CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida

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1 CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 2: Aproximações Lineares e Diferenciais Objetivos da Aula Definir e calcular a aproximação linear de uma função derivável; Conhecer e determinar a diferencial; Aproximações Lineares Considere uma curva derivável f(x) e um ponto (p, f(p)) sobre ela. Em seguida, determinamos a reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f(p)), com equação y = f(p) + f (p)(x p), como na figura abaixo: Figura : Gráfico de uma função f. Se dermos um "zoom"na região próxima do ponto (p, f(p)), notamos que a curva se aproxima bastante da reta tangente, como podemos observar abaixo: Figura 2: Zoom no gráfico da função f. Figura : Zoom no gráfico da função f.

2 Dessa forma, podemos definir que a reta tangente é uma boa aproximação para a curva f(x). Logo, podemos escrever que y f(x). E assim, f(x) f(p) + f (p)(x p) Essa aproximação é chamada de aproximação linear. A função linear dada por L(x) = f(p) + f (p)(x p) é chamada de linearização de f em p, e desse modo, podemos escrever a aproximação linear como sendo dada por f(x) L(x). Exemplo. Considere f(x) = sen x. Determine a linearização de f em p = 0. Utilize essa linearização para determinar uma aproximação de sen (0, ). Utilize uma calculadora para determinar o erro cometido. Note que f (x) = cos x e que f(0) = 0 e f (0) =. Sendo assim, a linearização desejada é L(x) = f(0) + f (0)(x 0) = 0 +.(x 0) = x Assim, para determinar uma aproximação para sen (0, ), basta lembrar que L(x) f(x). Sendo assim, como L(0, ) = 0,, temos que sen (0, ) 0, Utilizando a calculadora, obtemos que sen (0, ) 0, 0, 09825, em forma de porcentagem, temos que o erro obtido na aproximação é de 9, 8%. Observação. Na física costuma -se trabalhar com aproximações lineares, como a do exemplo anterior. Quando deduzimos a fórmula para o período de um pêndulo, encontramos a seguinte equação para a aceleração tangencial a T = g sen θ Sendo que em geral, utilizamos a aproximação linear acima e definimos que sempre que θ assume valores pequenos. a T = gθ Exemplo 2. Encontre a linearização de f(x) = 5x 2 em p = 2. Note que f (x) = 5 e que f(2) = 0 2 = 8. Logo, L(x) = 8 + 5(x 2) = 5x 2 Observação 2. Quando a função é "linear", a linearização coincide com a própria função. Exemplo. Encontre a aproximação linear da função g(x) = + x em torno de x = 0 e use-a para aproximar os números 0, 95 e,. Primeiramente, precisamos determinar a linearização de g(x). Sendo assim, note que g (x) = ( + x). Logo, 2 g (0) = e como g(0) =, temos que L(x) = + (x 0) = + x Assim, a aproximação linear é dada por ou seja, L(x) f(x) + x + x Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 2

3 Logo, e 0, 95 = 0, 05 2, 95 0, 05 L( 0, 05) = = 0, 98, = + 0, L(0, ) = + 0 = 0, 0 Exemplo 4. Encontre a linearização da função f(x) = em p = 7. Determine a aproximação linear 2x correspondente. Note que a derivada de f(x) é dada por f (x) =. Sendo assim, f(7) = 2x2 4 e f (7) = 98. Portanto, L(x) = f(7) + f (7)(x 7) = 4 98 (x 7) = 7 x 98 A aproximação linear correspondente é dada por L(x) f(x), então: 2x 7 x 98 para x próximos de 7. 2 Diferencial Durante nosso estudo, destacamos que dy representa apenas uma notação para a derivada. O que dx faremos a seguir é interpretar dy como um quociente entre dois acréscimos. Consideremos o gráfico de dx uma função derivável y = f(x). Agora, tomemos um ponto (x, f(x)) sobre o gráfico e denotemos por dx um acréscimo em x, como mostrado abaixo: Figura 4: Agora, sabemos que o coeficiente da reta tangente ao gráfico de f é dado pela derivada em x, ou seja, f (x) = tg α. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida

4 Figura 5: Se chamarmos dy como sendo o acréscimo na ordenada da reta tangente, correspondente ao acréscimo dx, teremos que dy dx = tg α = f (x) ou ainda que dy = f (x)dx () Tomando y = f(x + dx) f(x), segue do que argumentamos na seção anterior que dy é uma aproximação para y. Fixando x, podemos entender () como uma função que associa cada valor de dx R a dy R dado por dy = f (x)dx. Essa função é chamada diferencial de f em x ou de y = f(x). Vejamos alguns exemplos da utilização da diferencial. Exemplo 5. Compare os valores de y e dy se y = f(x) = x + x 2 2x + e x varia de 2 para 2, 05. e Logo, Calculando y. Precisamos determinar f(2) e f(2, 05). Sendo assim, f(2) = = = 9 f(2, 05) = (2, 05) + (2, 05) 2 2.(2, 05) + = 9, y = f(2, 05) f(2) = 0, Agora, faremos o cálculo de dy. Para isso, note que dx = 2, 05 2 = 0, 05. Logo, como f (x) = x 2 +2x 2, temos que dy = f (x)dx = (x 2 + 2x 2)dx Em particular, para x = 2 e dx = 0, 05, obtemos que dy = f (x)dx = ( )0, 05 = 4.0, 05 = 0, 7 Exemplo 6. Dada a função f(x) = sen 2 (cos(2x)), calcule a diferencial dy. Utilizando a regra da cadeia obtemos que f (x) = 4sen (cos(2x)).cos(cos(2x))sen(2x). Logo, dy = f (x)dx = 4sen (cos(2x)).cos(cos(2x))sen(2x)dx Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 4

5 Erros Definimos o erro absoluto ε a de um valor medido ou aproximado como sendo ε a = valor real valor aproximado Em algumas situações se faz necessário obter uma melhor apresentação do impacto do erro da aproximação sobre o valor medido. Sendo assim, podemos utilizar o erro relativo, denotado por ε r e dado por Erro absoluto ε r = valor medido = ε a valor medido ou também na forma percentual,ε p, dado por ε p = erro relativo 00 A noção desses erros é útil para as aproximações de erros por diferenciais, como veremos nos seguintes exemplos: Exemplo 7. A aresta de um cubo tem 0 cm, com um possível erro de medida de 0, cm. Use a diferencial para estimar o erro máximo possível no cálculo do volume do cubo. Como a aresta do cubo foi medida e possui um erro de 0, cm, não sabemos qual é exatamente a medida dessa aresta e por enquanto, a chamaremos de x. O valor medido medido na aresta é de x 0 = 0cm. Como V (x) = x é o volume do cubo de aresta x, temos que o erro no cálculo do volume é dado por: ε a = V alorreal V alormedido = V (x) V (x 0 ) = V (x) V (0) = V dv = V (0).dx Como o erro possível em x é dx = 0, cm então, ε a V (0).0, =.0 2.0, = 0cm Logo, o erro máximo é O erro relativo é e o erro percentual é dado por ε r = ε a = 0cm dv V (0) = 0 = 0, ε p = 0, % Exemplo 8. Utilizando a diferencial, calcule um valor aproximado para o acréscimo y que a função sofre quando passa de x = a + dx =, 00. Calcule o erro. A diferencial de y é dada por dy = f (x)dx = 2xdx. Em x =, temos que dy = 2dx. Como dx = 0, 00, então dy = 0, 002 O erro que se comete na aproximação y dy é dado por Como y = (, 00) 2 2 =, 00200, então ε a = y dy ε a =, , 002 = 0, = 0 6. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 5

6 Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as definições dadas. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios das páginas do livro texto. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 6