EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

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1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Uma equação diferencial é aquela em que a função incógnita aparece sob a forma da sua derivada. Havendo uma só variável independente as derivadas são ordinárias e a equação é denominada equação diferencial ordinária. dy dx EXEMPLOS: = x + 5 d y dy ; y = 0; xy ' +y = 3; y '' ' + ( y '') + y ' = cos x dx dx Havendo duas ou mais variáveis independentes as derivadas são parciais e a equação é denominada equação diferencial parcial. EXEMPLOS: z x z z z = z + x ; + = x + y y x y ORDEM DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL: é a ordem da mais alta derivada que nela aparece. GRAU DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL: considerando as derivadas como uma polinómio, é o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece. SOLUÇÃO OU INTEGRAL GERAL: é toda a função que verifica, identicamente, a equação diferencial e vem expressa em termos de n constantes arbitrárias. Se a equação é de primeira ordem, aparece uma constante, se é de segunda ordem, duas constantes, etc.. Capítulo 3 1 de 8

2 Geometricamente, a solução geral ou o integral geral representa uma família de curvas (denominadas curvas integrais). EXEMPLO: a equação diferencial dy = sen x tem como solução geral a seguinte dx família de curvas a que chamamos campo de direcções da equação diferencial: SOLUÇÃO PARTICULAR OU INTEGRAL PARTICULAR: é toda a solução da equação diferencial que se obtém da solução geral, por particularização da(s) constante(s) e, geometricamente, representa uma das curvas da família de curvas integrais, correspondentes à solução ou integral geral. EXEMPLO: no caso anterior para a constante c= temos Capítulo 3 de 8

3 Para a particularização das constantes, com vista à obtenção duma solução ou integral particular, podem ser fornecidas condições que podem ser referidas a uma mesmo valor da variável independente, condições iniciais. Resolver ou integrar uma equação diferencial consiste em determinar a solução geral ou integral geral ou sendo dadas condições, determinar a solução ou integral particular que as satisfazem. Forma Geral das Equações Diferenciais e das suas Soluções Gerais Ordem Forma Geral da Equação Diferencial Forma Geral da Solução Geral 1ª f ( x,y, y ') = 0 f ( x,y,c)= 0 ª f ( x, y, y ', y '') = 0 f(x,y,c,c ) = n f ( x,y, y ',...,y n ) = 0 f(x,y,c,...,c ) = n Inversamente, sendo dada uma família de curvas, é sempre possível determinar a equação diferencial que lhe está associada, isto é, a equação diferencial que admite essa família de curvas como solução geral. Para isso, deverá Ter-se em conta o número de constantes arbitrárias que aparecem na família de curvas, o que nos indicará a ordem da equação diferencial que se pretende obter, procedendo-se do seguinte modo: derivar a função que representa a família de curvas dada, até à ordem que coincida com a ordem da equação diferencial procurada; eliminar as constantes arbitrárias entre a equação da família de curvas dada e as equações obtidas por derivação. Capítulo 3 3 de 8

4 EXEMPLO: Determinar a equação diferencial associada à família de curvas + y = cx y. A equação procurada é de primeira ordem, derivando em ordem a x, tem-se yy ' = c + y ' ou c = y '(y 1), eliminando a constante arbitrária vem + y = xy '(y 1) y. Teorema da existência e unicidade da solução ( n ) TEOREMA: Se na equação y = f x,y, y',y '',...,y, a função n 1 f x,y,y',y'',...,y e as suas derivadas parciais em ordem a n 1 y,y',y '',...,y forem funções contínuas num certo domínio n +1 D R e se ( a,a,a,...,a ) D, então existe uma solução única y ϕ( 0 1 n = da equação diferencial que satisfaz as ( a ) a 0 1 y ' ( a ) = a,..., y ( n 1) ( a ) = a. 0 0 n n 1 y =, Forma Diferencial ou Forma Canónica de uma equação diferencial Uma equação diferencial de primeira ordem, na forma normal, tem a estrutura y ' = f ( x, y ). Como f ( x,y ) pode sempre ser considerada um quociente da forma f ( M( x,y ) x,y ) =, a equação diferencial pode também escrever-se N( x,y ) ou seja dy dx = M( x,y ) N( x, y ) M ( x, y )dx+ N( x, y ) dy = 0 Capítulo 3 4 de 8

5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS Se numa equação diferencial da forma M ( x, y )dx+ N( x, y ) dy = 0, é possível decompor os coeficientes M ( x,y ) e N( x,y ) em factores tais que as variáveis x e y aparecem separadas, isto é, M ( x, y ) = a( x ). b( y ) e N ( x,y ) = c( x ). d( y ), a equação classifica-se de variáveis separáveis. Resolução de Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis Se a equação é de variáveis separáveis então podemos passar da forma canónicam ( x, y )dx+ N( x, y ) dy = 0 para a forma a ( x ). b( y )dx+ c( x ). d( y ) dy= 0. Separando as variáveis x e y, de forma a que os coeficientes de dx e dy sejam respectivamente funções de x e de y, resulta uma equação de variáveis separadas. Assim vem: a( x ) d( y ) dx+ dy = 0 c( x ) b( y ) Integrando temos: a( x ) c( x ) d( y ) + c b( y ) dx dy = A equação obtida é a solução geral de uma equação de variáveis separáveis. Capítulo 3 5 de 8

6 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS HOMOGÉNEAS DEFINIÇÃO: Uma função diz-se homogénea, de grau n, nas variáveis x e y, se para todo o real λ se tiver f ( λ x, λy ) = λ f ( x, y ). n Consideremos uma equação diferencial na forma canónica M ( x, y )dx+ N( x, y ) dy = 0 e sejam M ( x,y ) e N ( x,y ) funções homogéneas e do mesmo grau, a equação classifica-se de equação homogénea. Resolução de Equações Diferenciais Homogéneas Para resolver uma equação diferencial homogénea fazemos a substituição y=xt. Substituindo a variável y teremos de substituir dy. Como y=xt vem dy=tdx+xdt, diferencial de uma função de duas variáveis. A equação transformada que se obtém da equação homogénea é uma equação de variáveis separáveis. No final eliminamos t, fazendo y t =. x Capítulo 3 6 de 8

7 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES Uma equação de primeira ordem diz-se linear se é do primeiro grau na função incógnita e na sua primeira derivada, podendo representar-se simbolicamente por y' + P( x )y = Q( x ) com P( e Q(, funções contínuas. Se Q(=0, y' + P( x ) y = 0 diz-se uma equação linear homogénea, que é uma equação de variáveis separáveis. Se Q( 0, a equação linear é não homogénea, completa ou com segundo membro. Resolução de Equações Diferenciais Lineares Para resolver equações diferenciais lineares utilizamos expressão y = e P( x )dx e P( x )dx Q( x )dx+ c 1 com c 1 constante arbitrária. Capítulo 3 7 de 8

8 EQUAÇÕES DE BERNOUILLI Uma equação de primeira ordem diz-se de Bernouilli se pode ser reduzida à forma canónica y ' + P( y = Q( y n com P( e Q(, funções contínuas e n constante. Resolução de Equações de Bernouilli Para resolver uma Equação de Bernouilli primeiro que tudo multiplicamos ambos os membros da equação por n y e obtemos y n y' + P( y1 n = Q( Seguidamente fazemos a mudança de variável n n z = y 1 com z' = (1 n) y y' e obtemos z' + P( z = Q( 1 n z' + (1 n) P( z = (1 n) Q( que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Integra-se e seguidamente regressa-se à variável y fazendo z = y 1 n Capítulo 3 8 de 8