Conceitos Básicos de Matemática. Aula 1. ISCTE - IUL, Mestrados de Continuidade. Diana Aldea Mendes. 12 de Setembro de 2011

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1 Conceitos Básicos de Matemática Aula 1 ISCTE - IUL, Mestrados de Continuidade Diana Aldea Mendes diana.mendes@iscte.pt 12 de Setembro de 2011 DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

2 Conceitos Básicos de Matemática DMQ, ISCTE-IUL Matemática 12 de Setembro de / 69

3 Tópicos Funções reais com 1 e 2 variáveis reais Função exponencial, logaritmica e potência Derivação e diferenciação Extremos livres e condicionados Matrizes e Determinantes Operações com matrizes Cálculo de um determinante Inversão de matrizes Valores e vectores próprios DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

4 Funções reais de uma e duas variáveis reais Uma função real de uma variável real denota-se por f : D R R e é dada por uma expresão y = f (x) onde x variável independente y variável dependente Uma função real de duas variáveis reais denota-se por f : D R 2 R e é dada por uma expresão z = f (x, y) onde x, y variáveis independentes z variável dependente Example Função de produção de Cobb-Douglas f : R 2 + R +, f (k, l) = k α l β,onde k (capital), l (labour) são variáveis independentes e z = f (k, l) é a variável dependente. DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

5 Funções reais de uma e duas variáveis reais alpha=0.4, beta=0.5 alpha=1.2, beta= k l k l 0 alpha=1.2, beta=0.5 alpha=0.2, beta= l 0 40 k l k DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

6 Funções reais de uma e duas variáveis reais Função convexa: uma função f : [a, b] R R é convexa se a região sobre (acima) o seu gráfico for um conjunto convexo. Isto é: para quaisquer x e y pertencentes a [a, b] e para todo t [0, 1], tem-se f (tx + (1 t)y) tf (x) + (1 t)f (y) Função concava: uma função f : [a, b] R R é concava se a região sob (abaixo) o seu gráfico for um conjunto convexo. DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

7 5 Função convexa 4 3 y x 4 Função côncava 2 0 y x DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

8 Funções reais de uma e duas variáveis reais Função exponencial f : R R + Propriedades f (x) = e x e f (x) = a x, a > 0 e A e B = e A+B e A, e B = ea B, a x = e x ln a a x b x = (ab) x, e 0 = 1, e = 0, e + = + DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

9 Funções reais de uma e duas variáveis reais 2.5 y=exp(x) 8 y=exp( x) 2 6 y y x x 50 y=exp(2x) 5 x 104 y=2exp(5x) 40 4 y y x x DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

10 Funções reais de uma e duas variáveis reais Função logarítmica: f : R + R Propriedades f (x) = log a x, a > 0, a = 1 a = e log natural ln ln A + ln B = ln (AB), ln A ln B = ln A ln B = ln B A, ln 1 = 0, ln e = 1 ln 0 + =, ln(+ ) = + ( ) A B DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

11 Funções reais de uma e duas variáveis reais 2 y=log(x) 5 y= log(x) y y x x 3 y=log(ex) 5 y=2log(2x+1) y y x x DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

12 Funções reais de uma e duas variáveis reais Função potência: f : R R f (x) = ax k, a, k R DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

13 Funções reais de uma e duas variáveis reais 10 y=x 2 30 y=x y x y x 300 y=x 5 10 y=x y 0 y x x DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

14 Derivação de funções reais de uma variável real A derivada representa a taxa de variação de uma função Uma função f é derivável (ou diferenciável) se, próximo de cada ponto do seu domínio, a função f (x) f (a) se comportar aproximadamente como uma função linear, ou seja, se o seu gráfico for aproximadamente uma reta. O declive de uma tal reta é a derivada da função f no ponto a e representa-se por f (a) ou df dx (a) DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

15 8 y tangente inclinação = f'(x) f(x) x 3 2 y 1 0 a função não derivável em a x DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

16 Derivação de funções reais de uma variável real Em tudo que segue k representa um número real e u, v representam funções reais de uma variável real. Regras de derivação (ku) = ku (u + v) = u + v ( x k ) ( = kx k 1 u k ) = ku k 1 u ( (uv) u ) = u v + uv u v uv = v v 2 (e x ) = e x (e u ) = u e u (a x ) = a x ln a, a > 0 (a u ) = u a u ln a, a > 0 (ln x) = 1 (ln u) = u x u Derivando a derivada de primeira ordem obtém-se a derivada de segunda ordem e assim sucessivamente derivadas de ordem superior DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

17 Exemplos - derivação 1 f (x) = 4x 3 = f (x) = 12x 2 = f (x) = 24x 2 f (x) = (x 1) 2 = f (x) = 2 (x 1) = f (x) = 2 3 f (x) = 2 x 2 = f (x) = 2 ( x 2) = f (x) = 4 x 3 4 f (x) = x 3 e x = f (x) = x 2 e x (3 + x) 5 f (x) = (ln x) 4 = f (x) = 4 ln3 x x DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

18 Derivadas parciais e diferenciais de funções reais de duas variáveis reais A derivada parcial (de primeira ordem) de f (x, y) em ordem a variável x designa-se por f (x, y) x e signifique derivar a função f em ordem a x considerando y como sendo constante A derivada parcial (de primeira ordem) de f (x, y) em ordem a variável y designa-se por f (x, y) y e signifique derivar a função f em ordem a y considerando x como sendo constante DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

19 Se a função f (x, y) for diferenciável no ponto (a, b) é porque admite derivadas parciais finitas e contínuas numa vizinhança desse ponto. Neste caso o Diferencial de 1 a ordem da função f no ponto (a, b) define-se por ( ) ( ) f f df (a, b) = (a, b) dx + (a, b) dy x y onde dx e dy designam-se por acréscimos (são numeros reais pequenos). Quando a função for diferenciável, para o cálculo de valores aproximados, podemos utilizar a seguinte expressão de diferenciabilidade: ( ) ( ) f f f (a + h, b + k) f (a, b) + dx + dy x (a,b) y (a,b) DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

20 Derivadas parciais e diferenciais de funções reais de duas variáveis reais Derivando as duas derivadas parciais de primeira ordem mais uma vez em relação a cada uma das duas variáveis x, y obtemos as 4 derivadas parciais de segunda ordem de f (x, y), isto é ( f x ( f y ) x ) x = x = x ( ) f x ( ) f y = 2 f x 2 ; = 2 f y x ; ( f x ) ( f y y ) = ( f y x y = y ) = 2 f x y ) = 2 f y 2 ( f y O diferencial de segunda ordem da função f no ponto (a, b) define-se por ( d 2 f (a, b) = 2 ) ( f x 2 (a, b) dx ) f 2 (a, b) dxdy y x ( + 2 ) f y 2 (a, b) dy 2 DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

21 Derivadas parciais e diferenciais de funções reais de duas variáveis reais Example Para f (x, y) = x 3 + 2y 2 temos as seguintes derivadas parciais de primeira e segunda ordem: f (x, y) = 3x2 x f (x, y) = 4y y 2 ( f f (x, y) = x2 x 2 ( f f (x, y) = y x x 2 ( f f (x, y) = y2 y ) x ) y ) = (3x 2) = 6x x = (3x 2) = 0 y = (4y) y = 4 DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemáticay 12 de Setembro de / 69

22 Os diferenciais de primeira e segunda ordem no ponto (a, b) = (1, 2) são dados por ( ) ( ) f f df (a, b) = (1, 2) dx + (1, 2) dy x y ( = 3x 2) (1, 2) dx + (4y) (1, 2) dy = 3dx + 8dy ( d 2 f (a, b) = 2 ) ( f x 2 (a, b) dx ) f 2 (a, b) dxdy y x ( + 2 ) f y 2 (a, b) dy 2 = (6x) (1, 2) dx (0) (1, 2) dxdy + 4 (1, 2) dy 2 = 6dx 2 + 4dy 2 DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

23 Example ( ) Para f (x, y) = 3 xy + 2 ln x y + x 2 y 2, temos as seguintes derivadas parciais de primeira ordem: f x (x, y) = 2xy2 + 2 x + 3xy y ln 3 f y (x, y) = 2x2 y 2 y + 3xy x ln 3 DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

24 Extremos Livres (Relativos) Definição: Sejam f : A R R e a IntA. a é um ponto de mínimo local (global) para a função f se e só se numa vizinhança V do ponto dado se tem f (x) f (a), x V ( x A) O número real f (a) representa o valor mínimo que a função f assume na vizinhança V. a é um ponto de máximo local (global) para a função f se e só se numa vizinhança V do ponto dado se tem f (x) f (a), x V ( x A) O número real f (a) representa o valor máximo que a função f assume na vizinhança V Os mínimos e os máximos designam-se por extremos. DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

25 Extremos Livres (Relativos) Definição: Seja f (x) uma função diferenciável definida em A R e com valores em R É condição necessária (condição de primeira ordem) para a existência de um extremo no ponto a A, que f (a) = 0. Sendo assim, resolvendo a equação f (a) = 0 obtém-se os possíveis candidados ao extremo, ou seja os pontos estacionários (de estacionariedade) do problema. Definição: A condição suficiente (condições de segunda ordem) consta na caracterização do ponto de estacionariedade a como máximo ou mínimo e depende do signal da derivada de segunda ordem, isto é se f (a) > 0 então a é um mínimo se f (a) < 0 então a é um máximo DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

26 Extremos Livres (Relativos) Example Determine, caso existem, os extremos livres da seguinte função: f (x) = x 2. Condição necessária: f (x) = 2x = 0 x = 0 é o único ponto estacionário da função dada. Condição suficiente: f (x) = 2 > 0 logo o ponto x = 0 é um mínimo. DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

27 Extremos Livres (Relativos) Sejam f : A R 2 R e (a, b) IntA. (a, b) é um ponto de mínimo local (global) para a função f se e só se numa vizinhança V do ponto dado se tem f (x, y) f (a, b), (x, y) V, ( (x, y) A) O número real f (a, b) representa o valor mínimo que a função f assume na vizinhança V. O número real f (a, b) representa o valor mínimo da função f. (a, b) é um ponto de máximo local (global) para a função f se e só se numa vizinhança V do ponto dado se tem f (x, y) f (a, b), (x, y) V, ( (x, y) A) O número real f (a, b) representa o valor máximo que a função f assume na vizinhança V O número real f (a, b) representa o valor máximo que a função f assume na vizinhança V DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

28 Extremos Livres (Relativos) É condição necessária (condição de primeira ordem) para a existência de um extremo no ponto (a, b) A, que f f (a, b) = 0 e (a, b) = 0. x y Isto é, resolvendo o sistema de 2 equações e 2 incógnitas definido por ( ) f (x, y) = 0 x ( ) f (x, y) = 0 y obtém-se os possíveis candidados ao extremo, ou seja os pontos estacionários (de estacionariedade) do problema. DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

29 Extremos Livres (Relativos) As condições suficientes (condições de segunda ordem) constam na caracterização do ponto de estacionariedade (a, b) como máximo ou mínimo relativo, ou ainda como ponto de sela, e dependem dos valores da matriz Hessiana H da função no ponto (caso exista). Relembramos que no caso de funções reais de duas varáveis reais a matriz Hessiana é definido por H (x, y) = 2 f x 2 2 f x y 2 f x y 2 f y 2 (x,y) DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

30 Extremos Livres (Relativos) O ponto de estacionariedade (a, b) é um mínimo se e só se D 1 = = 2 f x 2 > 0 e D 2 = H (a, b) (a,b) ( 2 ) ( f 2 ) ( f x 2 (a,b) y 2 2 ) ( f 2 ) f > 0 x y (a,b) x y (a,b) (a,b) O ponto de estacionariedade (a, b) é um máximo se e só se D 1 = = 2 f x 2 < 0 e D 2 = H (a, b) (a,b) ( 2 ) ( f 2 ) ( f x 2 (a,b) y 2 2 ) ( f 2 ) f > 0 x y (a,b) x y (a,b) (a,b) DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

31 Extremos Livres (Relativos) DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

32 Extremos Livres (Relativos) Example Determine, casa existem, os extremos livres da seguinte função f (x, y) = x 3 + 4xy y 2. Condição necessária: cálculo dos pontos estacionários (os possíveis pontos de extremo) { f x (x, y) = 0 { 3x 2 + 4y = 0 { 3x 2 + 4y = 0 f y (x, y) = 0 4x 2y = 0 y = 2x { 3x 2 { + 4 (2x) = 0 3x 2 { + 8x = 0 x = 0 ou x = 8/3 y = 2x y = 2x y = 0 ou y = 16/3 Portanto existam dois pontos de estacionariedade (x, y) = (0, 0) e (x, y) = (8/3, 16/3). DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

33 Extremos Livres (Relativos) Condição suficiente:averiguar quais dos pontos de estacionariedade são pontos de extremo. Por isso é precisso determinar a matriz Hessiana da função f (x, y), isto é H (x, y) = [ f (x, y) f x 2 xy (x, y) f xy (x, y) f (x, y) y 2 (0,0) ] = [ 6x Para o ponto estacionário (x, y) = (0, 0) obtem-se [ ] [ ] [ 6x H (0, 0) = = = ] ] DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

34 Extremos Livres (Relativos) de onde D 1 = 2 = 2 < 0 D 2 = = 16 < 0 e portanto o ponto (0, 0) não é um extremi (é um ponto de sela). DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

35 Extremos Livres (Relativos) Para o ponto estacionário (x, y) = (8/3, 16/3) obtem-se H (8/3, 16/3) = [ 6x ] (8/3,16/3) = [ 48/ ] de onde D 1 = 48/3 = 48/3 < 0 D 2 = 48/ = 48/3 > 0 e portanto o ponto (8/3, 16/3) é um ponto de máximo. DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

36 Extremos Condicionados Definição: Um problema de extremos condicionados consiste de uma função real f : A R 2 R (função objectivo) cujas 2 variáveis estão ligadas por 1 condição ou seja a função f (x, y) é sujeita à 1 restrição g(x, y) = 0 Calcular os extremos condicionados do problema é equivalente ao calcular os extremos livres da seguinte função L (x, y; λ) = f (x, y) + λg(x, y) designada por função Lagrangeana. A variável auxiliare λ designa-se por multiplicador de Lagrange. DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

37 Extremos Condicionados Apos da construcção da função Lagrangeana precede-se ao calculo dos pontos estacionários (condição necessária). O sistema de estacionariedade é um sistema de 3 equações e 3 incógnitas definido por ( ) L (x, y; λ) = 0 x ( ) L (x, y; λ) = 0 ( y ) L (x, y; λ) = 0 λ DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

38 Extremos Condicionados Como no caso dos extremos livre,a caracterização dos possíveis extremos, dependem de condições de segunda ordem, nomeadamente do sinal do Hessiano orlado (de tipo ((3) (3)), isto é 0 ( H 2 a, b; λ ) = g x g y g x 2 L x 2 2 L x y sendo ( a, b, λ ) um ponto de estacionariedade. g y 2 L x y 2 L y 2 (a,b,λ ) Se H 2 ( a, b; λ ) > 0, então o ponto (a, b) é um máximo condicionado Se H 2 ( a, b; λ ) < 0, então o ponto (a, b) é um mínimo condicionado DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

39 Extremos Condicionados Example Determine, caso existem, os extremos condicionados da função f (x, y) = x 2 + y 2 sujeita à restrição g (x, y) = x + y 2 = 0 Passo 1: construção da função Lagrangeana L (x, y, λ) = f (x, y) + λg (x, y) = x 2 + y 2 + λ (x + y 2) Passo 2: condições de primeira ordem (determinar os pontos estacionários) ( ) L (x, y; λ) = 0 x ( ) L 2x + λ = 0 (x, y; λ) = 0 2y + λ = 0 ( y ) L x + y 2 = 0 (x, y; λ) = 0 λ DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

40 Extremos Condicionados x = λ/2 y = λ/2 x = 2 y x = λ/2 y = λ/2 λ = 2 x = λ/2 y = λ/2 λ/2 = 2 + λ/2 x = 1 y = 1 λ = 2 Portanto (1, 1, 2) é o único ponto estacionário da Lagrangeana. DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

41 Extremos Condicionados Passo 3: condições de segunda ordem (verificar se o ponto estacionário é um extremo) g g 0 x y H 2 (1, 1, 2) = g 2 L 2 L x x 2 x y = g y logo (1, 1) é um mínimo condicionado. 2 L 2 L x y y 2 (1,1, 2) = 4 < 0 (1,1, 2) DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

42 Matrizes e Determinantes Uma matriz é um quadro de números ordenados por linhas (filas horizontais) e colunas (filas verticais) que se apresenta cercado por parênteses ou parênteses rectos, sendo normalmente representada por uma letra maiúscula. Por exemplo, qualquer dos quadros seguintes representa uma matriz: A = ( ) B = [ ] DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

43 Matrizes e Determinantes Definição Designa-se por matriz de números reais de elemento genérico a ij, em que o primeiro índice (i = 1, 2,..., m) indica a linha e o segundo índice (j = 1, 2,..., n) indica a coluna, a um quadro do tipo: a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn Definição Diz-se que uma matriz é do tipo m n se tem m linhas e n colunas. DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

44 Matrizes e Determinantes Casos particulares de matrizes: A uma matriz do tipo n n dá-se o nome de matriz quadrada de ordem n. A uma matriz do tipo m n, em que m = n dá-se o nome de matriz rectangular. Dada uma matriz quadrada, dá-se o nome de diagonal principal à diagonal formada pelos elementos a ij, em que i = j. Aos elementos da diagonal principal dá-se o nome de elementos principais. A uma matriz quadrada cujos elementos não principais são nulos dá-se o nome de matriz diagonal. Se todos os elementos principais de uma matriz quadrada diagonal são unitários, então trata-se da matriz identidade: I n (onde n é a ordema da matriz) A uma matriz quadrada cujos elementos abaixo (acima) da diagonal principal são nulos dá-se o nome de matriz triangular superior (inferior). DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

45 Matrizes e Determinantes Álgebra das matrizes A adição de duas matrizes consiste na adição dos elementos homólogos de cada uma das matrizes. C = A + B c ij = a ij + b ij A adição de matrizes só é possível se elas forem da mesma ordem, obtendo-se como resultado uma matriz da mesma ordem. Example Considerando as matrizes A, B, C e D [ ] [ A =, B = [ ] [ ] C = D = ] DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

46 Matrizes e Determinantes Álgebra das matrizes Vejamos, em dois casos em que a adição é possível, como se materializa esta operação: [ ] [ ] [ ] A + C = + = [ ] 3 3 = 4 6 DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

47 Matrizes e Determinantes Álgebra das matrizes B + D = = [ [ ] [ ] = ] [ ] DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

48 Matrizes e Determinantes Álgebra das matrizes A multiplicação de uma matriz por um escalar é feita mediante a multiplicação de cada um dos elementos da matriz por esse escalar. B = λa b ij = λa ij λ R Example Sendo dados o número real e a matriz abaixo indicadas [ ] 3 2 λ = 3 ; A = 2 1 temos que λa = 3 [ ] = [ ( 2) ] = [ ] DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

49 Matrizes e Determinantes Álgebra das matrizes O produto de duas matrizes consiste na multiplicação das linhas do primeiro factor pelas colunas do segundo. A multiplicação de duas matrizes só é possível quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz. Definição A multiplicação de uma matriz A do tipo m n por uma matriz B do tipo p q é possível sempre que n = p, e o seu resultado é uma matriz C, do tipo m p, cujo elemento genérico é : c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j a in b nj = n k=1 a ik b kj onde { i = 1, 2,, m j = 1, 2,, p DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

50 Matrizes e Determinantes Álgebra das matrizes Example Determine o produto das matrizes A e B, onde A (2 3) = [ ], B (3 2) = Resolução: Como a matriz A é de tipo (2 3) e a matriz B é de tipo (3 2), a operação A B é possível (número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz) e o resultado vai ser uma matriz de tipo (2 2). A operação B A não é possível, de onde concluímos que A B = B A. DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

51 Matrizes e Determinantes Álgebra das matrizes A B = = = [ ] [ ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) [ ] [ ] = ] DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

52 Matrizes e Determinantes Álgebra das matrizes Transposição de matrizes. Matrizes simétricas. Chama-se matriz transposta de uma matriz A e representa-se por A T, a uma matriz cujas colunas são as linhas de A (pela mesma ordem) sendo, consequentemente, as suas linhas as colunas de A. Example Transposta de uma matriz A = [ ] A T = Matriz simétrica é uma matriz que coincide com a sua transposta: A = A T. Se A = A T diz-se que A é anti-simétrica. DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

53 Matrizes e Determinantes Álgebra das matrizes São permitidas as seguintes operações entre as filas paralelas de uma matriz (designadas por operações elementares): 1 Troca entre si de duas filas paralelas da matriz; 2 Multiplicação de uma fila por um número real diferente de zero; 3 Substituição de uma fila pela que se obtém somando outra, multiplicada por um número real qualquer (Operação de Jacobi). A característica de uma matriz A, r (A), corresponde ao número máximo de filas paralelas não-nulas e obtém-se condensando a matriz, isto é, transformando a matriz inicial,aplicando as operações elementares, numa matriz triangular superior de elementos principais significativos de maior ordem possível (condensação vertical). DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

54 Matrizes e Determinantes Determinantes A toda a matriz quadrada A de ordem n, se faz associar um número real, designado por determinante. Utilizamos a notação det (A) ou A A = [a ij ] i,j=1,...,n det (A) = A O determinante de uma matriz que contém apenas um elemento (de ordem 1) é o próprio elemento A = [12] A = 12 = 12 DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

55 Matrizes e Determinantes Determinantes O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 calcula-se pela seguinte regra: [ ] a11 a A = 12 A = a 21 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 Mais precisamente, é a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária A = = ( 1) = 17 DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

56 Matrizes e Determinantes Determinantes Cálculo de um Determinante de matrizes quadradas de ordem 3: Regra de Sarrus Considere uma matriz quadrada de ordem 3 a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Em primeiro lugar, vamos repetir as duas primeiras linhas de A por baixo da matriz, em seguida, multiplicamos os elementos da diagonal principal da matriz e os elementos das duas diagonais paralelas a principal, somando os resultados. A seguir, multiplicamos os elementos da diagonal secundária da matriz e os elementos das duas diagonais paralelas a secundária, subtraindo os resultados, isto é DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

57 Matrizes e Determinantes Determinantes A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 A = (a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 ) (a 13 a 22 a 31 + a 23 a 32 a 11 + a 33 a 12 a 21 ) DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

58 Matrizes e Determinantes Determinantes Em esquema * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * = ( \ + \ + \ ) ( / + / + / ) DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

59 Matrizes e Determinantes Determinantes Example Calcule o seguinte determinante: A = A = ( ) ( ) = ( ) ( ) = = 1 DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

60 Matrizes e Determinantes Determinantes Menor complementar Considere uma matriz A = [ a ij, quadrada de ordem n: O menor ]i,j=1,...,n complementar D ij, relativo ao elemento a ij, e o determinante da submatriz quadrada, de ordem (n 1), que se obtém de A retirando-se a linha i e a coluna j. Exemplo: A = D 33 = , D 12 = = 1 1 (0) (2) = = 2 0 ( 1) ( 1) = 1 DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

61 Matrizes e Determinantes Determinantes Complemento algébrico Dada a matriz quadrada de ordem n, A = [ a ij ]i,j=1,...,n, o complemento algébrico de a ij é o número A ij que se obtém multiplicando-se ( 1) i+j pelo menor complementar de a ij, isto é A ij = ( 1) i+j D ij Exemplo A = , D 12 = A 12 = ( 1) 1+2 D 12 = ( 1) 3 ( 1) = 1 A 33 = ( 1) 3+3 D 33 = ( 1) 6 (1) = 1 = 2 0 ( 1) ( 1) = 1 DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

62 Matrizes e Determinantes Determinantes: matriz inversa Cálculo da inversa de uma matriz A: Uma matriz inversa de A (neste caso denominada por B) tem de verificar a seguinte igualdade: AB = BA = I. Quando B existe designa-se por A 1 e a igualdade anterior assume o seguinte aspecto: AA 1 = A 1 A = I Em suma, para se poder obter a inversa, a matriz A tem de ser quadrada e regular (isto é a característica é igual à ordem, ou seja A = 0). A sua fórmula de cálculo pela teoria dos determinantes é a seguinte A 1 = ÂT A sendo  T a matriz dos complementos algébricos transposta. DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

63 Matrizes e Determinantes Determinantes: matriz inversa Example Calcule, caso possível, a inversa da seguinte matriz [ ] 2 3 A = 5 1 Como a matriz A é quadrada e regular (pois A = 17 = 0), é possível determinar a sua inversa A 1 aplicando a fórmula A 1 = ÂT A Primeira vez obtemos a matriz dos complementos algébricos, isto é [ ] [ ] 1 5 Â = Â T 1 3 = DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

64 Matrizes e Determinantes Determinantes: matriz inversa Logo A 1 = ÂT A = 1 [ [ ] 1/17 3/17 = 5/17 2/17 ] DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

65 Matrizes e Determinantes Determinantes Propriedades dos determinantes 1 Se uma matriz quadrada A tem uma fila nula, então A = 0 2 A = A T, A 1 = A 1 3 Um determinante muda de sinal quando se trocam entre si duas filas paralelas. A = C 1 C DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

66 Matrizes e Determinantes Valores próprios Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Então um valor próprio de A é um escalar λ tal que det (A λi n ) = 0, isto é, os valores próprios de A são as raízes da equação det (A λi n ) = 0. A matriz A tem no mínimo um valor próprio e no máximo n valores próprios distintos. A equação det (A λi n ) = 0 designa-se por equação característica da matriz A e é uma equação polinomial de grau n na variável λ. O polinómio de grau n na variável λ, det (A λi n ) = λ n + c n 1 λ n 1 + c n 2 λ n c 1 λ + c 0, tem o nome de polinómio característico da matriz A. DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

67 Matrizes e Determinantes Valores próprios No caso particular em que n = 2, isto é, [ a11 a A = 12 a 21 a 22 ], o determinante característico assume a expressão [ ] a11 λ a det (A λi 2 ) = 12 a 22 λ a 21 = λ 2 + ( a 11 a 22 )λ + (a 11 a 22 a 12 a 21 ) = 0 Os valores próprios da matriz A correspondem às raízes do seu polinómio característico. Atendendo a que o polinómio característico de A é de grau 2, a matriz A tem no máximo 2 valores próprios. DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

68 Matrizes e Determinantes Valores próprios Example Determinação de valores próprios. Seja A uma matriz de ordem 2 definida por [ ] 5 2 A =. 2 2 Para determinar os valores próprios de A há que determinar o polinómio característico de A, isto é ([ ] [ ]) 5 2 λ 0 det (A λi 2 ) = det λ [ ] 5 λ 2 = det 2 2 λ = (λ + 5)(λ + 2) 4 = λ 2 + 7λ + 6 DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69

69 Matrizes e Determinantes Valores próprios Resolver a equação característica de A det (A λi 2 ) = 0 λ 2 + 7λ + 6 = 0 (λ + 1)(λ + 6) = 0 que tem como soluções λ 1 = 1 ou λ 2 = 6 (ou seja os valores próprios da matriz A). DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro de / 69