Aulas n o 22: A Função Logaritmo Natural

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1 CÁLCULO I Aulas n o 22: A Função Logaritmo Natural Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida

2 1 A Função Logaritmo Natural 2 Derivadas e Integral Propriedades dos Logaritmos 3 Gráfico

3 Seja x > 0. Definimos a função logarítmica natural como sendo a função dada pela medida da área abaixo da hipérbole y = 1, entre t = 1 e t = x. Graficamente, t essa área é dada como abaixo:

4 Como podemos entender a integral como a área abaixo de uma curva plana, então, podemos escrever a definição de logaritmo natural como sendo: f(x) = ln x = x 1 1 dt (1) t

5 Observação Essa função está bem definida, pois a hipérbole existe em todos os pontos t = x, com x > 0.

6 Observação Essa função está bem definida, pois a hipérbole existe em todos os pontos t = x, com x > 0. Observação Note que se x > 0 então, a função f(x) > 0 e se 0 < x < 1 então f(x) < 0.

7 Observação Essa função está bem definida, pois a hipérbole existe em todos os pontos t = x, com x > 0. Observação Note que se x > 0 então, a função f(x) > 0 e se 0 < x < 1 então f(x) < 0. Definição Definimos o número e como sendo o número tal que f(e) = ln e = 1.

8 Segue do Teorema Fundamental do Cálculo que para x > 0 f (x) = d d (ln x) = dx dx x 1 1 t dt = 1 x (2)

9 Considerando a função g(x) = ln x, notamos que o domínio de g é R {0}. E utilizando a regra da cadeia, obtemos que g (x) = 1 x Essa informação pode ser ampliada para casos em que o argumento do logaritmo é uma outra função de x, como pode ser observado na seguinte proposição.

10 Proposição Seja f uma função positiva. Então d dx (ln f(x)) = f (x) f(x) (3) Se f 0, não necessariamente positiva, temos que d dx (ln f(x) ) = f (x) f(x) (4)

11 Observação Uma primitiva para f(x) = 1 x é F (x) = ln x + C

12 Exemplo Determine f (x) sabendo que f(x) = ln sen 2 x.

13 Exemplo Determine f (x) sabendo que f(x) = ln sen 2 x. Exemplo Considere as seguintes funções ( ) x + 1 f(x) = ln x 1 g(x) = ln x + 1 x 1 Determine suas derivadas de primeira ordem e seus respectivos domínios.

14 Propriedades dos Logaritmos Considere a, b > 0. Então

15 Propriedades dos Logaritmos Considere a, b > 0. Então ln ab = ln a + ln b (5)

16 Propriedades dos Logaritmos Considere a, b > 0. Então ln ab = ln a + ln b (5) ln 1 a = ln a (6)

17 Propriedades dos Logaritmos Considere a, b > 0. Então ln ab = ln a + ln b (5) ln 1 a = ln a (6) ( a ) ln = ln a ln b (7) b

18 Propriedades dos Logaritmos Considere a, b > 0. Então ln ab = ln a + ln b (5) ln 1 a = ln a (6) ( a ) ln = ln a ln b (7) b ln a n = n ln a (8)

19 Propriedades dos Logaritmos Observação Devemos tomar cuidado na aplicação da propriedade (8). Assim, ln(x 1) 2 = 2 ln(x 1) é uma igualdade verdadeira apenas para x > 1. No entanto, como (x 1) 2 = x 1 2, então podemos fazer ln(x 1) 2 = 2 ln x 1 que é válida para todo x 1. Portanto, é de extrema importância especificar o domínio quando utilizar as propriedades para verificar a veracidade das igualdades obtidas.

20 Propriedades dos Logaritmos Exemplo Calcule a derivada da função f(x) = ln( x 2 1 cos 2 x).

21 Propriedades dos Logaritmos Exemplo Calcule a derivada da função f(x) = ln( x 2 1 cos 2 x). Exemplo Seja g(x) = ln ( ) x Calcule g (x). x 2 1

22 Propriedades dos Logaritmos Exemplo Utilize a derivada logarítmica para derivar a função f(x) = x 2 (x 3 1)(x 2 + 1)

23 Propriedades dos Logaritmos Exemplo Utilize a derivada logarítmica para derivar a função f(x) = x 2 (x 3 1)(x 2 + 1) Exemplo Utilize a derivada logarítmica para determinar a derivada da função f(x) = (x2 1) 2 (x + 1) 3 (x 2 + 1) 2

24 Seja f(x) = ln x. Então, notamos que D f = R +;

25 Seja f(x) = ln x. Então, notamos que D f = R +; lim x + ln x = + e lim ln x = ; x 0 +

26 Seja f(x) = ln x. Então, notamos que D f = R +; lim x + ln x = + e lim ln x = ; x 0 + f é estritamente crescente;

27 Seja f(x) = ln x. Então, notamos que D f = R +; lim x + ln x = + e lim ln x = ; x 0 + f é estritamente crescente; f possui concavidade para baixo;

28 Seja f(x) = ln x. Então, notamos que D f = R +; lim x + ln x = + e lim ln x = ; x 0 + f é estritamente crescente; f possui concavidade para baixo; ln 1 = 0

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30 Para traçarmos o gráfico de g(x) = ln x, notamos que g é par;

31 Para traçarmos o gráfico de g(x) = ln x, notamos que g é par; Se x > 0, a função g coincide com a função f(x) = ln x;

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33 Na próxima aula... A Função Exponencial Natural