+ ),( 0, 1 ),( 7, 0),( 7, 0) ; E 117. C = (, 1) e R = D 119. B 10. E 11. ( x 4) + ( y + ) = 9 1. D 1. D 14. a) b) y = x + 5 x + y = 5, P = (, 1) e Q = (, 1) a) A =, b) 60À 16. A 17. S = 18. D 19. A 10. R = A 144π 5 1. y = x + 1. B 14. B 15. D 16. A 17. B 18. C 19. B 140. A 141. C 14. B 14. S( ABCD ) = e B = ( 5, 0) 144. A 145. D 146. A 147. D 148. D 149. B 150. Vértices: A = ( 1, 0), A = ( 1, 0). 1 Focos: F = ( 9, 0), F = ( 9, 0) 151. C 15. C 15. A x y 1 1= 0 y = x x a = 1 ; b = ; c = C 158. E 159. A 160. C 161. A 16. Elipse de centro O = ( 1,1), semi-eixo maior 6 e semi-eixo menor D 164. S = 165. B 166. D 167. A E 170. C 171. A 17. A 4 5 1