para: (a) f(x) = 3 (b) f(x) = c, c

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1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DESEMPENHO CÂMPUS PATO BRANCO Atividades Práticas Supervisionadas (APS) de Cálculo Diferencial e Integral Prof a. Dayse Batistus, Dr a. Eng. Acadêmico (a): Curso: Engenharia Na APS serão consideradas somente as questões que apresentarem os cálculos e, a resposta da mesma à caneta. Data de entrega: /07/03 f ( ) f () ) Utilizando a definição de derivadas: f '() lim, calcule f '() para: 0 (a) f() = 3 (b) f() = c, c (c) f() = (d) f () a b, com a, b (e) f() = (f) f () a b c com a,b,c (g) f() = 3 3 (h) f () f () f (p) ) Utilizando a definição de derivadas: f '(p) lim, calcule a derivada das seguintes funções p p nos pontos dados: (a) f() = e p = (b) f () e p = (c) f () 3 e p 8 3) Calcule a derivada das funções abaio utilizando as propriedades adequadas: 3 3 (a) f () (b) f () (c) f () (d) f () e 4 5 (e) f () (f) f () 3 3 (g) f () (h) f () (i) f () ( ) ( ) (j) f () ( 3 ) ( ) 5 (k) f () (l) f () ( ) ( ) (m) f () ( ) ( ) Respostas: d 3) (l) f '() ou (m) ( ) d ( ) d (m) f '() ou (m) 4 (( ) ( )) d ( )

2 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DESEMPENHO CÂMPUS PATO BRANCO Atividades Práticas Supervisionadas (APS) de Cálculo Diferencial e Integral Prof a. Dayse Batistus, Dr a. Eng. Acadêmico (a): Curso: Engenharia Na APS serão consideradas somente as questões que apresentarem os cálculos e, a resposta da mesma à caneta. Data de entrega: /07/03 ) Determine a equação da reta tangente (T) e da reta normal (N) ao gráfico da função, no ponto de abscissa dada: a) f ( ) 5 3, em = Resposta: (T) y = 5 3; (N) y = -(/5) + 37/5 b) f() = 3 5, em = 0 Resposta: (T) y = ; (N) y = (/3) c) f ( ) 3, em Resposta: (T) y = 6 3; (N) y = - (/6) + 9/6 ) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f() = sen no ponto de abscissa = 0 rad. Resposta: y =. 3 3) Determine os pontos sobre a curva f ( ) onde a tangente é horizontal. Resposta: (, 0) e 3, 3 7. Nota: Futuramente, veremos que esses pontos são candidatos a pontos de máimos, mínimos ou ponto de infleão da função dada. 4) No videogame da figura abaio, os aviões voam da esquerda para a direita segundo a trajetória y, e podem disparar suas balas na direção da tangente contra pessoas ao longo do eio- em =,, 3, 4 e 5. Determine se alguém será atingido se o avião disparar um projétil quando estiver em: (a) P(, ) (b) Q(3/, 5/3) Resposta: (a) A equação da reta tangente a curva, no ponto P é dada por: y 3. Por outro lado, fazendo y 0, temos: Portanto, o projétil atinge a pessoa que está na posição 3, como 4 7 ilustra a própria figura. (b) A equação da reta tangente a curva, no ponto Q é dada por: y. Por outro lado, fazendo y 0, temos: 0 5, 5. Portanto, o projétil não atinge nenhuma 9 3 pessoa. 5) Derive as funções compostas apresentadas no quadro abaio:

3 Função Derivada a) y = sen 4 4 cos 4 b) y = cos 5 5 sen 5 c) y = e 3 3e 3 d) f() = cos 8 8 sen 8 e) y =sen t 3 3t cos t 3 f) g(t) = ln (t+) t g) = e sen t e sen t cos t h) f() = cos ( e ) e sen e i) y = (sen + cos ) 3 3(sen + cos ) (cos sen ) j) y k) y 3 3( ) 3 l) y = e -5 5e -5 m) = ln (t +3t+9) t 3 t 3t 9 n) f() = e tg e tg sec o) y = sen(cos) sen cos (cos ) p) g(t) = (t +3) 4 8t (t + 3) 3 q) f() = cos( + 3) sen ( + 3) r) y e e e s) y = tg 3 3 sec 3 t) y = sec 3 3 sec 3 tg 3 u) y = e 3 e 3 (+3) v) y = e. cos e (cos sen ) w) y = e - sen e - (cos sen ) ) y = e -t sen 3t e -t (3 cos 3t sen 3t) y) f() = e + ln ( + ) e z) t t e e 4 g(t) t t t t e e (e e ) cos 5 5 sen 5 sen cos 5 cos aa) y sen sen 3 bb) f() = (e e ) 3(e e ).( e e ) cc) y = t 3 e -3t 3t e -3t ( t) dd) y = (sen 3 + cos ) 3 3(sen 3 + cos ) (3 cos 3 sen ) ee) y e e e ff) y = ln ( + ) ln( ) gg) y = [ln ( + )] 3 6[ln( )] hh) y = ln (sec + tg ) sec

4 6) Encontre a derivada das seguintes funções utilizando a derivação implícita: Função Derivada Errata: Resposta: (c) y' ln ou y' ( ln ) 7) Derive, utilizando a derivação implícita: Função Derivada

5 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DESEMPENHO CÂMPUS PATO BRANCO Atividades Práticas Supervisionadas (APS) de Cálculo Diferencial e Integral Prof a. Dayse Batistus, Dr a. Eng. Acadêmico (a): Curso: Engenharia Na APS serão consideradas somente as questões que apresentarem os cálculos e, a resposta da mesma à caneta. Data de entrega: /07/03 ) Um corpo desloca-se sobre um plano inclinado segundo a equação s(t) = 5t t (s em metros e t em segundos). Calcular a velocidade e a aceleração desse corpo após segundos da partida. Resposta: v() = 8 m/s e a() = a(t) = 0 m/s. ) Dois corpos têm movimento em mesma reta segundo as equações s (t) = t 3 + 4t + t e s (t) = t 3 5t + t +. Determine as velocidades e posições desses corpos quando as suas acelerações são iguais considerando s em metros e t em segundos. Resposta: Dica: s ''( t) s ''( t) => v = 5 m/s; s = 65 m; v = 5 m/s e s = 4 m. 3t 7 3) Um móvel descreve uma trajetória segundo a equação s ( t) (s em centímetros e t em t segundos). Qual é a sua velocidade e aceleração após deslocar cm? Resposta: v cm / s, a - cm / s ) Suponha que o custo total de fabricação de q unidades de certo produto seja de: C(q) = 3q + q Neste conteto, pede-se: (a) utilize a análise marginal para estimar o custo de fabricação da 4 a unidade; (b) calcule o custo real de fabricação da 4 a unidade. Nota: O custo marginal é a derivada da função custo total C(q). Resposta: (a) C (4) = 74; (b) C(4) C(40) = 43. 5) Um fabricante precisa produzir caias de papelão, com tampa, tendo na base um retângulo com comprimento igual ao triplo da largura. Calcule as dimensões que permitem a máima economia de papelão para produzir caias de volume de 36 m 3. Resposta: Comprimento: 6 m, Largura: m e altura: 3m. 6) Uma caia sem tampa, de base quadrada, deve ser construída de forma que o seu volume seja.500 m 3. O material da base vai custar R$.00,00 por m e o material dos lados R$ 980,00 por m. Encontre as dimensões da caia de modo que o custo do material seja mínimo. Qual é esse custo? Resposta: h = 500/ => 5,98 m; y 9,79 m e Custo R$ ) Utilizando uma folha quadrada de cartolina, de lado cm, deseja-se construir uma caia sem tampa, cortando em seus cantos quadrados iguais e dobrando convenientemente a parte restante. Determinar o lado dos quadrados que devem ser cortados de modo que o volume da caia seja o maior possível. Resposta: 8) Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de.00 m. A prefeitura eige que eista um espaço livre de 5 m na frente, 0 m atrás e m em cada lado. Encontre as dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa ser construído este galpão. Resposta: 04,33 m 95,6 m. 9) Determine os pontos de máimos, mínimos locais e de infleão (se eistirem), bem como os intervalos de crescimento e decrescimento da função: f ( ). Obs.: Utilize duas casas 4 3 decimais com arredondamento.

6 0) Dada a função f () ( 3), pede-se: (a) O domínio dessa função, destacando o(s) ponto(s) de descontinuidade, caso eista(m). (b) A derivada de primeira ordem, isto é, f (). (c) O(s) intervalo(s) de crescimento e de decrescimento dessa função. (d) O(s) ponto(s) de máimo e mínimo relativo (local), caso eista(m). (e) A derivada de segunda ordem, isto é, f (). (f) O(s) intervalo(s) em que essa função tem concavidade voltada para cima e/ou para baio. (g) O(s) ponto(s) de Infleão, caso eista(m). Obs.: Utilize duas casas decimais com arredondamento. (h) Os limites dessa função para - e +. (i) O esboço do gráfico dessa função. (j) A imagem dessa função. ) Dada a função f (), pede-se: 9 (a) O domínio da função, destacando o(s) ponto(s) de descontinuidade, caso eista(m). (b) O(s) intervalo(s) de crescimento e de decrescimento da função. (c) O(s) ponto(s) de máimo e mínimo relativo (local), caso eista(m). (d) O(s) intervalo(s) em que a função tem concavidade voltada para cima e/ou para baio. (e) O(s) ponto(s) de Infleão, caso eista(m). (f) Os limites da função dada para - e +. (g) Os limites laterais necessários. (h) As equações das assíntotas verticais e horizontais, caso eista(m). (i) O esboço do gráfico da função dada. (j) O conjunto imagem dessa dada. ) Dada a função f (), pede-se: 9 (a) O domínio dessa função, destacando o(s) ponto(s) de descontinuidade, caso eista(m). (b) O(s) intervalo(s) de crescimento e de decrescimento dessa função. (c) O(s) ponto(s) de máimo e mínimo relativo (local), caso eista(m). (d) O(s) intervalo(s) em que essa função tem concavidade voltada para cima e/ou para baio. (e) O(s) ponto(s) de Infleão, caso eista(m). (f) Os limites dessa função para - e +. (g) Os limites laterais necessários. (h) As equações das assíntotas verticais e horizontais, caso eista(m). (i) O esboço do gráfico dessa função. (j) O conjunto imagem dessa dada. 3) Idem ao () para a função: f () ) Idem ao () para a função: f (). ( ) ( ) 5) Resolva 5 eercícios de limites, à sua escolha, utilizando a regra de L Hospital.