Capítulo 6 Transformação de tensão no plano

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1 Capítulo 6 Transformação de tensão no plano Resistência dos Materiais I SLIDES 06 Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt [email protected]

2 Objetivos do capítulo Transformar as componentes de tensão associadas a um determinado sistema de coordenadas em componentes associadas a um sistema de coordenadas com uma orientação diferente Obter a tensão normal máima e a tensão de cisalhamento máima em um ponto e determinar a orientação dos elementos sobre os quais elas agem

3 6.1 Transformação de tensão no plano O estado geral de tensão no plano em um ponto é representado por uma combinação de duas componentes de tensão normal, σ e σ, e uma componente de tensão de cisalhamento, τ. 3

4 6.1 Transformação de tensão no plano = O estado plano de tensão em um ponto é representado eclusivamente por três componentes que agem sobre um elemento que tenha uma orientação específica neste ponto. 4

5 Tensões em planos inclinados = 5

6 Tensões em planos inclinados Eemplo 6.1 Represente o estado de tensão no ponto em um elemento orientado a 30º no sentido horário em relação à posição mostrada. 6

7 Eemplo 6.1 Represente o estado de tensão no ponto em um elemento orientado a 30º no sentido horário em relação à posição mostrada. Tensões no plano a-a: DCL 7

8 Eemplo 6.1 Equilíbrio: ΣF = 0 e ΣF = 0 DCL 8

9 Eemplo 6.1 Tensões no plano b-b (ortogonal ao plano a-a) DCL 9

10 Eemplo 6.1 Equilíbrio: ΣF = 0 e ΣF = 0 DCL 10

11 Eemplo 6.1 Apresentação da Solução: Etra 1º Invariante de tensões A soma de tensão normais em quaisquer dois planos mutualmente normais é invariante, isto é: ' ' constante 11

12 6. Equações gerais de transformação de tensão no plano Objetivo: Transformar as componentes de tensão normal (σ) e de cisalhamento (τ) dos eios, para os eios coordenados, por meio de equações. 1

13 6. Equações gerais de transformação de tensão no plano Convenção de sinal positivo: 13

14 6. Equações gerais de transformação de tensão no plano Componentes de tensão normal e de cisalhamento (a) (b) 14

15 6. Equações gerais de transformação de tensão no plano Componentes de tensão normal e de cisalhamento (c) 15

16 6. Equações gerais de transformação de tensão no plano Componentes de tensão normal e de cisalhamento Aplicando as equações de equilíbrio ao diagrama de corpo livre (c), obtêm-se: ' cos sin (6.1) ' ' sin cos (6.) 16

17 6. Equações gerais de transformação de tensão no plano Componentes de tensão normal e de cisalhamento Para a obtenção das tensões no plano normal ao eio, faz-se a substituição de θ por θ+90º nas equações anteriores: 17

18 6. Equações gerais de transformação de tensão no plano Componentes de tensão normal e de cisalhamento Para a obtenção das tensões no plano normal ao eio, faz-se a substituição de θ por θ+90º nas equações anteriores: ' cos sin (6.3) ' ' sin cos (6.4) 18

19 6. Equações gerais de transformação de tensão no plano Eemplo 6. Represente o estado de tensão no ponto em um elemento orientado a 30º no sentido horário em relação à posição mostrada. Utilizar as equações de transformação de tensão. 19

20 6. Equações gerais de transformação de tensão no plano Eemplo 6. 0

21 6.3 Tensões principais e tensão de cisalhamento máima no plano Na prática da engenharia é importante determinar a orientação dos planos que fazem com que a tensão normal seja máima e mínima ou o plano em que a tensão de cisalhamento seja máima. 1

22 Tensões principais no plano Diferencia-se a equação (6.1) em relação a θ e igua-la a zero para obter σ ma e σ min. cos sin (6.1 ' d ' d sin ) cos 0 Resolvendo-se essa equação, obtém-se a orientação dos planos de tensão normal máima e mínima: tan p (6.5)

23 Tensões principais no plano A solução tem duas raízes, θ p1 e θ p, cujos valores de seno e de cosseno podem ser atribuídos à equação (6.1) e obter: 1, (6.6) Nota : 1 Os valores de σ 1 e σ são denominados tensões principais no plano e os planos correspondentes sobre os quais agem são denominados planos principais de tensão (ver figura). Substituindo θ p1 e θ p na equação (6.) obtém-se τ = 0, isto é, nenhuma tensão de cisalhamento age nos planos principais. 3

24 Tensões principais no plano 4

25 Tensão de cisalhamento máima no plano A orientação de um elemento cujas faces estão submetidas à tensão de cisalhamento máima é obtida tomando-se a derivada da equação (6.) em relação a θ e igualando a zero: Usando qualquer uma das duas raízes θ s1 ou θ s, podese determinar a τ ma tomando os valores de sen (θ s ) e de cos(θ s ) e substituindo na equação (6.). Resultado: tan s (6.7) ma (6.8) 5

26 Tensão de cisalhamento máima no plano Substituindo os valores de sen (θ s ) e de cos (θ s ) na equação (6.1), obtém-se a tensão normal nos planos em que ocorre a τ ma : Cisalhamento Puro: Corresponde ao estado de tensão em que o elemento está sujeito a apenas tensões de cisalhamento. med (6.9) Desta forma, não há tensões normais atuando nas faces do elemento. 6