Nome: Gabarito Data: 28/10/2015. Questão 01. Calcule a derivada da função f(x) = sen x pela definição e confirme o resultado

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1 Fundação Universidade Federal de Pelotas Departamento de Matemática e Estatística Curso de Licenciatura em Matemática - Diurno Segunda Prova de Cálculo I Prof. Dr. Maurício Zan Nome: Gabarito Data: 8/0/05. A natureza era para ele como um livro aberto, cujas letras ele podia ler sem esforço Albert Einstein, ao mencionar Isaac Newton. Questão 0. Calcule a derivada da função f(x) sen x pela definição e confirme o resultado pelas regras de derivação. Solução. Pela definição de derivada, temos f f(x + ) f(x) (x) sen (x + ) sen x sen (x + ) sen x ( sen x+ x ) ( cos x++x ) ( sen (x + ) + sen x) Pelas regras de derivação: f (x) sen (x + ) + sen x sen (x + ) + sen x sen (x + ) sen x ( sen (x + ) + sen x) sen ( ) ( cos x+ ) ( sen (x + ) + sen x) cos x sen x + sen x cos x sen x. ( ) (sen x) (sen x) cos x cos x sen x. Questão 0. Seja f : R R a função real definida por (x ) arctan, se x, f(x) x 0, se x (a) Mostre que f é contínua em x. Obs.: Lembre da Trigonometria que arctan( ) π e que arctan(+ ) π. (b) Verifique se f é derivável em x. (c) Calcule f (x). (d) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P (0, π ).

2 Solução. (a) f() 0. lim x f(x): Vejamos os limites laterais: lim f(x) x x (x ) arctan x 0 arctan( ) 0 ( π ) 0; lim f(x) x + x +(x ) arctan x 0 arctan(+ ) 0 (+π ) 0. Como lim f(x) f(x) 0, segue que existe o limite lim f(x) 0. x x + x lim x f(x) 0 f(). Portanto, segue que f é contínua em x. (b) Calculando as derivadas laterais, obtemos (c) f () f( + ) f() arctan f +() f( + ) f() arctan + + Como f () f +(), segue que f não é derivável em x. Simplificando, obtemos (d) arctan arctan( ) π ; + arctan arctan(+ ) π. f (x) (x ) (x ) ( ) + arctan + x ; x. x f x (x) + (x ) + arctan x, x. m f (0 ) (0) + (0 ) + arctan π. a equação da reta tangente ao gráfico de f em P (0, π ) será y π ( π π )(x 0) y ( )x + π. Questão 03. Encontre a equação da reta tangente à curva de equação no ponto P (, ). Solução. Derivando em x, obtemos x y + y x + y x y + xy + y y x + y y

3 x y yy + y y x xy y m y (P ) e portanto, a equação da reta procurada será () ()() () () + y y P m(x x P ) y 0(x ) y. x xy x y +. y 0, Questão 0. A lei do movimento de um objeto é dada por s(t) t ln(t + ), onde s é dado em metros e t em segundos. Determine a aceleração do objeto no instante em que o mesmo entrar em repouso. Solução. Precisamos acar a(t) quando v(t) 0. Assim, e assim, v(t) s (t) v(t) 0 t t + t + t (t ) t + t + (t ) t + 0 t. a(t) 0 (t + ) t (t) (t + ) (t ) (t + ), a() ( ) 0 m/s. Questão 05. Calcule a derivada de cada função abaixo: (a) f(x) cos( x) ln( x + ) tan 3 x. (b) f(x) e sec( x ). (c) f(x) x 3 3 x + x. (d) f(x) x ln x x Solução. (a) f(x) cos( x) ln(x + ) tan x 3. Derivando, vem f (x) sen ( x) ln(x + ) + cos( x) x x + sec 3 x 3 x 3 Portanto, f (x) sen ( x) ln(x + ) + x x cos( x) x sec 3 x. (b) f (x) e sec x sec x tan x ( )(x ) esec x (x ) sec x tan x. 3

4 (c) f (x) (x3 3 x + x) (3x 3x 3 x 3 3 x ) x x + x (d) x (x + ln x) x ln x f (x) x ( x ) ( x) ( x ) x ( + ln x) + x ln x x x... x + ln x ( x ). 3 Questão 06. Derivar implicitamente em x a função: cos(x + y ) arctan y x xy +. Solução. Derivando implicitamente em x, obtemos sen(x + y ) ( + yy ) xy y x + y x (xy) (xy + y) + 0. ou seja, sen(x + y ) + y sen(x + y )y xy y x + y xy + y xy, (x + y ) xy sen(x + y ) + y xy sen(x + y )y xy(xy y) e portanto, isolando y, obtemos (x + y )xy + (x + y )y, y (x + y )y y xy (x + y ) xy sen(x + y ) y xy sen(x + y ) x xy (x + y )x Questão 07. Calcule f (x) dy Solução. A derivada procurada será onde e para a função f definida parametricamente por x t + t e y t + t. dy f (x) dt, dt dy dt ( + t )( t) ( t )(t) ( + t ) t t3 t + t 3 ( + t ) t ( + t ), dt ( + t ) t(t) ( + t ) + t t ( + t ) t ( + t ). f (x) t ( + t ) ( + t ) t t ( t ) t t.

5 Obs.: Note que t ( + t )y e que t x + t, segue que t t y x t t x y, e daí f (x) x y. Questão 08. Usando a fórmula de Leibniz, calcule d5 5 f, onde f(x) (x3 x ) e x. Solução. Observe que e que Assim, (u v) (5) u (5) v (0) + 0 u x 3 x ; u () 3x x; u () 6x ;, u (3) 6; u () u (5) 0, v v () v ()... v (5) e x. u () v () + u (3) v () + u () v (3) + 3 u () v () + 60e x + 0(3x )e x + 5(3x x)e x + (x 3 x )e x (x 3 + x 7x + 59)e x. u (0) v (5) 5 5