Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa Primavera 2004/2005. Cálculo I. Caderno de Exercícios 4

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1 Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa Primavera 2004/2005 Cálculo I Caderno de Eercícios 4 Limites, continuidade e diferenciabilidade de funções; fórmulas de Taylor e MacLaurin; estudo de funções. António Antunes Louis Serranito Patrícia Xufre Rui Sousa Monteiro Manuela Ducla Soares

2 Domínios e ites. Qual o domínio das funções reais de variável real definidas por: (a) f () = (b) f () = 3 (c) f () = p ( ) ( +2) (d) f () = (e) f() =(ln) 2 (f) f() = ln 2 (g) f() =lnln(+) (h) f() = sen 2 (i) f() = 3 (j) f() =ln(+e ) (k) f() = Seja g a função definida no intervalo ],e [ por µ g() =ln (a) Esboce o gráfico de g. (b) Mostre que g é crescente mas não estritamente crescente no seu domínio, e indique o maior intervalo em que g é estritamente crescente (i.e., um intervalo I no qual g seja estritamente crescente sem que o mesmo se passe em qualquer intervalo J distinto de I que contenha I). (c) Indique, justificando, se g é ou não itada e se tem máimo e mínimo. 3. Prove, utilizando a definição de ite, que: (a) Sendo f() =2, a f() =2a. (b) Sendo k,k 2 R e f() =k + k 2, a f() =k + k 2 a. (c) Sendo f() = sen, 0 f() =0. 4. Calcule os seguintes ites: (a) ³ (b) 2 0 e (c) + e + (d) 2 Continuidade (e) 0 2 (f) + 4 e (g) 0 + (h) 0 e (i) + cos(e ) 2 + sen ( 2 ) (j) 0 sen (3) (k) + µ 2 cos (l) 0 sin (m) Estude quanto à continuidade em cada ponto dos respectivos domínios as seguintes funções: (a) f() = + 2 ln (b) f() =ln 2 (c) f() = ln ln( + ) (d) f() = sen 2 2. Prove pela definição que: (a) A função f() =2 écontínuaem =.

3 (b) A função f() = écontínuaem =4. (c) A função f() = 2 écontínuaem =2. 3. Considere a função ( se f() = se < (a) Esboce o gráfico da função. (b) Esboce o gráfico da função g, definida no mesmo domínio e tal que g() = f(). (c) Estude as duas funções do ponto de vista da continuidade em cada ponto pertencente a R. Indique se as funções têm máimo ou mínimo (nos respectivos domínios) e, no caso de eistirem,indiqueosseusvaloreseospontos do domínio das funções em que são atingidos. 4. Seja f a função real de variável real definida por f() = 2 sin( 2 ) se >0 se =0 e sin se <0 (a) Indique, justificando, o domínio de f. (b) Diga, justificando, se f é majorada, minorada, itada. (c) Estude f quanto à continuidade em cada ponto do seu domínio. Justifique cuidadosamente asuaresposta. 5. Comente a frase: A eistência de ite num ponto equivale à continuidade nesse ponto. (Sugestão: considere uma função f e suponha os casos em que o ponto pertence ou não ao domínio da função; ilustre as duas situações.) 6. Estude a possibilidade de prolongamento por continuidade ao ponto de abcissa =0das seguintes funções: (a) f () = sin (b) f () = 2 sin 7. Seja f a função real de variável real definida por f() = ( e se <0 ln( ) + 2 se >0 (a) Calcule f() e + f(). (b) Justifique que f écontínuaemtodooseudomínio. (c) Mostre que f é prolongável por continuidade ao ponto 0. (d) Sendo g afunçãoqueresultadef por prolongamento por continuidade ao ponto 0, justifique que g tem máimo e mínimo em qualquer intervalo [ ², ²] com ²>0. Indique, justificando, o valor de ma [ ²,²] g(). 8. Seja f() =tan(). Determine, no caso de eistirem, os zeros da função no intervalo [ π 4, 3π 4 ]. Contraste o resultado com o teorema de Bolzano.

4 9. Mostre que a equação sen 3 +cos 3 =0tem pelo menos uma raiz no intervalo ]0, π[. 0. Seja f uma função contínua em R, com ites positivos quando + e quando etalquef(0) < 0. Prove que: (a) A equação f() =0tem pelo menos duas raízes reais; (b) Eiste um ponto c R tal que, qualquer que seja R, f(c) f(). 3 Diferenciabilidade. Determine, usando a definição, a função derivada das funções 2. Calcule a função derivada das funções: f() =ln, f() = sen, f() =cos e f() =e (a) 6 9 (b) π 5 (c) (d) (e) 3 2 (f) (5 +3) 4 (4 3) 7 (g) (h) (i) 2 (j) 2 2 q (k) ( 0 se 0 (l) e se <0 (m) sin (5 2) (n) sin 3 (o) sin 3 (p) sin (q) cos 5 + (r) cos 3 4 (s) tan 5 (t) tan(sin ) (u) tan 2 sin 3 (v) 2 e (w) e + e () e (y) ln (z) ln 3. Derive as seguintes funções: ³ (a) ln (b) 2 ln 2 +2 (c) ln ln (d) (ln ) ln 4. Estude a derivada em =0das seguintes funções: (a) f()= ( se <0 2 se 0 (b) f()= ( se R\{0} 0 se =0 (c) f() = Determine a derivada de ordem n de e a e sen a, coma>0. 6. Considere a função f() =e. (a) Calcule o diferencial e o acréscimo da função para os pontos =, =2e =4para um mesmo acréscimo d =0.0. (b) Construa um quadro onde compare os sucessivos diferenciais com os respectivos acréscimos. (c) O que pode concluir da forma da função? 7. Considere a função y =

5 (a) Determine o seu diferencial. (b) Considere uma variação de de 5 para 5.0. Qual a variação de y resultante desta variação de? Compare esta variação com a aproimação de primeira ordem a partir do diferencial. Repita o eercício para 5.02 e (c) Observe graficamente a origem das diferenças entre a variação real e a aproimação. 8. Use o diferencial para determinar um valor aproimado de Comente as afirmações: (a) Se uma função f : R R é contínua então é diferenciável. (b) Uma função f : R R é diferenciável só se for contínua. (c) Se uma função f : R R tem derivada finita então é contínua. (d) Se uma função f : R R temumetremolocalnopontoa, entãof 0 (a) =0. 0. Dê um eemplo, sempre que possível, de uma função que seja: (a) Contínua no ponto 0, fe(0) 0 = 0 e fd 0 (0) = 2. (b) Descontínua no ponto 0, fe(0) 0 = 0 e fd 0 (0) = 2. (c) Contínua no ponto 0, f 0 (0) =. (d) Contínua no ponto 0, fe(0) 0 = 0 e fd 0 (0) = +. (e) Descontínua no ponto 0, fe(0) 0 = 0 e fd 0 (0) = +. (f) Tal que f 0 () =0para ]2, 3[. (g) Contínua no ponto 0, fe(0) 0 = e fd 0 (0) = +.. Utilizando a regra de derivação da função inversa, determine a derivada das seguintes funções, nos pontos indicados: (a) ln() em = e (b) e em =0 (c) p em =,comp N (d) 2 em =4 (e) y =arcsin em = 2 2. Se f for diferenciável em certo ponto a, poderáafirmar-se que f é diferenciável no ponto correspondente a b = f(a)? (Nota: Utilize a função f() = 3 para eemplificar a sua resposta). 3. Seja a função g() = ( 2 se =3 3 se 6= 3 (a) Verifique que g() = g(3). (b) Constate que g 0 () > 0, ], 3[. (c) Os resultados anteriores contradizem o Teorema de Rolle? Eplique. 4. Seja a equação =0. (a) Prove que esta equação tem pelo menos uma raiz real no intervalo [ 2, 3]. Justifique, enunciando o teorema em que se baseou. (b) Prove, utilizando o teorema de Rolle, que a mesma equação tem eactamente uma raiz real naquele intervalo.

6 5. (a) Enuncie o teorema de Lagrange. (b)sejaafunçãof() = definida no intervalo I =[0, ]. Façaumesboçodacurvaque representa f. Determine a equação da tangente à curva que é paralela ao segmento que une os pontos (0, 0) e (, ). 6. (a) Sejam f e g duas funções definidas num dado intervalo, tais que f 0 () =g 0 () para todo o desse intervalo. O que pode dizer sobre a diferença f () g ()? Justifique a sua resposta, enunciando o corolário do teorema de Lagrange que é apropriado nesta situação. (b) Sejam f () = e g () = +. Mostre que estas funções têm a mesma derivada, de modo que [f () g ()] 0 =0. Contudo, a sua diferença f () g () não é constante. Eplique como é que isto é possível à luz do corolário referido na alínea anterior. 7. Use o teorema de Rolle para provar que, independentemente do valor de b, hánomáimoum ponto no intervalo [, ] para o qual b =0. 8. Seja f() = p. Mostre que f() = f( ). Será legítimo aplicar o teorema de Rolle à função f no intervalo [, ]? Justifique a sua resposta. 9. Considere a seguinte função real de variável real: f (t) = ln( t+2 ) e t. (a) Indique, justificando, o domínio de f. (b) Estude f quanto à continuidade e à diferenciabilidade. (c) Enuncie o teorema de Rolle. Utilizando este teorema, o que pode concluir quanto à eistência de um ponto de estacionaridade de f no intervalo ] 3, [? (d) Seja f [0,+ [ a restrição da função f ao intervalo[0, + [. i. Mostre que f [0,+ [ é uma função invertível. (Nota:pode ser conveniente saber que ln (2) > 2.) ii. Calcule o valor da derivada da função inversa de f [0,+ [ no ponto ln (2). (Eame de Cálculo I, 28/0/2005) 4 Indeterminações. Mostre que: tan 6 (a) 0 tan 3 = 2 (b) e + e 0 + (c) (d) 2 =+ 3ln(2 ) = 3 e 2 =0 2. Calcule os ites: sen (a) 0 tan a b (b),coma, b > 0 0 µ (e) ln = arctan ( ) 2 (f) (sen cos ) sen ( π 4 ) π = 4 (g) + (2) 2 = + (h) 0 (cos ) cot2 = e 2 (c) + ln ( + e ) ln tan (d) π ln cos 2

7 (e) e 0 µ (f) 0 sen 2 (g) (cos ) 2 0 (h) + (ln ) tan 2 (i) (tan ) π 4 5 Fórmulas de Taylor e Maclaurin. Seja I =[a, b], a<b, um intervalo de R esejaf : I R uma função com segunda derivada finita e maior do que zero em todos os pontos de I. (a) Sendo c I e y =g() a equação da tangente ao gráfico de f no ponto (c, f(c)), determine g(). (b) Mostre que f() >g() para todo o I \{c}. 2. Prove, recorrendo à fórmula de Maclaurin, que, se a função f : R R verifica a condição f (n) () =0, para todo R, então f() é um polinómio em de grau menor do que n. 3. Desenvolva, sempre que possível e até à 3 a ordem, em série de Maclaurin: (a) f() = (b) f() = + (c) f() =e (d) f() =sin (e) f() =cos (f) f() =e sen. Escreva o valor aproimado de f em =0.2 ecalculeummajorante para o erro. (g) f() =ln( +). Calcule aproimadamente ln(.5) e um majorante para o erro. 4. Desenvolva em série de Taylor, sempre que possível até à 3 a ordem e em torno do ponto, as seguintes funções: (a) 2 2 (b) (c) ln( ) 5. Calcule o número e comumerroinferiora Calcule 3 q 5 4 comumerroinferiora Comente as seguintes afirmações: (a) Sendo o erro que se comete quando se toma f(a) +f 0 (a)( a) em vez de f() dado aproimadamente por 2 f 00 (a)( a) 2, este erro é não negativo quando a função é convea. (b) O polinómio de Maclaurin de 2 o grau que aproima a função f() =e 2 é um polinómio completo (um polinómio completo do 2 o grau tem a forma a 2 + b + c, coma 6= 0, b 6= 0 e c 6= 0). 8. Comente a seguinte afirmação: Se y = f() é uma função diferenciável em = c, então f(c + h) f(c) f 0 (c)h se h for pequeno.

8 9. Seja a função f() = 3. (a) Determine a equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa =. (b) Calcule aproimadamente o valor de 3.. (Utilize uma aproimação linear.) (c) Apresente um ite superior do erro cometido na aproimação calculada na alínea anterior. 6 Estudo de funções. Estude o domínio, contradomínio, pontos de intersecção com os eios, continuidade, diferenciabilidade, etremos e intervalos de monotonia, pontos de infleão e concavidade, assímptotas e represente graficamente as funções definidas por: (a) y = 3 +8 (b) y =( ) ( +2) (c) y = + (d) y = (e) y = 3 2. Estude o domínio, contradomínio, pontos de intersecção com os eios, continuidade, diferenciabilidade, etremos e intervalos de monotonia, pontos de infleão e concavidade, assímptotas e represente graficamente as funções definidas por: (a) 3 (b) (ln ) 2 (c) ln 2 (d) ln (e) e (f) e (g) + (h) sen (i) ln ln( + ) 3. Seja a função g() = ( 2 2 e se 6= 0 se =0 (a) Estude a continuidade de g. (b) Determine os etremos de g. (c) Determine os pontos de infleão de g. (d) Determine as assímptotas. (e) Faça a representação gráfica da função g. 4. Seja a função f() = se 6 2, e +se >2. (a) Determine o domínio D de f. (b) Estude f, quanto à continuidade, em todos os pontos do domínio. (c) Estude f, quanto à diferenciabilidade, em todos os pontos do domínio. (d) Sejaafunçãog : R R tal que g() =. Calcule as derivadas laterais de g no ponto =0. O que conclui sobre a diferenciabilidade de g em =0? (e) Calcule, se eistirem, (g f) 0 (2), (g f) 0 (0) e (g f) 0 (), emqueg f é a função composta de g e f, e(g f) 0 a sua derivada.

9 5. Seja f a função real de variável real definida por f() = 2 +. (a) Defina função ímpar. Verifique que f é uma função ímpar. (b) Prove que a derivada de uma função ímpar é uma função par. Determine f 0 everifique que, neste caso, assim é. (c) Determine os etremos de f e os intervalos de monotonia. (d) Quais os pontos de infleão do gráfico de f? (e) Determine as assímptotas. (f) Esboce o gráfico de f. 6. Seja a função f tal que f() = ln( 2 ) para 6= 0e f(0) = 0. (a) Defina função ímpar. Verifique que f éímpar. (b) Calcule + f() e f(). (c) Qual é o domínio? E o contradomínio? (d) A função f écontínuanoseudomínio.justifique. (e) Calcule a função derivada de f. Determine os máimos e os mínimos de f, seoshouver, assim como os intervalos de monotonia. (f) Calcule a segunda derivada. Mostre que a função tem um ponto de infleão em =0. O que tem a dizer sobre a eistência do ponto de infleão e o valor da segunda derivada nesse ponto? (g) A função tem assímptotas? Justifique a resposta. (h) Faça o gráfico da função. (i) Mostre, calculando o integral, que R f() d =0. Comente este resultado, com base na interpretação geométrica do integral definido. 7. Seja f uma função tal que f() =ln 2 +. (Eame de Cálculo I, /2/2003) (a) Defina função par. Verifique que f épar. (b) Calcule + f() e f(). (c) Qual é o domínio? E o contradomínio? (d) A função f écontínuanoseudomínio.justifique. (e) Calcule a função derivada de f. Determine os máimos e os mínimos de f, seoshouver, assim como os intervalos de monotonia. (f) Calcule a segunda derivada. Determine os pontos de infleão de f, seoshouver, assim como os intervalos de concavidade e de conveidade. (g) A função tem assímptotas? Justifique a resposta. (h) Esboce o gráfico da função f. 8. Seja a função f tal que f() = 2. (a) Qual é o domínio? E o contradomínio? (b) A função f écontínuanoseudomínio.justifique. (Eame de Cálculo I, 6/6/2003)