Escola Secundária/3 da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática Ano Lectivo 2003/04 Derivadas º Ano

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1 Escola Secundária/ da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática Ano Lectivo /4 Derivadas - º Ano Nome: Nº: Turma: Uma bola desce um plano inclinado A distância d, em centímetros, percorrida pela bola em função do tempo t, em segundos, é dada por para t d t + t, a) Represente graficamente a função d na situação descrita b) Determine a velocidade média da bola no º segundo de movimento c) Qual será a velocidade da bola no instante t segundos? d) Em que instante terá a bola uma velocidade de 6 cm/s? e) Construa o gráfico da velocidade da bola em função do tempo Um projéctil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade inicial de m/s A sua distância ao solo, em metros, após t segundos é d( 4,9 t + t a) Qual é a altura máima que o projéctil atinge? b) Em que instante chega ao solo? c) Qual é a velocidade do projéctil em cada instante? d) Com que velocidade chega ao solo? e) A aceleração é a taa de variação (instantânea) da velocidade Qual é a aceleração do projéctil no instante t? f) Compare os gráficos da altura, velocidade e aceleração do projéctil Rectângulos de área Considere os rectângulos de área cm Seja P a função que a cada (medida da base) faz corresponder o perímetro do rectângulo a) Mostre que P( ) +, para > b) Determine os valores de para os quais o perímetro é inferior a cm c) Mostre que dp d, para > d) Determine os intervalos de monotonia de P e as dimensões do rectângulo que tem perímetro mínimo 4 A evolução da temperatura do ar em Lamego entre as e as 4 horas do dia de Janeiro foi dada pela função T ( h) + h +, com T em graus centígrados e h em horas h a) Determine a taa de variação da temperatura às horas do dia de Janeiro b) Sabendo que T '( h), determine os intervalos de monotonia de T e o instante (com aproimação ( h ) ao minuto) em que foi máima a temperatura do ar nesse dia c) Escreva a equação reduzida da recta que é tangente ao gráfico de T no ponto de abcissa h

2 No referencial ortonormado da figura, considere: Seja B o ponto de coordenadas (, ) A cada ponto C (, ) do eio O, com >, faz-se corresponder um ponto D (, y) do eio Oy, de modo que B, C e D sejam colineares a) Mostre que: a) y eprime y em função de (para > ) a) A área A () do triângulo [OCD] é dada por A ( ) ( > ) D (, y) O (, ) B (, ) 4 C (, ) b) Sabendo que ( ) A '( ) (A' designa a derivada de A): ( ) b) Determine o maior intervalo onde A é crescente e o maior intervalo onde é decrescente b) Determine, com aproimação às centésimas, o perímetro do triângulo [OCD] que tem área mínima 6 O custo marginal A taa de variação do custo relativamente ao número de unidades produzidas chama-se custo marginal Um fabricante de pequenos motores estima que o custo da produção de motores por dia é dado por C( ) (em euros) a) Compare o custo marginal da produção de motores com o custo da produção do 6º motor b) Complete a tabela ao lado Nº de motores C () médio C ( ) marginal do motor C '( ) C ( ) C( ) º º 4º 4 º 6º 6 7 Uma caia com a forma de um paralelepípedo de base quadrada de lado cm tem uma área total de cm 7 a) Mostre que o volume do paralelepípedo é dado pela epressão V( ) b) Determine as dimensões da caia, sabendo que ela apresenta o volume máimo para a área total indicada 8 Na praia Pretende-se vedar com uma fita de flutuadores uma zona rectangular com metros quadrados de área, para banho das crianças, como mostra a figura Se cada metro da fita de flutuadores custar, qual deverá ser o valor de e de y para que o gasto na compra seja mínimo? 9 Um agricultor dispõe de para construir uma vedação com forma rectangular A vedação deve ser feita do seguinte modo: Um dos lados em muro de tijolo Nos três lados restantes, com rede Cada metro de rede custa e cada metro de muro de tijolo fica em Qual é a área máima que o agricultor consegue vedar nestas condições?

3 Uma janela é formada por um rectângulo e por um semicírculo, conforme indicado na figura O perímetro da janela deve ser igual a metros Pretende-se encontrar as dimensões da janela a fim de que a abertura tenha uma área máima a) Eprima o perímetro da janela em função de e de y b) Retire da epressão anterior o valor de y em função de c) Para que valores de se tem y >? d) Utilizando os resultados anteriores, mostre que a área se pode escrever na forma e) Determine para que valores de e de y a área da janela é máima 4 + π a( ) y Numa etapa da Volta a Portugal em Bicicleta, dois ciclistas, A e B, cortam uma meta de prémio da montanha ao mesmo tempo e iniciam uma descida de 4 metros A partir desse instante, as distâncias percorridas são dadas em função do tempo por: + d(,4 t 6t, para o ciclista A o gráfico ao lado, para o ciclista B com d em metros e t em segundos a) Qual dos ciclistas chegou primeiro ao fim da descida? Justifique Determine as respectivas velocidades médias (em quilómetros por hora) nesse percurso de 4 metros b) Determine, o mais rigorosamente possível, a velocidade (em quilómetros por hora) do ciclista B no instante t segundos Descreva os seus procedimentos c) Nesse percurso de 4 metros e relativamente ao ciclista A: c) Calculando o valor da tmv [, + h] de d quando a amplitude do intervalo tende para zero, mostre que a sua velocidade (em metros por segundo) variou ao longo do tempo (em segundos) segundo a relação v (,8 t + 6 c) A sua aceleração foi maior no momento em que cortou a meta de prémio da montanha ou no momento em que chegou ao fim da descida? Justifique Na figura B o triângulo [ABC] é isósceles ( AB BC ) [DEFG] é um rectângulo DG ; DE ; AD a) Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada em função de, por E H F a( ) + + ( > ) J A D G C NOTA: Pode ser-lhe útil reparar que os triângulos [ADE] e [EHB] são semelhantes b) Sabe-se que a' ( ) (a' designa a derivada de a) Estude a monotonia e etremos da função definida em IR por a () e interprete os resultados relativamente à situação inicialmente apresentada +

4 SOLUÇÕES c) A equação pedida é T,h + 8 a) b) A função é decrescente em ], ] em [, + [ e crescente b) O triângulo de área mínima tem de perímetro,47 ( cd) b) cm/s 6 c) 7 cm/s a) C '() 8 e C ( 6º ) C(6) C() 8, d) No instante t segundos e) 7 b) 7 V'( ) ; Dimensões da caia: cm cm cm 4 4 a) 7 metros, aproimadamente b) Decorridos 4, segundos, aproimadamente c) No instante t a velocidade é, em metros por segundo, dada por v ( d'( 9,8 t + d) m/s (- m/s) e) No instante t a aceleração é, em m/s, dada por a ( v'( d' '( 9,8 f) b) O perímetro é inferior a cm para valores de,, em centímetros ] [ d) P é decrescente em ], [ ], + [ ; e crescente em é um minimizante O rectângulo que tem perímetro mínimo é um quadrado de lado cm a) Às horas do dia de Janeiro, a taa de variação da temperatura foi de,9 ºC/h, aproimadamente b) T é estritamente crescente no intervalo [, [ intervalo ], 4] e estritamente decrescente no A temperatura máima nesse dia ocorreu aproimadamente às h 8m 8 O gasto mínimo é de 4, para e y metros 9 Nestas condições, o agricultor consegue vedar uma área máima de, m a) P ( + π ) + y b) P ( + π ) y c) Como P, então e) y 4 + π a) O ciclista B chegou primeiro Em m/h, as velocidades são 6 v ma 6 7,6 e 4 v mb,6 6 4 < ( > ) + π b) A velocidade pedida é aproimadamente v 7,,6 6 m/h c) A aceleração do ciclista A foi constante e igual a,8 m/s b) A área mínima do triângulo [ABC] é 4 unidades de área, sendo obtida para + Quando ou +, então a () + Portanto, quando varia no intervalo ], + [, a área do triângulo considerado decresce desde um valor infinitamente grande positivo até ao valor mínimo 4 (para ), passando depois a crescer, atingindo novamente valores infinitamente grandes positivos O Professor

5 Escola Secundária/ da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática Ano Lectivo /4 Derivadas - º Ano Proposta de Resolução: a) d() d() b) Ora, v m [ ] A velocidade média da bola no º segundo de movimento é de cm/s, + c) Como d' ( 6t 6t, então d '() A velocidade da bola no instante t segundos é 7 cm/s ± + 4 d) Ora, 6t + 6t 6 t + t 6 t t t Como t, o instante procurado é t segundos e) A velocidade da bola, em função do tempo, é dada pela epressão v( 6t 6t, cuja representação gráfica pode ser: + a) Fazendo uma representação da função considerada no conteto da situação, temos: b) A altura máima que o projéctil atinge é aproimadamente 7 metros (O valor eacto é d ( ) 4,9 ( ) + metros) (Porquê?) Decorridos 4, segundos, aproimadamente, o projéctil chega ao solo (O valor eacto é t segundos) (Porquê?) c) No instante t (entre o momento em que é lançado e o momento em que chega ao solo), a velocidade do projéctil é, em metros por segundo, dada por v ( d'( 9,8 t + d) Como v ( ) 9, , o projéctil chega ao solo com uma velocidade de m/s (Porquê negativa?) e) No instante t (entre o momento em que é lançado e o momento em que chega ao solo), a aceleração é, em m/s, dada por a ( v'( d' '( 9, 8

6 f) Apresentam-se os três gráficos construídos no mesmo referencial, mas com uma janela de visualização de menor amplitude vertical para que seja possível observar o relativo à aceleração: (Veja os gráficos apresentados na solução) a) Designado por y a altura do rectângulo, será y y Logo, o seu perímetro é dado por P( ) + +, para > + + ( )( ) b) Ora, + < < < < Tendo em consideração as propriedades da função quadrática, as regras de sinal da divisão e que é >, podemos concluir imediatamente (porquê) que o perímetro é inferior a cm para valores de ],[, em centímetros, evitando, desta forma, construir uma tabela de variação de sinal c) Ora, dp d ( + )' ()' + ( )' + ( ), para > d) Como dp P' ( ) e P ( ) + +, vem: d P '( ) P () Mín Como, então y Logo, o rectângulo que tem perímetro mínimo é o quadrado de lado cm 4 a) Ora, + + ( ) + + tmv 7 [, + )] > ( ) 7 ( ) 7( ) ( ) 7( ) ( ) Quando, tmv [, + ] Isto é, T '( ) 7 Logo, às horas do dia de Janeiro, a taa de variação da temperatura foi de,9 ºC/h, aproimadamente 6

7 ( h ) b) Como T '( h) e ( h ) ( h ) h ±, vem: ( h ) ( h ) h 4 ( h ) ( h ) T '( h) T (h) 44 Mín Má Mín T é estritamente crescente no intervalo [, [ e estritamente decrescente no intervalo ], 4] A temperatura máima nesse dia ocorreu aproimadamente às h 8m c) O ponto de tangência tem coordenadas P (, T()) (, ) e a recta tem declive m T '(), Portanto, uma equação da recta tangente ao gráfico nesse ponto é da forma T, h + b, donde, + b b 8 Logo a equação pedida é T,h + 8 a) Tendo em consideração a semelhança dos triângulos [DOC] e [BAC] ( A (, ) ), temos DO OC y, donde BA AC Logo, y, para > OC OD a) A [ OCD ] A( ), para > b) No conteto da situação é > e A () 4, logo: D (, y) B (, ) C (, ) O (, ) 4 + ( ) ( ) A '( ) A () 4 Mín A função é decrescente em ], ] e crescente em [, + [ b) Concluímos na alínea anterior que a área é mínima para Logo, o triângulo de área mínima tem de perímetro P , 47 (u c) Eplore a animação GSP: 7

8 6 a) Como C' ( ) 6, então o custo marginal da produção de motores é C '() 6 8 O custo da produção do 6º motor é C ( 6º ) C(6) C() , 6 Os valores considerados são sensivelmente iguais b) Nº de motores C () médio C ( ) marginal do motor C '( ) C ( ) C( ),,, º, 4,, 47, º,67 96,67 98,89 4,44 4º,8 4, 88, 6,88 º 7, 4, 8, 8, 6º 8, 6 468, 78,6 8,6 7º 8,8 7 a) Designado por y a altura da caia, será + 4y, donde y 4 7 Logo, o volume do paralelepípedo é dado por V( ) b) Como V'( ) e m, o maimizante procurado é Assim, a altura da caia é y, pelo que ela é cúbica: cm cm cm 4 8 Como a área a vedar tem metros quadrados, então y y 4 Logo, o comprimento da fita de flutuadores é dado por P( ) Sendo P' ( ) e P ( ) + 4, temos: P '( ) P () 4 Portanto, o gasto mínimo é de 4, para e y metros Utilizando a calculadora gráfica, podemos obter: Mín 8

9 9 Designado por e y as dimensões da vedação e considerando a verba disponível, temos + ( + y), donde y, com < < Logo, a área a vedar, epressa em função de, é dada por: A( ), com < < Sendo A' ( ) 4 e A (,),,,, temos:, A '( ) + - A (), Portanto, nestas condições, o agricultor consegue vedar uma área máima de, m Má π a) Ora, P + y + ( + π ) + y b) Da epressão anterior, vem P ( + π ) y y c) Como P, então ( + π ) y Logo, tem-se y > para < ( > ) + π d) Ora, ( + π ) π (4 + π ) π 4 + π a( ) + + e) Sendo a '( ) (4 + π ) e 4 + π, a ( ), temos: 4 + π 4 + π (4 + π ) 4 + π 4 + π a '( ) + - a (), 4 + π Má + π Portanto, a área é máima para y, pois 4 + π ( + π ) + π + π π y π 4 + π a) Por observação do gráfico, conclui-se que o ciclista B demorou 4 s a percorrer a descida de 4 metros Vejamos quanto tempo demorou o ciclista A: 6 m m 6,4t + 6t 4,4 t + 6t 4 t t t 4 t,8,8 Como é t >, o ciclista A demorou s a percorrer a mesma distância Como os ciclistas iniciam a descida ao mesmo tempo, conclui-se que o ciclista B chegou primeiro ao fim da mesma 4 Nesse percurso de 4 metros, as respectivas velocidades médias, em m/s, são: v ma 6 e v mb 6,(6) Reduzindo a m/h, temos v ma 6 7, 6 e v mb,

10 b) A velocidade nesse instante é a taa de variação da função d para t segundos, que sabemos ser igual ao declive da recta tangente ao gráfico de d nesse ponto Assim, desenhando essa recta o mais aproimadamente possível, concluímos que passa nos pontos de coordenadas (, ) e (, ), pelo que o seu declive é m 7, Portanto a velocidade pedida é aproimadamente v 7,,6 6 m/h c) Sendo [, ] e h >, temos: tmv [ + h],,4(,4,8,8 + h) +,8 h +,4 h + 6( h +,4 h + 6 h h +,4 h + 6 h + h),4 + 6 h h,4 6 Quando a amplitude do intervalo tender para zero, isto é, quando h, virá tmv[ ],8 6 Ou seja, tv ) d'( ),8 6 e, portanto, v (,8 t + 6, cqm ( +, + h + c) Como sabemos, a ( v'(, 8 Portanto, nesse percurso de 4 metros, a aceleração do ciclista A foi constante e igual a, 8 m/s B a) Tendo em consideração a sugestão, é BH EH BH, donde BH ED AD Assim, A[ ABC] A[ DEFG] + A[ ADE] + A[ BEF] Logo, a( ) + + ( > ), como se pretendia A E D H J G F C c) (Note que + >, IR e tenha em consideração o sinal da função quadrática (negativa entre os zeros)) + a' ( ) a () 4 A área mínima do triângulo [ABC] é 4 unidades de área, sendo obtida para + Quando ou +, então a () + Portanto, quando varia no intervalo ], + [, a área do triângulo considerado decresce desde um valor infinitamente grande positivo até ao valor mínimo 4 (para ), passando depois a crescer, atingindo novamente valores infinitamente grandes positivos (Desloque mentalmente o ponto A ao longo da semi-recta D & A ) Eplore a animação GSP: O Professor