Álgebra matricial exercícios 1-13; sebenta, páginas π

Transcrição

1 Matemática II 017/18 - Gestão - ESTG/IPBragança Constrói o teu próprio caderno de apontamentos. Resolve todos os exercícios. Cria a tua folha de soluções. Dene os conceitos indicados na última página desta cha. Consulta a sebenta da disciplina na net (contém vídeos). Álgebra matricial exercícios 1-13; sebenta, páginas Exercício 1. Considerar a matriz A A = / π Escrever, se possível, Os elementos da linha 3; (b) Os elementos da coluna ; (c) O tipo da matriz A (d) Os elementos a 11, a 43, a 35, a ; (e) O número de elementos da matriz A. Exercício. Escrever matrizes dos tipos seguintes: A 3, A 3, A 1 1, A 1 5, A 5 1. Exercício 3. Escrever as matrizes seguintes. 1. A matriz nula O 5.. A matriz identidade I Uma matriz quadrada qualquer (indicar os elementos das diagonais principal e secundária). 4. Uma matriz triangular superior e uma matriz triangular inferior. 5. Uma matriz linha e uma matriz coluna. 6. Uma matriz simétrica. Exercício 4. Efectuar as operações matriciais indicadas A = B = / A (b) A (c) 3A (d) A 1 (e) A A (f) A B (g) 4(B C) (h) (3A + C) Exercício 5. Usar as matrizes do exercício anterior, para vericar as seguintes propriedades operatórias das matrizes. Propriedade associativa da adição: A + (B + C) = (A + B) + C Propriedade comutativa da adição: A + B = B + A. Mário Abrantes mar/ 1

2 Exercício 6. Considerar a matriz genérica A m n = a ij, 1 i m, 1 j n. Escrever as matrizes seguintes, apresentando os elementos na forma a ij : A 5 1, A 1 5, A 3, A 4, A 3 3. Exercício 7. Considerar as matrizes A e B do exercício 4, juntamente com as matrizes D = E = F = G = Efectuar, se possível, cada um dos produtos seguintes. GC e CG (b) AB e BA (c) CE e EC (d) EF e F E (e) GF e F G Exercício 8. Considerar o produto de matrizes seguinte. AB = C a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 b 11 b 1 b 1 b b 31 b 3 = c 11 c 1 c 1 c c 31 c 3 Efectuar o menor número de operações possível, para obter os elementos c 1 e c 31 da matriz produto C, em termos de elementos das matrizes A e B.. Exercício 9. Usar as matrizes A, B e C referidas no exercício 7, para vericar as seguintes propriedades operatórias das matrizes. Propriedade associativa do produto: A(BC) = (AB)C Propriedade da identidade multiplicativa: AI = A; IB = B Propriedade da distributividade à esquerda: A(B + C) = AB + AC Propriedade da distributividade à direita: (A + B) AC + BC Exercício 10. Utilizar as matrizes A, B e C para mostrar que a igualdade AB = AC não implica sempre B = C, i.e., na álgebra de matrizes não é válida a lei do corte para o produto. A = 1 1 B = Exercício 11. Seja δ rs o símbolo de Kronecker. Resolver a expressão 1 δ 1 1 δ δ 34. Mário Abrantes mar/

3 Matemática II 017/18 - Gestão - ESTG/IPBragança Exercício 1. Utilizar o operador sigma, `Σ', para escrever os elementos c e c 31 da matriz C do exercício 8. Exercício 13. Seja a matriz A = a 11 a 1 a 13 a 14 a 1 a a 3 a 4 a 31 a 3 a 33 a 34. Seja L i a matriz linha correspondente à linha i de A e C j a matriz coluna correspondente à coluna j de A. Obter os seguintes resultados por meio de multiplicações de matrizes, envolvendo a matriz A e outras. 1. L 1 (b) L (c) C 1 (d) C (e) L 1 + L 3 (f) C 1 + C 4 (g) L 1 L 3 (h) 3C 1 + C 3. As submatrizes E = a 11 a 1 a 13 a 14 a 1 a a 3 a 4 a 11 a 1 a 1 a F = D = a 1 a 14 a 3 a 34 a 11 a 1 a 1 a a 31 a 3 3. As duas submatrizes do tipo 1 1 com os elementos a 11 e a 3.. Matriz transposta exercício 14; sebenta, páginas Exercício 14. Escrever as transpostas das matrizes do exercício 7. Usar estas matrizes para vericar as seguintes propriedades da operação de transposição de matrizes. (A T ) T = A (b) (A + B) T = A T + B T (c) (AB) T = B T A T Processos de Markov exercício 15. Exercício 15. Uma população constante de 1 milhão de pessoas divide-se entre uma cidade e os seus subúrbios, sendo num dado momento C 0 = , o número de pessoas a viver na cidade, e S 0 = , o número de pessoas a viver nos subúrbios. O nosso objectivo é analisar a modicação das populações urbanas e suburbanas a cada ano que passa. Suponha-se que a cada ano 15% da população da cidade se muda para os subúrbios e que 10% da população dos subúrbios se muda para a cidade. A distribuição da população entre C cidade e subúrbios depois de n anos é descrita pelo vector população P n = n. S n a) Como se distribui a população no ano seguinte, entre cidade e subúrbios? b) Preencher a matriz quadrada na expressão seguinte (matriz de transição), de modo que a expressão matricial exprima a relação entre distribuições de população de dois anos consecutivos. C n+1 S n+1 = t 11 t 1 t 1 t C n S n Mário Abrantes mar/ 3

4 Equações lineares exercícios 16-17; sebenta, páginas Exercício 16. De entre as seguintes equações, quais são lineares? x + y = 4 (b) xy z = (c) x + = 3y (d) x x + y x + z x = 0 Exercício 17. Determinar as soluções gerais das equações lineares. Escrever duas soluções particulares para cada uma. Escrever n-uplos de números, do tipo adequado a cada equação, que não representem soluções particulares das mesmas. x + y = 4 (b) x + y + z = (c) 3x y + 3 = 4z (d) 4y 1/z = 8x Sistemas de equações lineares exercícios 18-4; sebenta, páginas Exercício 18. Vericar que (x, y) = (, 1) é uma solução particular do sistema de equações lineares na alínea, e (x, y, z, w) = (, 5, 0, 1) é uma solução particular do sistema de equações lineares na alínea (b). 4x + 5y = 3 x y + z = 8 (b) x y z 3w = 3x y = 8 9x 3y z 7w = 10 Exercício 19. Escrever os sistemas de equações lineares que correspondam a uma formalização matemática dos seguintes problemas. 1. Uma garrafa de vinho custa 10 euros. O líquido custa mais 9 euros do que a embalagem. Quais os preços do líquido e da embalagem? Mostrar que a solução deste problema é única.. Antes de entrar no seu turno como caixa num supermercado, Maria recebe do seu gerente uma embalagem selada com moedas, com a seguinte inscrição de conteúdo: 50 moedas no valor de 40e. Ao abrir a embalagem ela percebe que existem moedas de 0ct e de 10ct. Quantas moedas de cada tipo contém a embalagem? 3. Para a produção de um litro de creme, são usados sumo de fruta, leite e mel. Sabe-se que a quantidade de leite é o dobro da quantidade de sumo de fruta e a quantidade de mel é a nona parte da quantidade dos outros dois líquidos juntos. A dona Teresa fez um litro de creme. Qual a quantidade de sumo de fruta que utilizou? 4. A Júlia, a Andreia e o Luís têm a mesma idade, 1 anos, e cada um tem um peso entre 40 e 50 quilos. Querem pesar-se numa balança antiga que só indica correctamente pesos superiores a 60 kg. Como podem fazer para obter o peso correcto de cada um? Exercício 0. Resolver os sistemas de equações lineares usando os métodos de redução de Gauss e Gauss-Jordan. 4x + 5y = 3 x y + w = 8 (b) x y z 3w = 0 3x y = 8 9x 3y z 7w = 4 Mário Abrantes mar/ 4

5 Matemática II 017/18 - Gestão - ESTG/IPBragança Exercício 1. Caracterizar os tipos de soluções dos sistemas lineares, cujas matrizes aumentadas podem ser reduzidas por linhas às matrizes indicadas. (c) (b) (d) Exercício. Utilizar os métodos de eliminação de Gauss e Gauss-Jordan para encontrar as soluções gerais dos sistemas de equações lineares. 4x + 5y = 3 4x + 6y = 1 4x + 6y = 1 (b) (c) 3x y = 8 x + 3y = 6 x + 3/y = 3 x y + w = 8 x + y + z = 5x + 5y + 5z = 10 (d) x y z 3w = 0 (e) 3x 3y + 3z = 9 (f) 3x 3y + 3z = 9 9x 3y z 7w = 4 4x + y + 4z = 9 3x + y + z = 7 3x + y + 3z = 8 3x y = 5 3x y = 13 (g) 3x + y + 3z = 8 (g) (h) x y = 4x 4y = 1 x y + z = Exercício 3. Considerar o sistema completo AX = B, B 0. Considerar o sistema homogéneo associado, AX = 0. Mostrar que se W 1 e W são duas soluções particulares deste sistema, então qualquer combinação linear na forma r 1 W 1 + r W, sendo r 1 e r dois escalares quaisquer, é também uma solução particular do sistema. Estender este resultado a combinações lineares com um número qualquer de parcelas do tipo r n W n, sendo r n um escalar qualquer e W n uma solução particular qualquer do sistema homogéneo. (b) Seja X p uma solução particular concreta qualquer do sistema completo, AX = B. Mostrar que toda e qualquer solução do sistema completo pode ser escrita na forma X = X h + X p, sendo X h uma solução particular do sistema homogéneo associado. Exercício 4. Escrever, se for possível, os seguintes sistemas lineares. Sistema impossível com quatro equações a duas incógnitas. (b) Sistema possível e determinado com duas equações a quatro incógnitas. (c) Sistema possível e indeterminado com duas equações a quatro incógnitas. (d) Sistema impossível com duas equações a quatro incógnitas. (e) Sistema possível e determinado com quatro equações a duas incógnitas. Matriz inversa exercício 5; sebenta, páginas Mário Abrantes mar/ 5

6 Exercício 5. Determinar as matrizes inversas, se existirem, usando o método de eliminação de Gauss. Vericar os resultados obtidos (b) (c) (d) (d) Determinantes exercícios 6-30; sebenta, páginas Exercício 6. Calcular os determinantes das matrizes do exercício 5, usando O método de Laplace; (b) O método de redução de Gauss-Jordan. Exercício 7. Usar a matriz da alínea (c), no exercício 5, para resolver, usando o método 1 0 de Cramer, o sistema AX = B, para os casos B = 0 e B = 1. Exercício 8. Calcular as adjuntas das matrizes das alíneas, (b), (c), no exercício 5. Exercício 9. Calcular as inversas das matrizes das alíneas, (b), (c), no exercício 5, usando as matrizes adjuntas. Exercício 30. Usar duas matrizes A e B, do tipo, adequadas para vericar a propriedade (AB) 1 = B 1 A 1 da operação de inversão. Conceitos a denir matriz elemento de uma matriz linha coluna la tipo de uma matriz matriz linha matriz coluna matriz quadrada matriz identidade mat. triang. superior mat. triang. inferior lei do corte matriz transposta matriz simétrica equação linear sistema de equações lineares solução particular solução geral forma matricial matriz do sistema matriz aumentada ops. elementares sobre linhas forma escalonada por linhas forma escalonada reduzida característica de uma matriz matriz inversa matriz adjunta Mário Abrantes mar/ 6