F = m d 2 x d t 2. temos que as forças a única força que atua no bloco é a força elástica da mola ( F E ), dada por. F E = k x

Transcrição

1 Um bloco de massa m = 0,5 kg é ligado a uma mola de constante elástica k = 1 N/m. O bloco é deslocado de sua posição de equilíbrio O até um ponto P a 0,5 m e solto a partir do repouso, determine: a) A equação do movimento; b) A velocidade do corpo; c) Calcule a energia mecânica do oscilador; d) O gráfico da posição x em função do tempo t. Dados do problema massa do corpo: m = 0,5 kg ; constante elástica da mola: k = 1 N/m ; posição inicial (t = 0): x 0 = 0,5 m ; velocidade inicial (t = 0): v 0 = 0. Esquema do problema Adota-se um sistema de referência com sentido positivo para a direita. O bloco é deslocado até a posição x 0 = 0,5 m e quando solto a força elástica da mola fará com que retorne à posição de equilíbrio, a velocidade estará apontando na direção contrária do referencial sendo v 0 = 0 e aumentando em módulo no sentido da posição de equilíbrio (figura 1). Com isto escrevemos as Condições Iniciais do problema: figura 1 x0 = 0,5 m v 0 = 0 = 0 Solução a) Aplicando a. a Lei de Newton F = m d x (I) temos que as forças a única força que atua no bloco é a força elástica da mola ( F E ), dada por F E = k x (II) o sinal de negativo na força elástica representa que ela atua contra o sentido do deslocamento do bloco (atua no sentido de restabelecer o equilíbrio). Substituindo a expressão de (II) em (I), obtemos k x = m d x m d x k x = 0 esta é uma Equação Diferencial Ordinária Homogênea de. a Ordem. Dividindo toda a equação pela massa m, temos 1

2 d x k m x = 0 substituindo os valores dados no problema d x 1 0,5 x = 0 d x x = 0 (III) a solução deste tipo de equação é encontrada fazendo-se as substituições x = e t = et d x = e t e t e t = 0 e t = 0 = 0 e t = 0 esta é a Equação Característica que tem como solução Δ = b a c=0.1. = 0 18 = 16 para Δ<0 as raízes são complexas da forma abi, onde i = 1 = = 1, =±i como Δ<0 a solução da expressão (III) é escrita como x = C 1 e 1 t C e t x = C 1 e it C e i t onde C 1 e C são constantes de integração, usando a Relação de Euler (leia-se óiler) e iθ = cosθi senθ x = C 1 cos t i sen t C cos t i sent x = C 1 costic 1 sen tc cos t ic sent coletando os termos em seno e co-seno, temos x = C 1 C cos t ic 1 i C sent x = C 1 C costi C 1 C sent definindo duas novas constantes α e β em termos de C 1 e C, ficamos com C 1 C e i C 1 C x = cos t sent (IV)

3 multiplicando e dividindo esta expressão por x = fazendo as seguintes definições A, cosφ x = cost sent cos t sent e senφ x = A cosφ costsenφ sent Observação: lembrando da seguinte propriedade trigonométrica oos a b = cosa cos bsen a sen b x = A cos t φ (V) onde A e φ são constantes de integração determinadas pelas Condições Iniciais, derivando a expressão (V) em relação ao tempo, obtemos derivação de x = A cos t φ a função x( t ) é uma função composta cuja derivada, pela regra da cadeia, é do tipo [v t ] = d v com xv = cos v e v t = t φ, assim as derivadas serão d v d v = sen v = sen t φ e dv = = A [ sen t φ. ] = A sen t φ = A sen t φ (VI) substituindo as Condições Iniciais em (V) e (VI), temos x0 = 0,5 = A cos.0 φ 0,5 = A cos φ como o cosseno é uma função par temos cosφ = cos φ e a expressão acima fica 0 0,5 = A cosφ (VII) = 0 = A sen.0 φ 0 = A sen φ 3

4 como o seno é uma função ímpar senφ = sen φ ficamos com isolando o valor de A na expressão (VII) 0 = A senφ (VIII) cosφ (IX) e substituindo em (VIII), obtemos 0,5 0 =. cos φ. senφ 0 = tgφ φ = arc tg0 φ = 0 substituindo o valor de φ em (IX) cos0 1 substituindo estas constantes na expressão (V), temos xt = 0,5 cos t b) A velocidade é dada pela derivada do espaço em função do tempo v = a derivada é dada pela expressão (VI), substituindo as constantes obtidas acima, temos v t =.0,5 sen t 0 v t = sen t c) A energia mecânica de um oscilador harmônico livre é dada por E = 1 k A substituindo a constante elástica dada no problema e a amplitude calculada no item anterior, obtemos E = E = 1.0.5

5 E = 0.15 J d) Construção do gráfico de xt = 0,5 cos t (X) fazendo xt = 0 encontramos as raízes da função xt = 0,5 cos t = 0 cos t = 0 0,5 cos t = 0 a função co-seno é zero quando seu argumento t é igual a π, 3 π, 5 π com n = 0, 1,, 3,..., portanto devemos ter n1 π t = t = n1 π. t = n1 π,..., n1 π, para esses valores de t temos as raízes da função co-seno, os quatro primeiros valores serão, para n = 0, 1, e 3, respectivamente, t = π, 3 π, 5 π, 7 π. estes valores estão mostrados no gráfico 1. gráfico 1 A função oscila entre os valores 0.5 e 0,5 da amplitude. 5