M23 FICHA DE TRABALHO DERIVADAS I PARTE. 3. Na figura estão representadas:

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1 M FICHA DE TRABALHO DERIVADAS I PARTE. Na figura estão representadas: Parte do gráfico de uma função f diferenciável em ; Uma recta r tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa. O valor de f (), derivada da função f no ponto, pode ser igual a: (A) - 1 (B) 0 (C) 1 f () (D) 1 4. Um projéctil é lançado verticalmente de baio para cima. Admita que a sua altitude h (em metros), t segundos após ter sido lançado, é dada pela epressão: h (t) = 100 t 5 t Qual é a velocidade (em m/s) do projéctil, dois segundos após o lançamento? (A) 0 (B) 170 (C) 10 (D) 80 1

2 5. Num dado movimento, a velocidade de um móvel no instante t é dada por v (t) = t + 4 A aceleração instantânea em t = é: (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 8. A recta t é tangente ao gráfico da função f no ponto A de abcissa. A derivada de f no ponto é: (A) 1 (B) (C) (D) A recta t é tangente ao gráfico da função f no ponto ( a, f (a) ). y f a t Sabendo que f admite 1ª e ª derivadas no ponto a, então podemos concluir que: (A) f '( a) f ''( a) > 0 (B) f ( a) f ''( a) > 0 (C) f '( a) f ''( a) < 0 (D) f ( a) f '( a) < 0

3 16. Considera a função h () = e 1. O valor de h (1) é: (A) e (B) 1 (C ) e (D) Uma função real de variável real f é tal que f () = f (), para qualquer número real. Qual das seguintes epressões pode definir a função f : (A) (B) 4 e (C) e 5 (D) e 18. Sendo g uma função definida por g () = e, a epressão analítica de g é (A) e. e 1 (B) e (C) e 1 (D) e. ln. A representação gráfica de uma função g é: Podemos então concluir que: (A) g (1) = 0 (B) g (1) = + (C) g (1) = 1 (D) g (1) não eiste 5. Na figura ao lado está parte da representação gráfica de uma função g, de domínio \ {0}. Qual das figuras seguintes poderá ser parte da representação gráfica da função g, derivada de g?

4 7. Para um certo número real a, o gráfico da função g, definida por g () = a +, tem, no ponto de abcissa 1, uma recta tangente com declive 4. Qual o valor de a? (A) (B) 4 (C) 1 (D) 8. A recta de equação y = é tangente ao gráfico de uma certa função f, no ponto de abcissa 0. Qual das seguintes epressões pode definir a função f? (A) + (B) + (C) (D) Na figura estão representadas, num referencial o. n. Oy: Parte do gráfico de uma função f, de domínio +, definida por f () = 1 + ln. A recta r, tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 1. Qual o declive da recta r? (A) 1 (B) (C) (D) 4 0. Seja g uma função cujo gráfico tem um ponto de infleão de abcissa 1. Qual dos seguintes gráficos poderá ser o da segunda derivada de g?. Considere a função f definida por f () = ln ( 1) e a recta de equação y =, tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a. Qual o valor de a? (A) - 1 (B) 0 (C) 1 (D) 4

5 . Considere a função g definida por g () = ln. No gráfico da função g eiste um ponto onde a recta tangente é paralela à bissectriz dos quadrantes ímpares. Qual é a abcissa desse ponto? (A) 0 (B) 1 (C) e (D) ln 4. Seja f uma função de domínio. Sabe-se que a sua derivada, f, é tal que f () =. Relativamente à função f, qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) f é crescente em (B) f é decrescente em (C) f tem um mínimo para = (D) f tem um máimo para = 6. Seja f uma função de domínio. Sabe-se que a primeira e a segunda derivadas de f são negativas em. Em qual das figuras seguintes pode estar representada parte do gráfico da função f? 9. Seja f '( a) =, com a D f. Então f () é definida por: a (A) (B) (C) ln ( ) (D) e 1 (C) (D) 5. A equação reduzida da recta tangente ao gráfico da função f ( ) = e, no ponto de abcissa 1, é: (A) y = e (B) y = (C) y = e + 1 (D) y = Se o gráfico de uma função f tem um ponto de infleão com abcissa 1, qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira? (A) f (1) = 0 (B) A função segunda derivada, f, muda de sinal em = 1 (C) f (1) 0 (D) f tem um etremo em = 1 5

6 58. A recta tangente ao gráfico da função = + + no ponto de abcissa 0 é: f ( ) ln( 1) (A) A bissectriz dos quadrantes pares (B) A bissectriz dos quadrantes ímpares (C) O eio dos (D) O eio dos yy 59. Considere a f.r.v.r. definida por =. O valor de g (0) é : g ( ) ( 4). e (A) 1 (B) 0 (C) 4 (D) Sendo f () = ln ( + k) e g () = ln +, o valor de k de modo que f () = g () é: (A) - (B) 0 (C) (D) 1 II PARTE 1. Um projéctil, seguindo a trajectória da figura, é lançado com uma velocidade inicial de 140 m/s. A distância, em metros, a que se encontra do solo decorrido um tempo de t segundos, é dada por s (t) = 140 t - 0 t 1.1 Decorridos 5 segundos, a que distância se encontra o projéctil do solo? 1. Defina a velocidade (1ª derivada) e a aceleração (ª derivada) do projéctil ao fim de t segundos. 1. Qual a altura máima atingida pelo projéctil? Em que instante ela ocorre? 1.4 Passado quanto tempo o projéctil atinge o solo?. Uma bola é lançada do cimo de uma ponte, para o alto, e a sua altura y, acima do solo, em metros, t segundos depois é dada por y = f (t) = - 5 t + 15 t Qual é a altura da ponte?. Qual é a velocidade média da bola durante o 1º segundo? E no º?. Qual a velocidade da bola quando t = 1? E em t =? Como interpreta os resultados?.4 Qual é a velocidade da bola em cada instante t?.5 Ao fim de quanto tempo a bola atingiu o topo? Qual foi a altura máima atingida pela bola?.6 Qual é a aceleração da bola no instante t? 6

7 . Considere a f.r.v.r. definida por f () = 5..1 Mostre, usando a definição de derivada, que f (4) = 7.. Escreve a equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 4.. Qual é o ponto do gráfico de f cuja recta tangente tem por equação y = Considere a função f, real de variável real, tal que f () = Calcule f (1), aplicando a definição de derivada. 4. Escreve uma equação da recta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa Considera a função real g, definida por g () = Calcule g (1), aplicando a definição de derivada. 5. Escreve uma equação da recta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa Um balão meteorológico é solto e sobe verticalmente de modo que a sua distância d (t) ao solo durante os primeiros 10 segundos de voo é dada por d (t) = 6 + t + t, na qual d (t) é medido em metros e t em segundos. 6.1 Determina a velocidade média do balão durante o 1º segundo de voo. 6. Determina a velocidade instantânea do balão quando t = 1 segundo. 6. Entre que instantes esteve o balão a uma altura superior a 0 metros? 7. A área A de pele, afectada por uma infecção cutânea, ao longo dos primeiros 10 dias após o 5t início de um tratamento, é dada pela função A ( t) = 6 +, com t epresso em dias t + 1 e a área em cm. O tratamento iniciou-se às 0 horas do dia 15 de Fevereiro. 7.1 Qual era a área da infecção quando foi iniciado o tratamento? E ao fim do 1º dia? 7. Compare a rapidez no aumento da infecção durante o 1º dia com a rapidez na sua diminuição durante o º dia. O que se pode concluir? E o que se passou durante o º dia? 7. Qual foi a taa de variação inicial da propagação da infecção? 8. Uma avaria numa central atómica fez disparar o sistema de alarme. Os técnicos activaram imediatamente os procedimentos de emergência. Supõe que a temperatura T da água (em graus Celsius) do sistema de refrigeração do núcleo da central evolui a partir daí durante 1 7

8 horas de acordo com a função T ( ) =, em que é o tempo (em horas) + decorrido a partir do momento em que o sistema de alarme disparou. 8.1 Calcule o valor da taa de variação de T quando = 1 h. Interprete o resultado no conteto do problema. 8. A sirene de alarme dispara se a temperatura for superior a 4º C. Quando é que a sirene esteve, então, a tocar? 9. A temperatura F (em graus centígrados) do forno de uma padaria varia, a partir do momento 190t + 44 em que é ligado, de acordo com a equação F ( t) =, com t em minutos. t A que temperatura está o forno quando é ligado? 9. Com o decorrer do tempo, para que valor vai tender estabilizar a temperatura? 9. Qual é a velocidade de aquecimento do forno no momento em que é ligado? 9.4 E aos 10 minutos? 14. Considera a função definida por + 8 f ( ) = Determina a epressão da função derivada de f. 14. Qual é a equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa -? 15. Determina o valor de k de modo que o mínimo da função g () = + + k seja Determina a e b de modo que a função h () = + a + b tenha um etremo relativo no ponto (1, 1). 18. Considera a função g () = +. Determina: 18.1 Domínio; 18. Intervalos de monotonia; 18. Etremos relativos; 18.4 Sentido da concavidade; 18.5 Pontos de infleão. 19. Considere a função definida em por 7 5 = + +. h( ) Calcule a taa de variação média de h no intervalo [- 1, 1]; 8

9 19. Determine uma epressão de h, derivada de h e calcule h (0) ; 19. Estude a função h quanto à monotonia e eistência de etremos relativos; 19.4 Estude a função h quanto ao sentido das concavidades e eistência de pontos de infleão; 19.5 Escreve a equação da recta tangente ao gráfico no ponto de infleão.. A evolução da temperatura do ar na Relva entre as 0 e as 4 horas do dia 1 de Fevereiro foi dada pela função t 0t + 5 f ( t) = 17 +, com f em graus e t em horas. t 45.1 Qual foi a temperatura máima nesse dia na Relva?. E a temperatura mínima?. Qual era a taa de aquecimento do ar às 10 horas da manhã? 50 t. A equação T() t = 0+ relaciona a temperatura T (em graus Celsius) de uma reacção t + 10 química com o tempo da eperiência (em minutos). Sabendo que ela durou 60 minutos: T ( ) T (0).1 Calcula e eplica o significado do seguinte quociente:.. Qual o significado de lim t Tt () T()? t. Determina, analiticamente, o valor de t correspondente ao momento em que se registou a temperatura máima..4 O gráfico da função, no intervalo considerado, tem algum ponto de infleão? No caso afirmativo, determina-o e eplica o seu significado. 4. Considere a função f, de domínio +, definida por f () = ln. 4.1 Estude f quanto à eistência de assimptotas do seu gráfico; 4. Mostre que a função f tem um único mínimo; 4. O gráfico de f contém um único ponto cuja ordenada é o quadrado da abcissa. Recorrendo à calculadora, determine um valor aproimado para a abcissa desse ponto, arredondando às décimas. 9

10 5. Uma nódoa circular de tinta é detectada sobre um tecido. O comprimento, em centímetros, do raio dessa nódoa, t segundos após ter sido detectada, é dado por: 1+ 4t r ( t) = ( t 0) + t 5.1 Calcule r (0) e diga qual é o significado físico deste valor. 5. Esboce o gráfico de r, tendo em conta que, no domínio indicado, a função r tem primeira derivada positiva e segunda derivada negativa. 5.4 Calcule, com aproimação à décima de segundo, o instante t para o qual a área da nódoa é igual a 0 cm. 6. Um chá acabado de fazer, foi colocado no frigorífico a 100º C. Passados 5 minutos, o chá estava a 60º C. A temperatura do chá evolui de acordo com uma lei do tipo T (t) = e a b t, em que T é a temperatura do chá e t o tempo decorrido em minutos. 6.1 Determina os valores de a e de b. 6. Qual é a velocidade de arrefecimento do chá quando é colocado no frigorífico? E um minuto depois? 6. Quem gosta de beber o chá frio, a 8º C, quanto tempo tem de esperar? 7. Numa pastelaria a temperatura ambiente é constante. Admita que a temperatura do café, em graus centígrados, servido nessa pastelaria, t minutos após ter sido colocado na chávena, é dada por: f (t) = e 0,04 t, t [ 0, + [. 7.1 Determine a temperatura do café no instante em que é colocado na chávena. 7. Estude a função f quanto à monotonia e ao sentido das concavidades. 7. Justifique a seguinte afirmação: A taa média de variação da função f, em qualquer intervalo do seu domínio, é negativa. 7.4 Com o decorrer do tempo, a temperatura do café tende a igualar a temperatura ambiente. Qual é a temperatura ambiente? 7.5 Quanto tempo decorre entre o instante em que o café é colocado na chávena e o instante em que a sua temperatura atinge 65º C? e 9. Considere a função h, de domínio \ {1}, definida por h( ) = Estude a função h quanto à monotonia e quanto à eistência de etremos relativos. 10

11 9. Resolva a equação ln [ h () ] =. 0. Um fio encontra-se suspenso entre dois postes. A distância entre ambos é de 0 metros. 1º poste f () º poste 0 m 1 0,1 0,1 1 Considere a função f definida por f () = 5( + e ) e. Admita que f () é a distância ao solo, em metros, do ponto do fio situado metros à direita do primeiro poste. 0.1 Determine a diferença de altura dos dois postes; 1 0,1 0, Mostre que f () = 0, 5( + e ) e e determine a distância ao primeiro poste do ponto do fio mais próimo do solo. 1. Foi administrado um medicamento a um doente às 9 horas da manhã de um certo dia. A concentração desse medicamento, em miligrama por mililitro de sangue, t horas após ter sido administrado, é dada por: C (t) = t e 0, t. 1.1 Utilize o Teorema de Bolzano para mostrar que houve um instante, entre as 9h 0m e as 10 h, em que a concentração do medicamento foi de 1 mg / ml. 1. Recorrendo à derivada da função C, determine o instante em que a concentração de medicamento no sangue do doente foi máima.. Injectou-se no instante t = 0 uma substância no sangue de um animal. No instante t (t > 0 em segundos), a concentração C da substância injectada é dada por C (t) = 8 ( e t e t ) 11

12 7.1 Calcula o instante para o qual o valor da concentração é igual a ; 8 t 8( e ). Mostra que C '( t) = e determina o valor máimo da concentração. t e. Considere a f.r.v.r. g () = ln ( e 1 )..1 Determina o domínio e os zeros de g.. Estude a monotonia da função.. Determina uma equação da recta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa ln. 4. De uma função f de domínio \ {0}, sabe-se que: + 4 ln f (1) = 1; A sua derivada f é definida por f '( ) =. 4.1 Escreva uma equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 1; 4. Poderá concluir-se que f é contínua para = 1? Justifique a sua resposta; 4. Estude f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico. 5. De uma função f sabe-se que: ln f (1) = 0; A sua derivada f é definida por f '( ) = Escreva uma equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 1; 5. Poderá concluir-se que f é contínua para = 1? Justifique a sua resposta; ln 5. Mostre que f '' ( ) = e estude f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e à eistência de pontos de infleão. 6. Uma rampa de desportos radicais foi construída entre duas paredes, A e B, distanciadas de 10 metros, como se mostra na figura. Considere a função h definida por h ( ) = 15 4 ln ( ) ( ln designa logaritmo de base e ) Admita que h () é a altura, em metros, do ponto da rampa situado metros à direita da parede A. 6.1 Determine a altura da parede A. Apresente o resultado em metros, arredondando às décimas; 1

13 6. Estude a função h quanto à monotonia e conclua daí que, tal como a figura sugere, é num ponto equidistante das duas paredes que a altura da rampa é mínima; 6. Mostre, analiticamente, que h ( 5 ) = h(5 + ). Interprete esta igualdade no conteto da situação descrita. 9. Considere a função f, de domínio \ {0}, definida por e 1 f ( ) =. 9.1 Determine a equação reduzida da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 1; 9. Estude a função f quanto à eistência de assimptotas do seu gráfico, paralelas aos eios coordenados. Soluções I PARTE 1. (C). (B). (A) 4. (B) 5. (A) 6. (D) 7. (A) 8. (D) 9. (A) 10. (D) 11. (C) 1. (C) 1. (B) 14. (C) 15. (D) 16. (A) 17. (D) 18. (A) 19. (A) 0. (C) 1. (D). (D). (A) 4. (A) 5. (C) 6. (A) 7. (A) 8. (A) 9. (B) 0. (B) 1. (A). (C). (B) 4. (C) 5. (B) 6. (A) 7. (B) 8. (B) 9. (C) 40. (C) 41. (B) 4. (B) 4. (B) 44. (C) 45. (B) 46. (D) 47. (C) 48. (B) 49. (D) 50. (A) 51. (A) 5. (D) 5. (A) 54. (B) 55. (B) 56. (A) 57. (D) 58. (B) 59. (A) 60. (B) 61. (A) 6. (A) II PARTE m 1. v (t) = t ; a (t) = m aos,5 s s.1 1 m. 10 m /s ; 0 m / s. 5 m/s ; - 5 m/s ; São iguais em valor absoluto, mas para t = 1 a bola estava a subir e para t = a bola encontrava-se a descer.4 v (t) = - 10 t t = 1,5 s ; a altura máima é de,5 m.6 a (t) = v (t) = - 10, a aceleração é de 10 m/s, sendo o movimento uniformemente retardado. y = (1, ) y = y = m / s 6. 4 m / s 6. a partir dos,87 s 7.1 Área inicial: 6 cm ; Ao fim do 1º dia: 8,5 cm 7. A (0) = 5 cm / dia 5 4 1

14 7. tmv [0, 1] =,5 cm / dia e tmv [1, ] = - 0,5 cm / dia ; Isto significa que no 1º dia a infecção aumentou, enquanto que no º dia estava já a diminuir com rapidez inferior à do aumento do 1º dia. No º dia diminui ao mesmo ritmo do º dia, pois tmv [, ] = - 0,5 cm / dia 8.1 T (1) = - 11º C / hora, significa que 1 hora depois de se terem activado os procedimentos de emergência, a temperatura estava a descer à taa de 11º C por hora 8. Das 0h à 1h 1m e a partir das 7h 9.1 º º , 10.1 k = º ºC / min 10.5 A arrefecer, porque f (0) < Não, porque f (10 + ) = - 1 e f (10 - ) = Não, porque não eiste derivada em = 1.1 Não, as derivadas laterais são diferentes 1. Nada se pode concluir quanto à continuidade, porque não há derivada finita em = f '( ) = 14. y = ( + ) 15. k = a = - e b = 17.1 Não, porque h () = 17. h '( ) = 9 ( ) 17. Verdadeira porque h () = - 9 é um número finito,, > < D = 18. Crescente:, e em ] 1, + [ ; Decrescente:, Máimo: para = ; Mínimo: 0 (para = 1) 18.4 Concavidade voltada para cima:, + ; Para baio:, 18.5, = + ; h (0) = - 10 h'( ) Crescente em ], 5 [ ; Decrescente em ] -, [ e em ] 5, + [ Mínimo relativo: h () = 9 ; Máimo relativo: h (5) = Concavidade voltada para cima em 7, ; Voltada para baio em 7, + Ponto de infleão: 7 9, 4 14

15 y = y =,5 10, V 0. F 0. V 0.4 V Para t = 1 a área tem o máimo de 10,5 1. Estabiliza em º às 15 h. 1º às 0 h. f (10) = 0,65 ºC / hora.1 tvm [0, ] = 17,9 ºC / minuto. Velocidade de aquecimento no instante t = ; 7,65 ºC/minuto. Temperatura máima = 69,5 ºC para t =, min.4 Sim, no ponto de abcissa 0. Corresponde ao momento em que a velocidade de arrefecimento tem o seu valor mais baio 4.1 Tem uma A V. : = 0 4. Tem um mínimo em 5.1 = 4., 1 r ( 0) =, é o comprimento, em cm, do raio da nódoa no instante em que foi detectada lim t + r ( t) = 4, é o maior comprimento, em cm, que o raio da nódoa pode atingir r ( t) r (0) 7 5. lim = cm / s, define a velocidade de crescimento do raio da nódoa no + t 0 t 4 instante em que foi detectada 5.4 5,7 s 6.1 a = 4,6 e b = 0,1 6. T (0) = - 10º C/min.; T (1) = - 9º C/min 6. 5 m º C 7. Verdadeira, porque f (t) < º C 7.5 m 8s 7. Assimptota horizontal: y = 0; Sempre decrescente; Concavidade voltada para cima 8.1 y = 8. Concavidade voltada para cima: ] -, - 4 [ e em ] 1, + [; Concavidade voltada para baio: ] 4, - 1 [ ; Pontos de infleão: (para = - 4 e para = - 1) 8. A. V. : não tem ; A. H. : y = 0 (quando ) 9.1 Crescente: ], + [ ; Decrescente: ] -, 1 [ e em ] 1, [ ; Mínimo: e ( = ) 9. S = { } 9. A. V. : = 1 ; A. H. : y = 0 (quando ) 0.1 f (0) f (0) =, m m 1.1 Como a função é contínua em [0,5 ; 1] e sendo C (0,5) = 0,86 < 1 e C (1) = 1,48 > 1, logo pelo Teorema de Bolzano eiste um t 0 [0,5 ; 1] tal que C ( t 0 ) = h 0m.1 0,1 s e,08 s., para t = ln. 0; A concentração no sangue da substância injectada aproima-se de zero após um longo período de tempo.1 D = + ; Zeros: ln. Crescente em +. y = ln y = 4. Como f admite derivada finita em =1 ( f (1) = 1), logo é contínua nesse ponto 4. Concavidade voltada para cima: ] - e, 0 [ e ] 0, e [; Para baio: ] -, - e [ e ] e, + [ ; 15

16 5.1 y = 1 5. Como f admite derivada finita em = 1 ( f (1) = 1), logo é contínua nesse ponto 5. Concavidade voltada para cima: ] 0, 1 [; Concavidade voltada para baio: ] 1, + [; Ponto de infleão: (1,0) 6.1 5,4 m 6. Decrescente em ] 0, 5 [ ; Crescente em ] 5, 10 [ ; Mínimo no ponto de abcissa 5 6. h ( 5 ) = h(5 + ) = 15 4 ln (- + 6) e significa que a altura de dois quaisquer pontos equidistantes do ponto médio situado a 5 metros da parede A é a mesma 7. 1, 9.1 y = + e 9. A.V. : não tem ; A. H. : y = 0 (quando - ) 40.1 Mínimo: f (0) = 1 ; Máimo: f () 40. g () = f () 4 e como g (- 1) = - + e > 0 e g (0) = - < 0, então pelo CTB está provado 16