7 Derivadas e Diferenciabilidade.

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1 Eercícios de Cálculo p. Informática, Derivadas e Diferenciabilidade. E 7-1 Para cada uma das funções apresentadas determine a sua derivada formando o quociente f( + h) f() h e tomando o ite quando h tende para 0. a) f() = c b) f() = c) f() = d) f() = 1/( + 3) e) f() = 3 4 f) f() = 1/ E 7- Usando a definição de derivada calcule as derivadas das seguintes funções: (a) f() = (b) f() = 3 (c) f() = / + 1 (d) f() = E 7-3 Seja a um número real fio. Determine os ites sendo h 0 f(a + h) f(a) f() f(a), h a a e f() +, a) f() = 5 + b) f() = c) f() = 1 d) f() = E 7-4 Em cada uma das alíneas o ite dado representa a derivada de uma função f num certo ponto c. Determine f e c em cada caso. (1 + h) 1 a) h 0 h 4 + h c) h 0 h ( + h) b) h 0 h cos(π + h) + 1 d) h 0 h

2 Eercícios de Cálculo p. Informática, E 7-5 Encontre equações para as rectas tangente e normal ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) sendo a) f() = 5 e a = 4 b) f() = 1/ e a = E 7-6 Determine os coeficientes A, B e C de modo que a curva y = A + B + C passe pelo ponto (1, 3) e seja tangente à recta 4 + y = 8 no ponto (, 0). E 7-7 Determine os pontos onde a tangente à curva: a) y = 1 1 +, é horizontal. b) y = cos cos3, é horizontal. c) y = 1 (sin cos ), é perpendicular à recta y = 1. d) y = arcsin 3, é paralela à recta y = E 7-8 Encontre um polinómio quadrático P () tal que P (1) = 3, P (1) = e P (1) = 4. E 7-9 Considere uma função com o seguinte gráfico y

3 Eercícios de Cálculo p. Informática, (a) Em que pontos f não é contínua? Em cada caso veja se é uma descontinuidade removível, uma descontinuidade por salto, ou nenhum dos casos anteriores. (b) Em que pontos f é contínua mas não diferenciável? E 7-10 Para cada uma das funções seguintes { 3 se 1 a) f() = 3 e c = 1 { + 1 se > se 1 b) f() = ( + 1) se > 1 e c = 1 { c) f() = se e c = se > 1) Discuta a continuidade de f no ponto c. ) Determine e 3) Diga se f é diferenciável no ponto c. f (c) = h 0 f(c + h) f(c) h f + (c) = h 0 + f(c + h) f(c) h E 7-11 Sendo a) y = ( + 1)( + ) b) y = + c) y = 3 d) y = Calcule dy 1. d. d y d 3. ( d y dy ) d d E 7-1 A figura seguinte representa o gráfico de uma função f() e da recta tangente a esse gráfico no ponto (, y) = (, ).

4 Eercícios de Cálculo p. Informática, y 4 f 4 6 Sendo g() = f( ), qual o valor da derivada g ()? E 7-13 A figura seguinte representa o gráfico de uma função f() e da recta tangente a esse gráfico no ponto (, y) = (, ). 4 y f 4 6 Sendo g() = f() [f()], qual o valor da derivada g ()? E 7-14 Sabendo que h(0) = 3 e h (0) =, determine f (0) em cada alínea a) f() = h() b) f() = h() + 1 h() E 7-15 Mostre que cada uma das funções seguintes é injectiva na região indicada e determine a derivada d dy, onde = f 1 (y), epressa em função de y. a) y = f() = + 1 ]0, + [ b) y = f() = R c) y = f() = cos(3 ) ]0, π/3[ E 7-16 Seja f : [0, 4] [0, 4] a função diferenciável seguinte.

5 Eercícios de Cálculo p. Informática, y 3 f (a) Desenhe o gráfico da sua inversa g = f 1. (b) Determine a derivada de g = f 1 no ponto =. E 7-17 Encontre os valores de c, caso eistam, para os quais a tangente ao gráfico de f() = /( + 1) no ponto (c, f(c)) seja paralela à recta que passa pelos pontos (1, f(1)) e (3, f(3)). E 7-18 Considere a função e determine, justificando: f() = ( 4) (a) um intervalo onde a função satisfaça as condições do teorema de Rolle. (b) o(s) ponto(s) do referido intervalo que verificam a tese do Teorema de Rolle. E 7-19 Prove que f satisfaz as condições do teorema de Rolle e indique no intervalo dado os números c tais que f (c) = 0. (a) f() = 3 ; [0, 1]. (b) f() = 4 8; [, ]. (c) f() = sin ; [0, π].

6 Eercícios de Cálculo p. Informática, E 7-0 Aplicando o Teorema de Rolle mostre que a equação = 0 não tem mais do que duas raízes reais distintas. E 7-1 (a) Aplicando o Teorema de Rolle demonstre que a equação b = 0 não pode ter mais do que uma solução no intervalo [ 1, 1] qualquer que seja o valor de b. (b) Indique para que valores de b, eiste eactamente uma solução da equação em [ 1, 1]. E 7- Mostre que a equação não tem mais do que duas raízes reais distintas. E 7-3 Mostre que a equação tem eactamente raíz real. E 7-4 Prove que = sin + cos tem apenas duas soluções reais. E 7-5 (a) Prove que a equação = 1 não tem zeros em ] 1, 0[. (b) Prove que a equação = tem um único zero em ] 1, 0[. E 7-6 Seja f() uma função diferenciável em R tal que f() = f(4) = 1. Considere a função g() = f() para todo R. (a) Prove que a equação g () = 0 tem pelo menos uma raiz positiva. (b) Prove que eiste ]0, [ tal que g () = 1. E 7-7 Prove que f satisfaz as condições do teorema do valor médio e indique no intervalo dado os números c que satisfazem a conclusão do teorema. (a) f() = ; [1, ].

7 Eercícios de Cálculo p. Informática, (b) f() = 3 4; [1, 4]. (c) f() = 3 ; [0, 8]. E 7-8 Prove que na parábola y = A + B + C, com A 0 e A, B, C R, a corda que une os pontos de abcissas = a e = b é paralela à tangente no ponto de abcissa = a+b, quaisquer que sejam a, b R. E 7-9 Aplicando o Teorema do valor médio prove que: (a) sin sin y y para todo o, y R. (b) arctan arctan y y para todo o, y R. (c) a < log a < a a, 0 < a <. (d) tan >, 0 < < π. E 7-30 Considere a função f() tal que f () k, para todo o R. Prove que, f() f(y) k y para todo o, y R. E 7-31 Verifique as desigualdades, estudando o sinal da derivada de uma função adequada: a) e > 1 + +, > 0. b) 3 < arctan, > 0. 3 c) π < sin <, 0 < < π. d) 3 < sin <, > 0. 6

8 Eercícios de Cálculo p. Informática, E 7-3 Eiste alguma função diferenciável f que satisfaça as seguintes condições, f(0) =, f() = 5 e f () 1 no intervalo ]0, [? Justifique. E 7-33 Eiste alguma função diferenciável f tal que: Justifique. f() = 1 = 0,, 3 e f () = 0 = 1, 3/4, 3/? E 7-34 Seja f : [0, 6] R uma função duas vezes diferenciavel tal que (a) f(0) = 0 e f (0) =. (b) f(6) = 0. (c) f () < 0, para todo [0, 6], Justifique por que é válida cada uma das afirmações seguintes: a) f () = 0, tem uma única raíz em [0, 6], que corresponde a um máimo da função f. b) f() <, para todo 0 < 6. E 7-35 Seja f : R R uma função duas vezes diferenciavel tal que (a) f () > 0, para todo R, (b) f(0) = f (0) = 0 e f(1) =. Justifique por que é válida cada uma das afirmações seguintes: a) f () > 0, para todo > 0 b) f () < 0, para todo < 0 c) A equação f() = 1 tem uma única raíz no intervalo [0, 1] d) f() > 0, para todo 0 e) f (1) > f) ± f() = +

9 Eercícios de Cálculo p. Informática, Aplicações do Cálculo Diferencial. E 8-1 Encontre a taa de variação da área de um quadrado em função do comprimento d da sua diagonal. Qual a taa quando d = 4? E 8- As dimensões de um rectângulo variam de modo a sua área permanecer constante. Encontre a taa de variação da sua altura h em função da sua largura l. E 8-3 A área de um sector circular de raio r e ângulo t, medido em radianos, é dada pela fórmula A = 1 r t. r t (a) Supondo que o raio r permanece constante encontre a taa de variação de A em função de t. (b) Supondo que o ângulo t não varia encontre a taa de variação de A em função de r. (c) Supondo que a área A permanece constante encontre a taa de variação de t em função de r. E 8-4 Estão a encher um depósito de água com a forma de uma semiesfera de raio r. Qual a taa de variação do volume com a altura do nivel da àgua quando esta é igual a r/? E 8-5 Um ponto desloca-se ao longo da circunferência + y = 4. Qual a taa de variação da ordenada com a abcissa nos pontos (, ) e (0,)?

10 Eercícios de Cálculo p. Informática, E 8-6 Uma particula está a deslocar-se sobre a circunferência + y = 5. Quando passa pelo ponto (3, 4) a ordenada está a diminuir à taa de unidades por segundo. Qual a taa de variação da abcissa com o tempo? E 8-7 Encheram de água um copo de papel de forma cónica, cujo topo é um círculo com 8 cm de raio e tem 1 cm de altura. Sabendo que o copo perde água pelo fundo a uma taa de 4 cm 3 por minuto, a que taa está a baiar o nível da água no copo quando a sua altura é 6 cm? E 8-8 Um ponto desloca-se com velocidade uniforme ao longo da circunferência + y = 5. Sabendo que demora eactamente um minuto para completar uma rotação, qual é a sua velocidade? E 8-9 Um objecto move-se ao longo de um eio de coordenadas sendo a sua posição no instante t 0 dada por (t). Em cada uma das alíneas seguintes encontre a posição, velocidade e aceleração no instante t 0. a) (t) = t t, t 0 = 5 b) (t) = t 3 6 t, t 0 = c) (t) = t t + 3, t 0 = 3 d) (t) = (t 3 t)(t + 3 t), t 0 = E 8-10 Objectos A, B e C movem-se na vertical ao longo do eio dos. As suas posições desde o instante t = 0 até t = t 3 estão representadas nos gráficos da figura seguinte: C A t 1 t t 3 t B Em cada alínea encontre o objecto que:

11 Eercícios de Cálculo p. Informática, (a) inicia o movimento mais acima. (b) termina o movimento mais acima. (c) tem maior velocidade, em valor absoluto, no instante t 1. (d) mantem o sentido do movimento durante o intervalo de tempo [t 1, t 3 ]. (e) inicia o movimento subindo. (f) termina o movimento a descer. (g) inverte o sentido do movimento no instante t. (h) acelera durante o intervalo de tempo [0, t 1 ]. (i) desacelera (trava) durante o intervalo de tempo [t 1, t ]. (j) inverte o sentido do movimento no intervalo de tempo [t, t 3 ]. E 8-11 Um objecto move-se ao longo de um eio vertical, eio dos, sendo a sua posição no instante t 0 dada por (t). Em cada alínea determine o(s) intervalo(s) de tempo, se eistirem, durante os quais o objecto satisfaz a condição dada. a) (t) = t 4 1 t t, move-se para cima. b) (t) = t 3 1 t + 1 t, move-se para baio. c) (t) = 5 t 4 t 5, acelera. d) (t) = 6 t t 4, trava. e) (t) = t 3 6 t + 15 t, move-se para baio travando. f) (t) = t 3 6 t + 15 t, move-se para cima travando. g) (t) = t 4 8 t t, move-se para cima acelerando. h) (t) = t 4 8 t t, move-se para baio acelerando. E 8-1 Uma função = f(t) descreve o movimento de um objecto sobre o eio dos, no intervalo de tempo t [0, + [. O gráfico da sua derivada, f (t), vem representado na figura em baio.

12 Eercícios de Cálculo p. Informática, f Classifique o sentido, e o caracter acelerado/desacelerado, do movimento em cada um dos intervalos de tempo [0, ], [, 4], [4, 6] e [6, 8]. E 8-13 Escreva a fórmula de Taylor, para as seguintes funções: a) f() = log, potências de ( 1), resto de ordem 3. b) g() = 1, potências de, resto de ordem 1. 1 c) h() = cos, potências de ( ) π 4, resto de ordem 1. d) j() = e, potências de, resto de ordem 3. E 8-14 Considere as funções f() = arctg e g() = ln(1 + ). (a) Escreva os desenvolvimentos de Taylor de a ordem das funções arctg y log(1 + y) em y = 0. e (b) Através da substituição y =, obtenha os desenvolvimentos de Taylor de 4 a ordem das funções f e g em = 0. (c) Usando a alínea anterior calcule: + arctg 0 ln(1 + ) E 8-15 Utilize o desenvolvimento de Taylor para determinar: (a) 0 e + e

13 Eercícios de Cálculo p. Informática, (b) π 4 cos sin E 8-16 Considere a seguinte função f(), que supomos ser duas vezes diferenciável no intervalo [ 4, 4]. 4 y f -4 (a) Ache os desenvolvimentos de Taylor de 1 a ordem de f() nos pontos = e =. (b) Calcule os ites f() + e f() E 8-17 Considere a função f() = ae + be com a, b R\{0}. (a) Mostre que: se f() tem um etremo local então ab > 0. (b) Supondo ab > 0, indique justificando em que condições esse etremo é máimo ou mínimo. Em cada um dos casos estude o sentido da concavidade do gráfico de f(). E 8-18 Encontre o maior valor possível do produto y com > 0, y > 0 e + y = 40. E 8-19 Encontre as dimensões de um rectângulo com perímetro 4 e, área máima. E 8-0 Determine as coordenadas de P que tornam máima a área do rectângulo da figura abaio.

14 Eercícios de Cálculo p. Informática, y 3 P 4 E 8-1 Num rectângulo de cartão com dimensões 8 15 recorte quatro quadrados iguais, um em cada canto, ( veja a figura em baio). A peça em forma de cruz assim obtida, é dobrada numa caia aberta. Quais são as dimensões dos quadrados a recortar se queremos que o volume da caia resultante seja máimo? 8 15 E 8- A figura mostra um cilindro circular inscrito numa esfera de raio R. Determine as dimensões do cilindro de modo a que o seu volume seja máimo. E 8-3 Qual o ponto da parábola y = mais próimo do ponto (0, 1)? E 8-4 Pretende-se fazer uma lata com o volume de 1l. Se a lata tiver a forma de um cilindro circular quais devem ser o raio da base e a altura, de modo a que a área da lata seja a menor possível? E 8-5 Calcule os seguintes ites.

15 Eercícios de Cálculo p. Informática, a b a) 0 (1 log ), a, b > 0 b) 0 + log(1 ) c) 1 d) + sin e) f) 0 log g) e 1 ( i) ) log 0 + e 1 0 log(1 + ) h) + ( ) 1 3 (1 + ) j) e log 1 E 8-6 Qual o erro efectuado no cálculo do seguinte ite, usando a Regra de Cauchy, = = 6 1 = 3 ( O ite inicial é 4). E 8-7 O gráfico da função f é dado pela seguinte figura: y 1 f (a) Determine: 1 f(), 1 1 f(), f(), + + f() e f(). (b) Escreva as equações das assíntotas verticais, ao gráfico de f, se as houver. (c) Escreva as equações das assíntotas horizontais, ao gráfico de f, se as houver. E 8-8 Seja f() uma função diferenciável em R \ {1} tal que f() < 1 para todo 1. Sabendo que = 1, y = 1 e y = + 1 são assíntotas ao gráfico de f(), quanto valem os seguintes ites?

16 Eercícios de Cálculo p. Informática, (a) (d) f() (b) f() (c) + f () + (e) 1 f() f () E 8-9 Represente graficamente as funções: (a) f() = ( 1) ( + ) (b) f() = sin cos (c) f() = 1 + (d) f() = e (e) f() = log (f) f() = e sin (g) f() = sin E 8-30 Estude as seguintes funções, determinando o domínio, as assíntotas, máimos, mínimos, sentidos das concavidades e pontos de infleão. Represente graficamente as funções. a) f() = b) f() = 1 1 c) f() = e d) f() = log e) f() = sin + cos f) f() = 1 g) f() = ( 1) 3 h) f() = + 1 i) f() = { e 1 se 0 0 se = 0 ( ) k) arcsin + 1 j) f() = log

17 Eercícios de Cálculo p. Informática, E 8-31 Represente o gráfico da função f contínua que satisfaz as seguintes condições. Indique quando eistem assíntotas ao gráfico. (a) f(3) = 0, f(0) = 4, f( 1) = 0, f( ) = 3; 1 + f() = +, f() =, 1 f() =, + f() = 0, f () < 0 se <, f () > 0 se > e 1, f () < 0 se > 1 ou se < 4, f () > 0 se 4 < < 1. (b) f(0) = 0, f(3) = f( 3) = 0; f() =, 1 f() = 1, + f() =, 1 f() = 1. f () < 0 para todo o ±1. E 8-3 Considere uma função duas vezes diferenciável f() satisfazendo as seguintes condições: (a) f( 3) = 1, f(0) =, e f(3) = 0, (b) f() = 0 e f() = 1, + (c) f () > 0 se < 3 e f () < 0 se > 3 (d) f () < 0 se < 0 e f () > 0 se > 0 (1) Desenhe o gráfico de f().

18 Eercícios de Cálculo p. Informática, () Considere o movimento de um móvel descrito pela função f(). Em cada intervalo de tempo ], 3], [ 3, 0], [0, 3] e [3, + [, classifique esse movimento como sendo acelerado ou desacelerado. E 8-33 Considere a seguinte função: y f Complete a tabela com a variação dos sinais da primeira e segunda derivada da função f(). Os dez campos devem ser preenchidos com os seguintes sinais:,, 0, + e +. Cada entrada representa o sinal, ou ite, da função f() no ponto, ou intervalo, respectivo f () 1 + f () ± 0 E 8-34 Seja f() uma função diferenciável no intervalo [0, 8], decrescente no intervalo [, 6] e crescente nos intervalos [1, ] e [6, 8]. A concavidade da função está virada para baio no intervalo [0, 4], virada para cima em [4, 8]. Faça o esboço do gráfico da sua derivada, f (), no intervalo [0, 8]. E 8-35 Aplique o método de Newton para encontrar a terceira aproimação,, da raíz de cada uma das equações em baio, partindo da aproimação inicial 0. (a) = 0, 0 = 1 (b) 3 1 = 0, 0 = 1 (c) 4 0, 0 = (d) = 0, 0 =

19 Eercícios de Cálculo p. Informática, E 8-36 Para cada aproimação inicial, determine gráficamente o que acontece se o método de Newton fôr aplicado à função a seguir desenhada. (a) 0 = (b) 0 = 0 (c) 0 = 1 (d) 0 = 3 (e) 0 =