Para ilustrar o conceito de limite, vamos supor que estejamos interessados em saber o que acontece à

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1 Limite I) Noção intuitiva de Limite Os limites aparecem em um grande número de situações da vida real: - O zero absoluto, por eemplo, a temperatura T C na qual toda a agitação molecular cessa, é a temperatura da qual podemos nos aproimar mas que jamais conseguimos atingir - Economistas quando falam do lucro em um mercado ideal, assim como engeneiros quando determinam a eficiência de um motor em condições ideais, estão trabalando com situações- limite. O processo de determinar o limite consiste em investigar o comportamento de uma função f () quando se aproima de um número c que pode ou não pertencer ao domínio da f. Para ilustrar o conceito de limite, vamos supor que estejamos interessados em saber o que acontece à função f () = pág 47) quando se aproima de. ( Hoffmann - Cálculo- Um Curso Moderno- LTC, Embora f() não seja definida para =, podemos ter uma boa idéia da situação calculando f () para valores de que se aproimam cada vez mais de, tanto pela esquerda como pela direita. Vamos completar a tabela abaio: 0,8 0,9 0,95 0,99,00,0,05, X Os valores da tabela sugerem que f () se aproima do número 3 quando se aproima de, tanto pela esquerda como pela direita. Este comportamento pode ser representado pela epressão: o limite de f () quando tende a é igual a 3. Simbolicamente temos: II) Definição Se f () se aproima de um número L quando se aproima de um número c, tanto pela esquerda como pela direita, L é o limite de f () quando tende a c, cuja notação é:

2 III) Interpretação geométrica dos limites f() f() f( ) f() L L f( ) f() c c Para f() definida em c Para f () não definida em c Nos dois casos acima podemos dizer que, ou seja se f() se aproima de um número L quando se aproima de um número c, tanto pela direita como pela esquerda, L é o limite de f() quando tende a c. É importante não esquecer que os limites descrevem o comportamento de uma função perto de um ponto, mas não necessariamente no próprio ponto. Eercícios: ) Determine lim f(), caso eista: a

3 ) Determine o limite indicado, caso eista: a) lim + b) lim ( 3 5 ) c) lim ( ) 0 d) lim (-) (+) 3 e) lim 3 3 f) lim 5 5 g) lim ) lim

4 Funções Contínuas Contínuo: sem interrupção Continuidade num ponto: Um função f() é contínua no ponto c, se: ) f ( c) é definida. ) Eiste lim f() c 3) lim f () = f (c) c Se f(( ) não é contínua no ponto c, dizemos que c é um ponto de descontinuidade, Eemplos de funções com descontinuidade em = c DERIVADAS Derivada como taa de variação Sejam e y duas grandezas que variam de tal forma que y é uma função de. A partir de um valor 0, fiado, fazendo variar de, y variará também de y 0 f( 0 ) = y = taa de variação da grandeza y 0 + f( 0 +) y = f(( 0 +) - f( 0 ) em relação à grandeza y Se lim eiste e é finito, esse limite dá a taa instantânea de variação da grandeza y 0 em relação à grandeza.

5 Fiemos um valor de = 0 y f ( 0 ) f ( 0 ) lim = lim 0 0. Esse limite é camado de derivada de f() no ponto de abscissa = 0 e indicamos por: f ( 0 ) = lim 0 f ) f ( ) ( 0 0 Eemplo: Encontre a derivada de f() = no ponto de abscissa = 4 f ( 4 ) f (4) ( 4 ) (4) ( 8 ) f (4) = lim = lim = lim = lim = 8 Eercícios: Calcule a derivada de f() no ponto indicado: ) f() = ; = - ) f() = ; = 4 3) f() = ; = - 4) f() = 3 ; = -

6 Derivada como o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f() no ponto de abscissa = 0 Significado geométrico da derivada A partir do gráfico de uma função podemos obter uma importante interpretação da noção de derivada. Inclinação = taa média de variação A B f() f f( 0 + ) f( 0 ) y = tangente do ângulo que a reta forma com o eio ) 0 X 0 + f() B B A B a Inclinação = taa instantânea de variação A derivada de uma função y = f() num ponto = 0, é igual ao valor da tangente do ângulo formado pela tangente à curva representativa de y=f(), no ponto = 0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto 0. m = coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f() no ponto = 0 y f ( lim = 0 ) f ( 0 ) mt = f ( 0 ) = lim 0 0 Eemplo: Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f() = no ponto P(-, f(-)) 0 = - f( 0 ) = f(-) = (-) =. Assim P( -,)

7 f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) m = f (-) = lim = lim = lim = lim = m = -, isto é, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f() = no ponto P é igual a (-). Podemos também escrever a equação dessa reta tangente utilizando a epressão: y y 0 = m( 0 ) em que 0 e y 0 são as coordenadas do ponto P e m é o coeficiente angular. No eemplo acima, a equação da reta tangente é : y - = -( +) y - = - - ou y = - - Eercícios. Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f() no ponto indicado: ) f() = + + ; P(, f()) ) f() = 3 ; P( -, f(-)) Função Derivada f ( ) f ( ) A derivada de uma função f é a função f definida por f () = lim, desde que o limite eista 0 Regras de derivação: ) Derivada de uma função constante: f() = c f () = 0 A derivada de uma constante é nula. ) Derivada de uma função potência: f() = n f () = n n- 3) Derivada do produto de uma constante por uma função : f() = c. g() f () = c. g () 4)Derivada de uma soma f() = g() + () f () = g () + () 5) Derivada de uma diferença: f() = g() () f () = g () () 6) Derivada de um produto: p() = f(). g() p () = f(). g () + g(). f ()

8 7) Derivada de um quociente: q() = f ( ) g( ) q () = g( ). f '( ) f ( ). g'( ) g ( ) Lista de eercícios: ) Usando a definição de derivada, calcule as derivadas das funções seguintes, para os respectivos valores de indicados: a) f() = 3 + ; = b) f() = 5-4 ; = - c) f() = 4 ; = d) f() = 3 ; = - e) f() = 3 ; = f) y= ; = 4 ) Seja f() =. Usando ainda a definição,mostre que f () = para todo real 3) A posição s de um ponto que se move em uma reta é dada por s(t) = 4 t + 3t ( s em metros e t em segundos). Determine a velocidade de P em t = 4) ) Calcule o coeficiente angular (m) da reta tangente ao gráfico de f() no ponto P(a,f(a)): a) f() = ; P(4,f(4)) b) f() = 3 - ; P(,f()) c) f() = ; P(,f()) d) f() = 3 ; P(-,f(-)) 5) Escreva uma equação da reta tangente ao gráfico de f() no ponto indicado: a) f() = 3 + : P(-,f(-)) b) f() = 3 ; P(, f()) c) f() = 3 ; P( -,f(-)) 6) Utilizando as regras de derivação, calcule f () de cada função dada:

9 a) f()= b) f() = c) f() = d) f() = 3 5 e) y = -t t f) y = ( 3- ) ( 3 +) g) f() = ( -) ( + +0) ) f() = ( -) ( ) i) f() = 4 0,5 j) y = 5 3 k) y = ( t) ( + t ) - 7) Usando as regras de derivação, determine a equação da reta tangente ao gráfico de f em P 5 a) f() = P(-,) b) f() = 3 P( 4,44) 8) Um corpo se move em lina reta de tal forma que sua posição no instante t é dada por s(t) = t 3-6t + 9t +5. a) Determine a velocidade e a aceleração do corpo no instante t R: v(t) = 3t -t +9 ; a(t) + 6t - b) Em que instante o corpo está estacionário? t= e t = 3 9)Esboce o gráfico da função f() = Use os métodos de cálculo para determinar o ponto em que a função é mínima. R: (,-9) 0)Determine dois números a e b tais que o mínimo da função f() = a + b seja o ponto (3,-8) R: a = 8/9 e b = - 6/3. )Esboce o gráfico de f() = 3- e use os métodos de cálculo para determinar o ponto em que a função é máima.

10 REGRA DA CADEIA Função Composta; Sejam f e g funções tais que para todo do domínio A de g, g() está no domínio de f. Define-se a composta de f e g, indicada por f 0 g como sendo a função de domínio A, dada por: (f 0 g)() = f(g()) Se g é derivável em, f é derivável em g() e f 0 g está definida, então (f 0 g) = f (g()). g () Na notação de Leibniz, se y = f(u) e u = g(),então: dy dy du. d du d onde dy du é calculada em u = g() Eemplos: y = = (3 + ) é a função composta de y = u e u = 3 + Calculando as derivadas, temos : dy du. = u. 6 = (3 +). 6 = (6 + ).6 = 36 + du d Eercícios: Encontre as derivadas das seguintes funções: ) f() = (+) 5 ) f() = ( ) 8 3) f() = 3 t 4

11 4) f() = (4+3) 4 (+) -3 Derivadas de e e ln f() = e f() = ln f () = e f () = lim (+) = e e,788 0 Eemplos: ) Encontre a derivada de y = ( e ) ) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de y = ln no ponto de abscissa = 3) Calcule a derivada de : a) ln ( +6) b) ln ( +4) c) ln ( ) Derivadas das funções trigonométricas: ) A derivada da função seno é a função cosseno. f() = sen f () = cos

12 ) A derivada da função cosseno é o oposto da função seno f() = cos f () = - sen Derivadas de outras funções trigonométricas: (tg ) = sec (cotg ) = - cossec (sec ) = sec. tg (cossec ) = - cossec. cotg Eemplos: Calcule as derivadas das seguintes funções: ) y = sen ) y = 4 cos 3) y = t t cos t 4) y= t 3 sen t 5) y =3 sen 6) y = sen 7) y = 5 e + cos

13 cos 8) y = sen Lista de eercícios: dy ) Calcule no ponto = - para y = u 3 3u + e u = + R: 6 3 ( +) d dy u ) Calcule no ponto = para y = d u e u = 3 - R: /3 3) Calcule a derivada da função f() = 3 R: 3 3 4) Calcule a derivada de f() = 5 ( 3) 0 R: - 6 ( 3) 5) Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta: a) f() = (+) 4 R: 8( +) 3 b) f() = ( 5 4-7) 8 R: 8 ( ) 7 (5 -) c) f(t) = 5t 6t (5t 3) R: (5t 6t ) d) f() = (+) 3 (-) 5 R: ( +) ((-) 4 (6+7) 5 ( ) e) f() = 4 ( ) 4 ( ) (9 ) R: 5 ( ) f) f() = 3 4 R: 5 6 ( 4) 3 g) f() = sen( +) R: co( +) ) f() = cos ( 5 3 ) R: -5. sen 5 3 ) 6) Determine a equação de uma reta que seja tangente à curva da função dada no ponto indicado pelo valor de : a) f() = (3 +) ; = - R; y = b) f() = ( + ) ; = R: y = 3 c) f( ) = 6 ( ) ; = R: y = - +3

14 7) Determine todos os valores de para os quais a reta tangente à função dada é orizontal: a) f() = ( + ) R: = 0; = -; = -/ b) f() = ( 3 ) R: = -/3 c) f() = 4 5 R: =