d AB y a x b x a x a

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Fábio Canejo Paranhos
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1 Introdução A Geometria Analítica é uma parte da Matemática, que através de processos particulares, estabelece as relações existentes entre a Álgebra e a Geometria. Desse modo, uma reta, uma circunferência ou uma figura podem ter suas propriedades estudadas através de métodos algébricos. Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII, e devem-se ao filósofo e matemático francês René Descartes ( ), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas ia%20analitica' ncia.htm a.htm#ga0 O PPLLAANNO CCAARRTTEESSIIAANNO Y ( eixo das ORDENADAS ) Bissetriz dos quadrantes pares Bissetriz dos quadrantes ímpares 2º QUADRANTE ( -, + ) º QUADRANTE ( +, + ) x ( eixo das ABSCISSAS ) 3º QUADRANTE ( -, - ) 4º QUADRANTE ( +, - ) DDIISSTTÂÂNNCCIIAA EENNTTRREE DDOIISS PPONNTTOSS y b y a A d AB B y b - y a x b x a x a x b Dados dois pontos distintos do plano cartesiano, chama-se distância entre eles a medida do segmento de reta que tem os dois pontos por extremidade. Sendo A(xa, ya) e B(xb, yb), aplicando Pitágoras temos: d AB ( x x ) + ( y y ) 2 = ou = ( x) 2 + ( y) 2 B A 2 B A d AB

2 EEXXEERRCCÍ ÍÍCCI IIOSS 0. Sejam os ponto A(-3, ) e B(4, 3). A distância entre eles é a) 0 b) 5 c) 53 d)) 2 e)6 02. (UFRGS) A distância entre os pontos A(-2, y) e B(6, 7) é 0. O valor de y é: a) b) 0 c) ou 3 d) - ou 0 e) 2 ou Qual o ponto do eixo das ordenadas que eqüidista dos pontos A(2, -) e B(6, 3)? a) (0,5) b) (5,0) c) (2,3) d) (6,2) e) (-,0) 04. O comprimento da circunferência de diâmetro CD, sendo C(2, ) e D(0, 7) é: a) 5π b) 0π c) 20π d) 7π e) 29π PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO Dados os pontos A (x, y ) e B (x 2, y 2 ), o ponto médio é aquele que divide o segmento em dois segmentos cujas medidas são iguais á metade da medida do segmento AB. Na figura a seguir, M(xm, ym) é o ponto médio do segmento AB. Pela semelhança dos triângulos ABB' e AMM' podemos escrever: AM / AB = AM' / AB' ==> / 2 = (x m - x ) / (x 2 - x ) ==> 2x m - 2x = x 2 - x ==> 2x m = x 2 + x ==> x m = (x 2 + x )/2. Pela semelhança dos triângulos BAB' e BMM' tira-se BM / BA = BM' / BB' ==> / 2 = (y 2 - y m ) / (y 2 - y ) de onde se conclui y m = (y 2 + y )/2. Portanto, o ponto médio do segmento AB, com A (x, y ) e B (x 2, y 2 ), é M[(x + x 2 )/2, (y + y 2 )/2]. Exercício - Sendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC onde A(0,0), B(4,6) e C(2,4), então W 2 é igual a: a)25 b)32 c)34 d)44 e) 6 2- Calcule a medida da mediana relativa ao vértice C do triângulo de vértices A (3, 2, ), B (5, -3) e C (0, -4) 3-.Sendo A(-5, 2) uma das extremidades do segmento de reta AB e M(-2, 4) o seu ponto médio, o ponto B vale: a) (, 6) b)(2, 2) c)(-5, 4) d)(-2, 2) e)(0, ) 4-O comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC, sendo A(-, 2), B(2, 3) e C(4, 7), é a) 4 b)3 c) 5 d) 6 e) ÁREA DE UM TRIIÂNGULO

3 Consideramos um triângulo de vértices A(xA, ya), B(xB, yb) e C(xC, yc) a sua área é dada por: B(xB, yb) A(xA, ya) C(xC, yc) A =. 2 Xa Xb Xc Ya Yb Yc EXERCÍCIO 0- Calcule a área e o perímetro do triângulo ABC se A(3, 2),B (5,-3) e C(0,-4) Calcular a área do trapézio cujos vértices são: A (0, 0), B (7, ), C (6, 5)e D = ( 8, 3) Calcule a área do triângulo formado pelos pontos médios dos lados do triângulo ABC sendo A = (3, 2, ), B = (5, 4, ) e C = (9, 0). 04-Calcular a área do triângulo de vértices A(,3), B(4,) e C(6,5). a) 6 b) 4 c) 0 d) 2 e) 8 05-Calcular a área do triângulo de vértices A(,), B(7,8) e C(,0). a) 27 b) 54 c) 32 d) 9 e) Determine o valor de y tal que o Triângulo ABC, de vértice A(4,4), B(4,y) e C(,) tenha área 9 u.a resposta 0 ou -2 Baricentro(ou centro de gravidade) de um triângulo Sabemos da Geometria plana, que o baricentro de um triângulo ABC é o ponto de encontro das 3 medianas. Sendo G o baricentro, temos que AG = 2. GM onde M é o ponto médio do lado oposto ao vértice A (AM é uma das 3 medianas do triângulo). Nestas condições, as coordenadas do baricentro G(x g, y g ) do triângulo ABC onde A(x a, y a ), B(x b, y b ) e C(x c, y c ) é dado por : Chamamos de baricentro (G) o ponto de intersecção das medianas de um triângulo

4 Exercício -Assim, por exemplo, o baricentro (também conhecido como centro de gravidade) do triângulo ABC onde A(3,5), B(4, -) e C(, 8) será o ponto G(6, 4). Verifique com o uso direto das fórmulas. 2-Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ onde X(2,5), Y(-4,6), qual o comprimento do segmento BZ? Resposta BZ = 65 /2 u.c. (u.c. = unidades de comprimento). 3-Os pontos A(m, 7), B(0, n) e C(3, ) são os vértices de um triângulo cujo baricentro é o ponto G(6, ). Calcule o valor de m 2 + n 2. Resp: A soma das coordenadas do baricentro do triângulo ABC, sendo A (0, 0), B (4, ) e C (2, 8) é: a) - b) c) 5 d) 5 e) CCONNDDIIÇÇÃÃO DDEE AALLIINNHAAMEENNTTO DDEE TTRRÊÊSS PPONNTTOSS Sendo A(xA, ya), B(xB, yb) e C(xC, yc) três pontos distintos dois a dois, são colineares ou estão alinhados, se e somente se: A(xA, ya) B(xB, yb) C(xC, yc) Xa Ya. Xb Yb = 0 Xc Yc EEXXEERRCCÍ ÍCCI IOOSS 0-O valor de x para que os pontos A(x,0), B(3,) e C(-4,2) sejam colineares é: a) 0 b) 0 c) 3 d) 2 e) Os pontos (,3), (2,7) e (4,k) do plano cartesiano estão alinhados se, e somente se: a) k = b)k = 2 c)k = 3 d)k = 4 e) k = 5 Exercício desafio ) Determinar os valores de x para os quais a distância entre os pontos A(x+2,-3) e B(3,x-3) seja 5 a) -4 e 3 b) 2 e 4 c) 3e -4 d) 4 e 6 2)Os pontos A(3,4) e B(,-2) são eqüidistantes de P(0,y). Determine y a) /2 b) 4/3 c) 5/3 d)4 3)Mostre que o triângulo de vértices D(0,9) E(3,2) e F(-4,-) é retângulo; Qual sua área a) 30 b) 20 c) 29 d)58 4)O ponto M(3,-) é ponto médio do segmento AB, onde A(5,2). Determine ponto B a) B(3,2) b) B(-,4) c) B(,-4) d)b(-4,-6) 5)Os pontos P(,3) e Q(-3,-3) são extremidades de um diâmetro da circunferência.e o comprimento dessa circunferência.c=2. π. r a) 2 3. π b) 3 5. π c) 4 3. π d)26 6)No plano cartesiano, os pontos F(0,0) H(3,3) e M(7,-) são vértices de um retângulo. Qual o 4º vértice desse retângulo a)(-4,4) b) (4,-4) c) (3,-3) d) (4,2)

5 7)Os pontos B(5,0) D(-3,-2) e C(0,y) são vértices do triângulo cuja área é 7 unidades de área. Determine o valor de y a) 2 b) -5 c) 3 d) 8) Determine x pertencente ao ponto no eixo Ox, que dista 5 unidades do ponto Q(6,3) a ) 3 e 5 b) 0 e 2 c) 0 e 5 d) - e 3 9) Qual a área do quadrilátero representado por A(-2,-4) B(,) C(2,-3) e D(,3) a ) 4 u 2 b) 5 u 2 c) 8 u 2 d) 6 u 2 0. Um criador de coelhos pretende aproveitar uma parte de seu terreno irregular para fazer um cercado cujo formato está representado pelo quadrilátero ABCD abaixo, onde as dimensões estão em metros e em média é conveniente criar cada coelho em 0,5m 2. Então quantos coelhos no máximo podem ser criados nesse cercado? A) 0 b) 2 c) 8 d) 5 Na figura abaixo os pontos A, B, C e D representam a localização de 4 pessoas: Danilo, Diego, Sayuri e Vitor, respectivamente, onde suas distâncias são medidas em metros. Nessas condições, determine a distância entre Sayuri e Vitor. Sabendo-se que Sayuri está eqüidistante de Danilo e Diego. y B(-6, 3) A(, 4) C C D D x Exercícios de Geometria Analítica (estudo do ponto) 0- Calcule a área e o Baricentro do triângulo ABC se A(, 2),B (5,-) e C(-,-4). 02- O ponto M(3,4) é ponto médio do segmento AB, onde B(-2,3). Determine ponto A 03- Os pontos A(3,4) e B(,2) são eqüidistantes de P(0,y). Determine y 04- Qual a área do quadrilátero ABCD representado por A(-2,-4) B(,) C(2,-3) e D(,3) 05- Determine o comprimento da mediana relativa ao lado AC do triângulo ABC, sendo A(-, 2), B(2, 3) e C(4, 7) 06- O valor de x para que os pontos A(x,0), B(3,) e C(-4,2) sejam colineares é: 07- Os pontos P(,3) e Q(-3,-3) são extremidades de um diâmetro da circunferência.e o comprimento dessa circunferência.c=2. π. r a) 2 3. π b) 3 5. π c) 4 3. π d) Determinar os valores de x para os quais a distância entre os pontos A(x+2,-3) e B(3,x-3) seja 5 a) -4 e 3 b) 2 e 4 c) 3e -4 d) 4 e 6

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