Equações Diferenciais Ordinárias

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1 Equações Diferenciais Ordinárias 1 INTRODUÇÃO Fala galera, estamos aqui para ajuda-los com essa matéria muito importante para nós da UFRJ, esses conceitos serão muito utilizados nas próximas matérias do ciclo básico e profissional, além disso, cálculo II tranca tudo então fica esperto! Primeiro temos que entender o que é uma equação diferencial ordinária. Trata-se de uma equação que envolve as derivadas de uma função de uma variável. Por exemplo: f(x) = f (x) + 1 A ordem da equação depende da ordem da maior derivada que está envolvida (f, f, f...). Lembre-se também que, sempre deve ser linear em f(x) (ou y), ou seja, não existe termo de y², y³... 2 EDO S DE PRIMEIRA ORDEM 2.1 EQUAÇÕES SEPARÁVEIS São assim designadas, pois podemos escrever a equação da seguinte forma (Com denominador diferente de zero): = ( ) ( ) ou = ( ) ( ) (Lembre-se que se f(x) = y, então f (x) = y = )

2 O jeito de resolver esse tipo de equação é isolando as variáveis (e seus diferenciais), e integrar em ambos os lados: Ex: y = ( ) = ( ) ( ) = dx ( ) = ln(y-1) = - + C = (y-1) y = + 1 Um detalhe importante a ser mencionado é que o valor da constante C depende das condições iniciais do problema. A solução que encontramos é geral, e qualquer valor de C satisfaz a equação inicial (y = ( ) ). 2.2 EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEAS E NÃO HOMOGÊNEAS E FATOR INTEGRANTE Agora começa a dificultar um pouco. Não podemos mais utilizar o artifício de isolar as variáveis e integrar em ambos os lados. Uma equação diferencial linear é da seguinte forma: y + P(x)y = Q(y)

3 Aqui, utilizamos um mecanismo chamado de Fator Integrante (Sugerimos que busque a demonstração deste em um livro de Cálculo 2): I(x) = ( ) Consiste na potenciação do número e a uma integral do polinômio P(x) Mas aí você pode se perguntar: Por que eu tenho que decorar isso?. Bem, infelizmente é um macete que é utilizado várias vezes nesse tipo de exercício, e com o tempo (e vários exercícios!) ficará grudado na sua cabeça! Nós iremos multiplicar toda a equação pelo Fator integrante I(x) e depois integrar em ambos os lados! Simples né? Quando fizermos isso, aparecerá do lado esquerdo da equação uma derivação de produto, que quando integrarmos em ambos os lados, voltará a ser o produto que foi derivado. Parece meio complicado, mas ficará mais claro com o exemplo: 3y + 9x²y² = 18x²y Temos que dividir toda a equação por 3y (Se y diferente de 0), para que fique nos moldes da equação linear que mostramos: + 3x²y = 6x² Assim, o nosso P(x) será 3x², e nosso Q(y) será 6x²(Mesmo que não apareça o termo de y) Multiplicando ambos os lados por I(x): I(x) = =. + 3x²y. = 6x². Observe bem o lado esquerdo da nossa equação, é exatamente uma derivada de produto, só que expandida! Seria a derivada de y.!!!

4 Basta então reconstruirmos da seguinte forma: (y. ) = 6x². Agora, integrando em ambos os lados (Utilizando x³ = u, com substituição do lado direito): y. = 2 + C Finalmente, y = 2 + C. A dificuldade desse tipo de questão é encontrar o Fator Integrante. Se feito corretamente, você enxergará uma derivada de produto e resolverá em seguida, normalmente. Lembre-se da forma como apresentamos a equação linear: y isolado (multiplicado apenas por 1), e o P(x) multiplicado apenas por y (sem y², y³... ). O fato de serem Homogêneas ou não, simplesmente depende de Q(y). Se Q(y) = 0, então a equação será Homogênea. Diferente disso será Não-Homogênea.

5 Depois disso é só integrar dos dois lados, isolar o y e correr pro abraço. :D 2.3 APLICAÇÕES 1. Suponha que no instante t=0, a metade de uma população de coelhos é infectada por um vírus que começa crescendo com uma taxa de 1000 coelhos por dia. Assuma a taxa com que o vírus se espalha é proporcional à quantidade de coelhos infectados vezes a quantidade de coelhos não infectados. Determine o tempo para que 80% da população fique infectada. R: Pelo problema, temos que: = k.y( y) = (taxa de coelhos infectados por dia) Vamos descobrir o valor de k, sabendo que em t=0, y = e = 1 : 1 = k.50000( ) k = 25.1 = 25.1.y( y) Agora vamos isolar as variáveis: ( + ( ) )dy= dt Integrando em ambos os lados: (1 ) y = 1. ( ln(y) ln(1 ) ) =. 1

6 ( ln(80000) ln(1 ) ) =. ln(4) = t = 50.ln(2) 2.4 EXERCÍCIOS.

7 3 EDO S DE SEGUNDA ORDEM Agora que já aprendemos os macetes de EDO s de primeira ordem, podemos avançar mais um pouco e prosseguir para o estudo das EDO s de segunda ordem. A diferença básica entre elas é que a de segunda ordem possui um termo adicional com segunda derivada. Mas, mesmo assim, o método de resolução muda completamente. O tipo de EDO de segunda ordem que estudamos é com os coeficientes constantes, novamente com linearidade em y (y e suas derivadas elevadas a potência 1). A forma dela é a seguinte: A. + B. + C.y = G(x), onde A, B e C são constantes. 3.1 EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS Primeiro, vamos estudar o caso em que G(x) = 0, ou seja, a equação é homogênea: A. + B. + C.y = 0 Para explicar a resolução desse tipo de questão, vamos utilizar um artifício. Digamos que Dy = y, ou seja, D é um operador derivação (Você vai entender isso em Álgebra Linear!). O que importa pra nós agora é o seguinte: Dy = y D²y = y (Derivação aplicada novamente) Assim, A. + B. + C.y = 0 seria algo como: (AD² + BD + C)y = 0

8 Veja, vamos multiplicar tudo para confirmar: AD²y + BDy + Cy = 0 Ay + By + C = (Confirmado!) Agora vamos focar no que está em parênteses nessa equação (AD² + BD + C)y = 0. Temos que descobrir os valores de D para que a equação seja verdadeira, e o que está dentro dos parênteses seja zero! Simplesmente temos que resolver uma equação de segundo grau! Vamos a um exemplo prático: y + 3y + y = Mudando o jeito de escrever, para visualizarmos melhor: Assim, (D² + 3D + 2)y = 0 (D+1)(D+2)y = 0 Separando, (D+2)y = 0 ou (D+1)y = 0 (Queremos saber qual operação é nula, dizer simplesmente que (D+1) = 0 não seria válido, por isso (D+1).y!!!) Resolvendo agora como equações separáveis (EDO de 1ª ordem): y + y = y = c₁ y + y = y = c₂. Essas duas soluções encontradas, y₁ e y₂, são soluções particulares do problema. O que realmente queremos é a solução geral! A solução geral é a soma das soluções que encontramos, e será y(x) = y₁ + y₂. Lembrando que c₁ e c₂ são constantes definidas pelas condições iniciais do problema. Parece simples né? Mas sempre dá pra complicar E se r₁ = r₂ (Δ = 0)? Bem, nesse caso, devemos multiplicar uma das particulares por x, desse jeito:

9 y(x) = c₁. ₁ + x.c₂. ₁ (As raízes são iguais, mas as constantes permanecem diferentes) Isso não altera a solução final, pois se derivarmos tudo (Não custa tentar!), o termo multiplicado por x irá se anular. Sugerimos que você mesmo(a) comprove isto derivando toda a equação, para melhor fixação deste resultado! Ex: 16y + 24y + 9y = 0 Δ = 24² = 0 r = -3/4 y(x) = c₁ + x.c₂ Agora vamos ao caso em que Δ <0 (Raízes complexas): Acharemos duas raízes: r₁ = α + βi r₂ = α βi Daí, a solução geral será : y (x) = (c₁ cos(βx) + c₂sen(βx)) (A demonstração desse resultado é bem extensa, por isso resolvemos omiti-la. Você pode achala em qualquer livro de Cálculo 2)

10 Agora, se lembrarmos da equação inicial mostrada como molde da EDO de 2ª ordem de coeficientes constantes: A. + B. + C.y = G(x) Iremos estudar o caso em que G(x) 0, ou seja, é um caso não-homogêneo. A diferença neste caso é que a solução geral será do tipo y(x) = y₁ + y₂ +. Este faz parte da solução que chamamos de particular, pois envolve o lado direito da igualdade. O que temos que fazer é apenas somar a solução da equação particular, com as soluções da equação como se fosse homogênea! (Somar com os resultados de y₁ e y₂) 3.2 EQUAÇÕES NÃO-HOMOGÊNEAS (SOLUÇÕES PARTICULARES) Como determinar as soluções particulares de uma EDO? De inicio, vamos nos preocupar um pouco no que colocar para cada tipo de expressão na EDO não homogênea. Os tipos estão nos tópicos abaixo = A solução particular deve ser um polinômio de grau n, por exemplo: + = Logo, a solução particular deve ser do tipo: = + E para encontrar as constantes? Só jogar na EDO, vemos ter: = = Logo:

11 + = + ( + ) = + + = Logo: = = 1 = = = 3 Logo a solução particular é = ( + ). Para achar a geral, você sabe né? Só somar com a homogênea ( ) ( ) ( ) + ( ) A solução será do tipo Asen(x) +Bcos(x), por exemplo: Co o i os ser so o r ic r? + = (3 + 1) + cos(3 + 1) = (3 + 1) + (3 + 1) Substituindo na EDO pra achar as constantes, temos: Somando tudo, temos: = 3 (3 + 1) 3 (3 + 1) = (3 + 1) (3 + 1) + = = (3 + 1) (3 + 1) 3 (3 + 1) 3 (3 + 1) + (3 + 1) + (3 + 1) = = (3 + 1) + cos(3 + 1) Daí, só isolarmos (3 + 1) (3 + 1) e fazer o sistema linear. (3 + 1)( + + ) + (3 + 1)( + ) = (3 + 1) + (3 + 1) + = 1 = 1

12 = 1 + (1 + ) = = = 1 3 = 1 = 3 1 Logo: = 1 ( (3 + 1) 1 cos(3 + 1)) Daí é tranquilo! A nossa solução será do tipo, por exemplo: + = Como vimos, a solução será do tipo =. Substituindo na EDO, temos: = = = + = A = 7 Beleza, mas vamos diretamente agora às exceções, que é o que geralmente o IM cobra em provas. =

13 3.2.4 A solução particular será a soma das soluções particulares de como se elas tivessem sozinhas. Como assim? Vamos ver no exemplo: + = ( ) + 1 Como seria a solução particular se fosse somente + = ( ) Seria algo do tipo = ( ) + ( ) Como seria a solução particular se fosse somente + = 1 Seria algo do tipo = + +. Logo, = + = ( ) + ( ) Aplicando na EDO, temos: Logo: = ( ) ( ) + = ( ) + ( ) = ( ) ( ) + + ( ( ) + ( ) + + ) + ( ) + ( ) Trabalhoso né? Continuando. Isolando os senos e cossenos, temos; cos(x)( A + B + A) + sen(x)( B A + B) + Cx² + x( C + ) + C + + = sen(x) + x² 1 Fazendo o sistema linear, temos: Logo, a solução homogênea será: = = = = = 1 + = = + + = 1 + = 1 = = ( ) + + Tome o máximo de cuidado para não errar as contas, é muito comum trocar sinais e errar toda a questão.

14 Existem casos que há o produto entre dois tipos diferentes de função, nesses casos apenas multiplicamos as soluções particulares. Ex: (UFRJ P1) Resposta:

15 MUITO CUIDADO AQUI!! Os autores adoram colocar isso em provas!! Acontece muitas vezes, de um termo da solução homogênea ser igual a um termo da solução particular. Daí, na hora de colocar a constante você DEVE ao invés de colocar apenas A.função, você coloca Ax.função, claro se não existir algo do tipo x.função do outro lado, pois se tiver, você coloca x².função. E por aí vai... O que aconselhamos a fazer antes de QUALQUER questão desse tipo: Sempre ache primeiro a solução da homogênea para depois achar as particulares, e sempre comparar se ela é do mesmo tipo. Isso reduz muito a chance de erro. Vamos ver no exemplo: Ex: Sabemos que: + = + + ( ) = + : Achando a equação característica da EDO de 2ª Ordem homogênea, temos: + = ( ) = Logo, a equação tem raiz de multiplicidade 2( = ), com =. Então, a solução da homogênea será do tipo: Já a particular seria algo do tipo: = ( + )( ) = + + = ( + ) = ( + + ) = cos( ) + ( ) Vemos que temos termos repetidos na homogênea e na particular. Ta, e o que fazer?

16 Devemos aumentar o grau das expressões da particular. Como assim? Temos que fazer = ( + + ) = + + Percebeu que ainda há termos em repetição?! Então temos que aplicar de novo!! = ( + + ) = + + Agora sim todos os graus diferentes, temos nossa solução particular correta. E então a solução geral será: = ( ) + ( ) Viu? Não mexemos no ( ) + ( ), a função que é diferente (não se repete) a gente deixa intacta! Daí é só achar as constantes e correr pro abraço. 3.3 APLICAÇÕES Mola c/ atrito do ar e força externa: Vamos primeiro lembrar que: -Espaço = x -Velocidade é a taxa de variação do espaço = x -Aceleração é a taxa de variação da velocidade = x Vamos utilizar da segunda Lei de Newton para igualar força da mola, força externa, e atrito do ar, à força resultante do sistema: x = -k.x ν x + F(t)

17 Lembrando que k é o valor da constante elástica da mola e ν é o valor do coeficiente de atrito do ar. Os sinais de k.x e de ν.x estão negativos pois quando a massa está no lado positivo do eixo X, elas apontam no sentido negativo, e vice-versa. Já a força externa deve ter característica periódica. Vamos a um exemplo: Sabendo que a massa da mola é 1kg, o coeficiente de atrito do ar é 4kg/s, a constante elástica é de 6N/m e a força externa funciona sob a função 15.sen(3t) N, calcule a função que determina a posição da massa mola em função do tempo. Dado: x(0) = 1 e x (0) = -2. R: Primeiro vamos montar a equação base para todo o resto: 1 X = - x - 6x + 15.sen(3t) x + x + x = 1 sen(3 ) Vamos focar na solução da homogênea: Δ = 4² = -8 r = = i Assim, utilizando a fórmula para a solução de EDO com Δ < 0: x(t) = (c₁ (t. )+ c₂ cos( )) Agora vamos à solução particular, F(t) = 15.sen(3t) x = A.sen(3t) + B.cos(3t) x = 3A cos(3 ) 3B.sen(3t) x = -9A.sen(3t) 9B.cos(3t) Jogando na equação base: [-9A.sen(3t) 9B.cos(3t)] + 4[3A.cos(3t) 3B.sen(3t)] + 6[A.sen(3t) + B.cos(3t)] = 15sen(3t) Isolando senos e cossenos: -9A -12B+6A = 15

18 - B + 1 A + B = A = -15/51 ; B = -60/51 Agora, vamos utilizar os valores de x e x dados no enunciado para descobrir os valores das constantes: x(t) = (c₁ (t. )+ c₂ cos( )) -.sen(3t) -.cos(3t) x(0) = 1 = 1.( c₁ + c₂ cos( )) -.sen(0) -.cos(0) c₂ - = 1 c₂ = x ( ) = -2. (c₁ (t. )+ c₂ cos( )) + (c₁. (t. ) - c₂ sen(t. )) -.cos(3t) +.sen(3t) x ( ) = -2. 1(c₁ (0. )+ c₂ cos( )) + 1 (c₁. (0. ) - c₂ sen(0. )) -.cos(3.0) +.sen(3.0) x ( ) = -2. c₂ + c₁ - = -2 c₁. = c₁ = Finalmente (ufa!) : x(t) = (. (t. )+ cos(t. )) -.sen(3t) -.cos(3t) Versão 4 Rio de Janeiro 23/03/2015 Elaborado por: João Batista Fernandes de Sousa Filho e Antônio Feliciano