MAT Lista de exercícios para a 3 a prova

Transcrição

1 Universidade de São Paulo Instituto de Matemática e Estatística MAT - Lista de eercícios para a a prova Valentin Ferenczi de maio de 9. Estude a função dada com relação a máimos e mínimos locais e globais. f() = + f() = e e f() = + + f() = e f() = f(t) = te t. Determine as dimensões do retângulo de área máima e cujo perímetro p é dado.. Determine o número real positivo cuja diferença entre ele e seu quadrado seja máima. 4. Determine o número real positivo cuja soma com o inverso de seu quadrado seja mínima. 5. Deseja-se construir uma caia de forma cilíndrica e m de volume. Nas laterias e no fundo será utilizado material que custa R$ o metro quadrado e na tampa material de R$ o metro quadrado. Determine as dimensões da caia que minimizem o custo do material empregado. 6. Duas partículas P e Q movem-se, respectivamente, sobre os eios O e Oy. A função de posição de P é = t e a de Q, y = t, t. Determine o instante em que a distância entre P e Q seja a menor 4 possível. 7. Determine o ponto da parábola y = que se encontra mais próimo da reta y =. 8. Determine os pontos críticos da função dada e classifique-os como ponto de máimo local, ponto de mínimo local ou ponto de infleão. f() = h() = + f() = (t) = t t + f() = g() = e 5 9. Determine os valores máimos e mínimos (caso eistam) da função dada, no intervalo dado. f() = em [, ]. f() = + em [, ]. f() = em [, ]. f() = sen cos em [, π]. f() = em [, ]. f() = em ], [.. Uma partícula desloca-se sobre o eio, de modo que em cada instante t a velocidade é o dobro da posição = (t). Sabe-se que () =. Determine a posição da partícula no instante t.. Seja y = f(), R, derivável até a a ordem e tal que, para todo, f () + f() =. Seja g dada por g() = f () sen f() cos. Prove que g é constante.

2 Prove que eiste uma constante A tal que [ ] f() A cos() = sen para todo em ], π[. Conclua que eiste uma outra constante B tal que, para todo em ], π[, f() = A cos + B sen.. Sejam f e g duas funções definidas e deriváveis em R. suponha que f() =, g() = e que para todo f () = g() e g () = f() Mostre que, para todos, (f() sen ) + (g() cos ) = Conclua de que f() = sen e g() = cos.. Calcule. e d e d ( + e ) d cos d sen 5 d (e + e ) d ( + sen ) d ( + cos ) d e + e d d e (sen + cos 5) d ( ) + e d, > 4. Determine a função y = y(), R, tal que dy = e y() = d dy d = + e y() = dy = cos e y() = d dy = sen e y() = d dy d = + e y( ) = dy d = e e y() = 5. Determine a função y = y(), >, tal que dy d = e y() = dy d = + e y() = dy d = + e y() = dy d = + e y() = 6. Uma partícula desloca-se sobre o eio com velocidade v(t) = t +, t, Sabe-se que, no instante t =, a partícula encontra-se na posição =. Qual a posição da partícula no instante t? Determine a posição da partícula no instante t =. Determine a aceleração. 7. Uma partícula desloca-se sobre o eio com velocidade v(t) = t, t. Sabe-se que no instante t = a partícula encontra-se na posição = 5. Determine o instante em que a partícula estará mais proima da origem. 8. Esboce o gráfico da função y = y(), R, Sabendo que

3 dy = e y() = d d y d = 4 cos, y() = e y () = ( ) + d 5. sen d 4 4 d + d ( ) d + t dt t π e d e d + d + d d y d = e, y() = e y () = dy d = + e y() = π π π 4 cos d sen d d e d tg d 5. A é o conjunto de todos (, y) tais que y. 6. A é o conjunto de todos (, y) tais que y sen, com π. 7. A é o conjunto do plano limitado pela reta y =, pelo gráfico de y =, com. 8. A = {(, y) R e y }. 9. A é o conjunto do plano limitado de reta =, = π e pelos gráficos de y = sen e y = cos. 4. A é o conjunto de todos os pontos (, y) tais que e y. 4. Calcule. ( ) 5 d + d ( ) d e d e d + d ( ) d 4. Calcule. + d s + s ds (m) ( + ) d ( + ) 5 d, ( ) 5 d d e d + d + 4s ds + d s s + ds + d ( + ) d (n) (o) (p) (q) + d π sen cos d π 6 cos sen 5 d π π sen ( cos ) d

4 (r) π π sen sen d (s) π π sen d (t) π 6 cos d 4. Um aluno (precipitado), ao calcular a integral + d, raciocinou da seguinte forma: fazendo a mudança de variável u = +, os novos etremos de integração seriam iguais a ( = u = ; = u = ) e assim a integral obtida após a mudança de variável seria igual a zero e, portanto, + d =. Onde está o erro? 44. Verifique que sen = cos calcule sen d 45. calcule. cos d cos 5 d sen d cos d cos 4 d ( + ) cos d (sen + cos ) d (sen cos ) d (5 + sen ) d ( cos ) d 46. Calcule. π 8 cos d π (sen + cos ) d π 4 sen d π cos 4 d 47. Verifique que sec d = ln(sec + tg ) + k com ] π, π [. Mostre que sec d = ln sec + tg + k. 48. Calcule. tg d sec d tg d sec d tg d sec d d 5 d (5 + e ) d ( + sec ) d ( + sec ) d cos + sec d cos 49. Determine α e β de modo que sen 6 cos = (sen α + sen β) ( Sugestão: sen a sen b = [cos (a b) cos (a + b)] ) Calcule sen 6 cos d 5. Calcule 4

5 sen 5 cos d sen cos 4 d sen cos d sen cos 5. Calcule. e d π sen 4 cos d + d + d + d ( + ) d π ( ) d sen cos d + 4 d + d π sen d π 4 cos d 5. Calcule. sen cos d sen cos d cos sen d sen cos d sen + cos d sen 5 + sen d sen d cos 5 d tg sec d tg sec d tg sec d tg sec 4 d 5. Suponha α, β, m e n constantes, com α β. Mostre que eistem constantes A e B tais que m + n ( α)( β) = A α + B β 54. Utilizando o eercício anterior, Calcule. ( + ) + ( ) d + ( ) d 4 d 4 d d + d d + + d 55. Calcule. (6 + 4 ) d d d tg d ln d (ln ) d tg d d 5 4 d 4 d 4 d + 4 d 56. Calcule. 5

6 e d sen d e d ln d ln d ln d sec d (ln ) d (ln ) d e d e cos d e sen d (m) (n) (o) (p) e d cos d e cos d sen d 57. Calcule. e d ln d π e cos d t e st dt (s ) 58. Sejam m e n dois naturais diferentes de zero. Verifique que n ( ) m d = n ( ) m d = m n + n!m! (m + n + )! n+ ( ) m d 59. Calcule. ( + ) d d + d ( + ) d + ( + ) 5 d + d e d + d + d d arcsen d (arctg ) d 6. Calcule a área do conjunto de todos (, y) tais que + y e + y 6. Calcule. cos 5 d sen cos d cos sen 4 d sen cos d sen cos 4 d cos sen d sen cos d cos cos 4 d cos 4 sen d sen + cos d sen + cos d tg + cos d cos sen d + sen d 68. Prove que quaisque que sejam s e t em [, + [ ln s ln t s t. 6

7 69. Prove que quaisquer que sejam a e b, a < b arctg b arctg a < b a. 7. Determine o polinômio de Taylor, de ordem, de f em volta de dado. f() = ln( + ) e = f() = e e = f() = e = f() = e = f() = e = 4 f() = sen e = f() = cos e = 7