MAT Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II 1 a lista de exercícios

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1 MAT5 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II a lista de eercícios - 0 I - Polinômio de Talor. Utilizando o polinômio de Talor de ordem, calcule um valor aproimado e avalie o erro: (a) 8, (b) ln(, ) (c) sen (0, ). Mostre que: a) sen!, R b) 0 e ( + + ) <, para 0.. Encontre o polinômio de Talor de ordem 5 de f() = em volta de 0 =.. a) Seja n um número natural ímpar. Mostre que para todo R ( sen! + 5 n... + ( ) 5! b) Avalie sen () com erro, em módulo, inferior a 0 5. n ) n+ n! (n + )! 5. a) Determine o polinômio de Talor de ordem n de f() = e em torno de 0 = 0. b) Avalie e com erro em módulo inferior a 0 5. c) Mostre que para todo R, d) Avalie 0 6. Mostre que e ( ! e d com erro inferior a cos( )d ) n e n+ n! (n + )! ( 5.! + 9.! ).6! 5.7! 7. Seja I um intervalo aberto e seja f : I R R derivável até a ordem em I. Use o polinômio de Talor de grau e a fórmula de Talor para provar o teste da segunda derivada, isto é, prove que se a I é um ponto crítico de f e a) Se f () 0 para todo I, então f tem mínimo em a. b) Se f () 0 para todo I, então f tem máimo em a.

2 II - Curvas e Gráficos 8. Desenhe as imagens das seguintes curvas: (a) γ(t) = (, t) (b) γ(t) = (cos t, sen t), 0 t π (c) γ(t) = (sen t, sen t) (d) γ(t) = ( + cos t, + sen t) (e) γ(t) = (, t) (f) γ(t) = (et cos t, e t sen t), t 0 (g) γ(t) = (sec t, tg t), π < t < π (h) γ(t) = ( cos t, sen t) (i) γ(t) = (sen t, cos t + ), t R (j) γ(t) = ( + e t, e t ), t 0 (k) γ(t) = (sen t + cos t, sen t ) 9. Esboce C e encontre uma parametrização para C, nos casos: (a) C = {(, ) R : + =, e } (b) C = {(, ) R : =, < 0 e > 0} (c) C = {(, ) R : ( ) = e < 0} 9 (d) C = {(, ) R : d((, ), r) = d((, ), P)}, sendo P = (0, ) e r, a reta =. (e) C = {(, ) R : d((, ), P) + d((, ), Q) = 0}, sendo P = (, 0) e Q = (, 0). (f) C = {(, ) R : d((, ), P) d((, ), Q) =, > 0}, sendo P = (, 0) e Q = (, 0). 0. Para cada curva (descrita por equações paramétricas) dos itens de (a) a (f), indique qual das figuras de I a VI representa a sua imagem. Justifique sua escolha. (a) = t t, = t t (b) = t, = t (c) = sen (t), = sen (t) (d) = t + sen (t), = t + sen (t) (e) = sen (t + sen t), = cos(t + cos t) (f) = cos t, = sen (t + sen (5t)) I II III IV V VI

3 . Um barbante é enrolado ao redor de um círculo e então desenrolado, sendo mantido esticado. A curva traçada pelo ponto P no final do barbante é chamada de involuta do círculo. Se o círculo tiver raio r e centro O, a posição inicial de P for (r, 0), e se o parâmetro θ for escolhido como na figura, mostre que as equaçõoes paramétricas da involuta são: = r(cos θ + θ sen θ) = r(sen θ θ cos θ). Uma circunferência de raio r rola sem escorregar ao longo do eio O. Encontre equações paramétricas para a curva descrita por um ponto da circunferência que se encontra inicialmente no origem. (Esta curva é chamada de ciclóide; veja figura.). Ache e esboce o domínio das funções: (a) f(, ) = (b) f(, ) = arctg + (c) f(, ) = (d) f(, ) = ln( ) (e) f(, ) = (f) f(, ) = tg( ) (g) f(, ) = ln(6 ). Esboce uma família de curvas de nível de: (a) f(, ) = + (b) f(, ) = (c) f(, ) = (d) f(, ) = + 5. Considere F(, ) = 0 +. Determine o domínio de F e esboce as curvas de nível c = 0, c = e c = 0.

4 6. Esboce os gráficos de: (a) f(, ) = (b) f(, ) = (c) f(, ) = (d) f(, ) = + (e) f(, ) = (f) f(, ) = + (g) f(, ) = + (h) f(, ) = e + (i) f(, ) = + 9 (j) f(, ) = (k) f(, ) = ln(9 + ) (l) f(, ) = + (m) f(, ) = São dadas a seguir as curvas de nível e os gráficos de seis funções de duas variáveis reais. Decida quais curvas de nível correspondem a quais gráficos (I) (II) (III) (IV) (V) (VI) (a) (b) (c) d) (e) (f)

5 8. Seja γ(t) = (e t +, e t ), para t R. (a) Desenhe a imagem de γ indicando o sentido de percurso. (b) Verifique que a imagem de γ está contida em uma curva de nível da função f : R R dada por f(, ) = + e determine qual o nível. 9. Encontre uma parametrização para a curva de nível no nível k de f nos casos: (a) f(, ) = +, k = (b) f(, ) =, k = 5 (c) f(, ) =, k = (d) f(, ) = + +, k =,, + 0. Sejam γ(t) = ( cos t, sec t + ), t [0, π [ e f(, ) = (( ) ( )) +. Esboce a imagem de γ e mostre que a imagem de γ está contida em uma curva de nível de f indicando qual é o nível. III - Limite e Continuidade. Calcule os seguintes ites, caso eistam. Se não eistirem, eplique por quê: cos( + ) (a) (,) (0,0) + (b) (,) (0,0) + + (c) (,) (0,0) + (d) (,) (0,0) (e) (,) (0,0) + 5 (f) (,) (0,0) + sen( + ) (g) (,) (0,0) (h) (,) (0,0) + ( ) ( + ) (i) (,) (0,0) + (j) (,) (0,0) + sen + (k) (m) (o) + + (,) (0,0) (l) (,) (0,0) + 5 (,) (0,0) (,) (0,0). Calcule os seguintes ites: (a) (,) (0,0) (n) (,) (0,0) ( ) + sen ( + ) (p) (,) (0,0) + sen ( + ) + sen ( + ) ( cos( + )) ( + ) e sen( + ) + (b) (,) (0,0) ( + )ln( + ). Determine os pontos de continuidade da seguinte função: ( )( ) f(, ) = ( + )[( ) + ( ), se (, ) = (0, 0) e (, ) = (, ) ], se (, ) = (0, 0) 0, se (, ) = (, ).

6 ( ). Seja f(, ) = + sen e +, se (, ) = (0, 0) L, se (, ) = (0, 0) Eiste algum número real L para o qual f seja contínua em (0, 0)? Justifique. 5. Seja f(, ) = ( ) + ( ). (a) Esboce (no mesmo sistema de coordenadas) as curvas de nível de f nos níveis k = e k =. (b) Eiste f(, )? Justifique. (,) (,) 6. O domínio de uma função f é o conjunto {(, ) R (, ) = (, 0)}. A figura abaio mostra as curvas de nível de f nos níveis k = 0; k = 0, ; k = 0, 5; k = 0, 7 e k =. Eiste f(, )? Justifique. (,) (,0)

7 . RESPOSTAS (a) D f = {(, ) R + > } (b) D f = {(, ) R = 0} (c) D f = {(, ) R } (d) D f = {(, ) R ( )( + ) > 0} (e) D f = {(, ) R > 0} (f) D f = {(, ) R = + +k π, k Z} (g) D f = {(, ) R + < 6} 8. (b) c = No nível.. (a) não eiste (b) 0 (c) 0 (d) não eiste (e) não eiste (f) não eiste (g) não eiste (h) 0 (i) 0 (j) 0 (k) não eiste (l) (m) não eiste (n) 0 (o) 0 (p) não eiste. (a) (b) 0. {(, ) R (, ) = (0, 0)}. Sim, L = O ite não eiste. 6. O ite não eiste.