MAT 141 (Turma 1) Cálculo Diferencial e Integral I 2017/II 1 a Lista de Integrais (07/11/2017)
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1 Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática MAT 4 (Turma Cálculo Diferencial e Integral I 07/II a Lista de Integrais (07//07 Faça a antidiferenciação. Verifique o resultado, calculando a derivada de sua resposta. y (y dy ( (c (d + e ln(00 Determine a função y = y, y R tal que dy = +, y( = d y = e, y(0 = 0 e y (0 = Determine a função y = f, definida num intervalo aberto I, com I e tal que: f( = e dy = y, I. f( = e dy = y, I. 4 Determine a função f contínua tal que: f(π = e f tg = sen cos, c R ( f f(0 = e arctg =, c R (c f(0 = e ( + f =, c R Obtenha a equação de uma curva y = f, sabendo que o coeficiente angular da reta tangente em um de seus pontos é igual ao simétrico do dobro de sua abscissa e que o ponto (, pertence a curva. 6 Em todos os pontos de uma curva y = f tem-se que y =. Obtenha a equação desta curva que passa pelo ponto (, e a reta tangente neste ponto é paralela à reta + y = 0. 7 A velocidade de uma partícula, no instante t, em movimento numa linha reta é dada por v(t = t. Determine a função horária do movimento s(t sabendo que s(0 =. 8 Uma partícula move-se ao longo de um eio. Determine a função posição da partícula, sabendo-se que: v(t = t t + e (0 = a(t = 4 cos(t, v(0 = e (0 =. 9 Estima-se que daqui a t meses a população de uma certa cidade estará variando segundo uma taa de +6 t pessoas por mês. A população atual é de 000 pessoas. Qual a população daqui a 9 meses? 0 Um tanque de armazenamento de petróleo sofre uma ruptura no instante t = 0 e o petróleo vaza do tanque a uma taa de 00 e 0,0 t litros/min. Determine a quantidade de litros de petróleo que vazou do tanque nos primeiros sessenta minutos.
2 Mostre que: Se F é uma primitiva de f, então Para n, Dado a > 0, mostre que: f(a + b = F (a + b, c R a (a + b n = (a + b n+, c R a n + ( a = arcsen a a + = ( a arctg a (c (d ± a = ln + ± a a = a ln a + a Resolva (usando o método de substituição (c (d ( sen ( e cos( 4 (g (h (i (j sen cos + 6 ( sen cos (k (l (m (n Complete o quadrado e use as integrais do eercício ( para calcular as integrais: 4 (c (d Calcule (usando o método de integração por partes e e ln (g e sen (c sec (h e (d (ln (i cos( (ln (j e cos( (k (l (m (n (o arcsen (/4 arcsen 6 Resolva as integrais sen cos (c sen os cos cos sen (d sen + sen tg sec
3 (g (h tg sec tg sec 4 (i (j sen os sen sec 7 Calcule (i (ii (iii (iv (v (vi (vii (viii (i + e + e y sen θ (7 cos θ dθ sec ( a a da (4 8 sen cos sen( sen (i (ii (iii (iv (v (vi (vii (viii (i ( tg + 6 ( + sec ( tg sec ( cos θ sen θ cos sen (i (ii (iii (iv (v (vi (vii (viii (i ( + sen sen sec tg cos sen 4 8 Calcule as integrais (i (ii (iii (iv (v (vi (vii cos( ( sen ( (viii (i (i (ii (iii (iv a t ln t cos(ln t sec tg sec 7 arctg ln( + (v (vi (vii (viii (i (iii (iv cos
4 Gabarito y6 4 y4 + (c 8 (d e ln(00 y = y = e A função f =, > satisfaz as condições dadas (A condição > pertença ao domínio de f. A função y = e e, R satisfaz as condições dadas. é para garantir que 4 f = cos + sen + 7 t + f = /6 ln cos( + (c f = arctg + y = 6 y = ln ( (c cos( (d e 4 sen (4 6 sen 6 (g 4 ln( arcsen ( + 4 arcsen ( (c ln arctg ( +4 e ( + (ln (c tg + ln cos [ ] (d (ln ln + (ln (ln ( e (g e (cos + sen (h ( e 6 sen sen sen 4 4 sen (t = t 4 /4 t / + t + cos(t t 9 6 pessoas ( e 0,6 (h 8(+4 (i 9 ( + (j cos (k + (6 7 7 (l arcsen ( (m arctg ( (n arctg ( (d ln + + arcsen ( + + (i ( sen os (j e (sen cos (k 8 asin ( ( (l 8 arcsen 6 4 (m 4 [8 arcsen (/4 (6 + 6 ] (n 4 [arcsen (/4 + 6 ] (o [ arcsen + (c ( os (d ( + sen arcsen + ]
5 sen sen + cos 4 tg 4 (g sec 7 (i 4 9 9/ + e+ + C (ii e y + C 8 (iii 7 (6 + + C (iv (7 cos θ + C (v tg ( + + C (vi / + arctg + C (vii a / + a / + a + C (viii 4(4 7 + C (i 4 cos 4 + C sen sen 6 + C (i ln(sec + C (ii 9 ln( + ( + + / + C (iii ( ++ 8 arcsen ( 4 + C (iv + tg ( + C (v tg + C (h 6 sec6 4 sec4 (i ( os (j sec (vi arctg (( + / + C (vii arctg (( + / + C (viii arctg + C (i 4 sen 4 + C ( ln ( sen + C (i ( / ln + C (ii ( + / ( + / + C (iii cos( cos + C (iv / sen (/4 + C (v ln tg + sec + C (vi tg tg + + C (vii C (viii arcsen ( /4 + C (i arctg ( + C ( sen sen + C Algumas dicas. Use divisão de polinômios em, por eemplo, (7vi e (7vii. Complete quadrado em, por eemplo, (7vii e (7viii. (c Multiplique/divida por sec + tg em (7v. (d Mostre que sen = cos( e cos = +cos(. Use uma dessas relações em, por eemplo, (7iv. Use uma relação trigonométrica apropriada em, por eemplo, (7, (7i, (7iii, (7vi e (7. 8 (i sen ( + C (ii + ln( + + C (iii + arcsen + C (iv ln( + + C (v ln( + + C (vi ln + + C (vii sen cos + C (viii a arcsen (/a + a + C (i / ln 4/9 / + C [cos(ln + sen (ln ] + C sen (i cos + ln(sec + tg + C (ii sec 9 sec sec 7 + C (iii [ arctg + arctg ] + C (iv ln( + + arctg + C (v ln( + C (vi ln( arctg (( + / + C (vii sen (/4 os( + + C (viii arcsen (/ 9 + C (i ln( C (iii C (iv + arctg + C
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