Exercícios para as aulas PL

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1 Eercícios para as aulas PL Generalidades sobre funções reais de variável real. FichaPL0. Considere os seguintes gráficos de funções reais de variável real: A y B y C D y y (a) Para cada uma das correspondentes funções: i. Indique o domínio e o contra-domínio ii. Determine os zeros e estude o sinal iii. Estude quanto à injectividade e bijectividade iv. Estude quanto à paridade v. Estude os intervalos de monotonia e os etremos (relativos e absolutos) vi. Estude as concavidades e os pontos de infleão vii. Diga se é limitada. (b) Associe cada uma das seguintes funções com o respectivo gráfico: f ()= + f ()= 9 f 3 ()=4 f 4 ()= 3. v/06

2 . A partir do gráfico e sem efectuar cálculos, indique o declive de cada recta: r s t y 7 y 7 y Determine uma equação da recta nas condições indicadas e esboce-a: (a) recta que passa pelo ponto(3, ) e tem o declivem=3 (b) recta que passa pelos pontos( 3, 4) e(,4) (c) recta que passa pelos pontos(5,) e(5,8) (d) recta que passa pelo ponto(,) e é paralela à recta4 y=3 (e) recta que passa pelo ponto(,) e é perpendicular à recta4 y=3. 4. Determine o domínio e esboce o gráfico da função: (a) f()= 5 (b) f()= + (c) f()= 6 (d) f()= +3 (e) f()= 3 (f) f()= 3 + (g) f()= (h) f()= e (i) f()=ln( 4) (j) f()=e (k) f()= cos. 5. Determine o domínio da função: (a) f()=ln (b) f()= ln( ) (c) f()= 3 + e 4 (d) f()=e ln. Fim ii

3 Eercícios para as aulas PL FichaPL Cálculo de limites. Indeterminações.. Calcule, caso eista, cada um dos seguintes limites: + (a) lim 0 + (b) lim 3 (c) lim 3+ (d) lim 3+ + (e) lim + (f) lim (g) lim 3 3+ ln( 3) (h) lim 0 sen() (i) lim 0 + tg (j) lim 0 e (k) lim 3 0 e (l) lim sen( ) (m) lim + sen sen (n) lim + ln(+) (o) lim + (p) lim e (q) lim 0 (+). v/06

4 Eercícios para as aulas PL Continuidade e prolongamento por continuidade. Teoremas de Bolzano e de Weierstrass. FichaPL. Considere a função real de variável real definida por sen( ),< 4 f()=,> 4. (a) Determine o domínio def. (b) Estudef quanto à continuidade em todos os pontos do seu domínio. (c) Determine, se possível, o prolongamento por continuidade da função f a R.. Considere a função real definida por πln(+),>0 f()= a, 0, a R. (a) Determine o valor deade forma a quef seja contínua em=0. (b) Mostre quef tem pelo menos um zero no intervalo[,]. 3. Considere a função real definida por,> f()= +,. (a) Estudef quanto à continuidade em todos os pontos do seu domínio. (b) Prove que a restrição de f ao intervalo [0,] tem nesse intervalo um máimo e um mínimo. Calcule-os. 4. Considere a função real definida por f() = e sen()+ 3. Prove que esta função tem máimo e mínimo no intervalo[ π,π]. v/06

5 Eercícios para as aulas PL FichaPL3 Funções trigonométricas inversas.. Considere a função real de variável real definida por f()= π 3 +3arcsen 3. (a) Caracterize a função inversa def. (b) Resolva a equaçãof()= 4π 3.. Considerando a restrição principal da tangente, caracterize a função inversa da função definida por π f()=3 tg 3. v/06

6 Eercícios para as aulas PL FichaPL4 Definição de derivada. Diferenciabilidade e regras de derivação.. Considereafunçãodefinidaporf()=. (a) Determine o domínio e represente graficamente a função. (b) Calculef (),utilizandoadefiniçãodederivada. (c) Determineasequaçõesdarectatangenteedarectanormalaográficodef noponto deabcissa= erepresente-asnográficorealizadoema).. Considere a função f definida por f() = +6. Determine as equações da recta tangenteedarectanormalaográficodef nopontodeabcissa5. 3. Considere a função real de variável real definida por +, se>0 f()= cos()+e, se 0. (a) Estudeafunçãoquantoàcontinuidadeem=0. (b) Afunçãof édiferenciávelem=0? Justifique. (c) Calculef (). 4. Sejaf afunçãodefinidapor +, se f()= a ++b, se>, coma,b R. (a) Determineosvaloresdeaebdemodoaquefsejadiferenciávelemtodooseudomínio. (b) Considerandoosvaloresdeaebobtidosnaalíneaanterior,calculef (). 5. Seja f uma função diferenciável num intervalo aberto que contém 4, tal que f(4) = 3 e f (4)= 5. Sendog()= f(),calculeg (4). v/06 FimdaFicha

7 Eercícios para as aulas PL FichaPL5 Regras de derivação. Diferencial e aproimações.. Calcule, justificando, as derivadas das seguintes funções recorrendo às regras de derivação: (a) f()=ln(e +) (b) f()=sen cos() (c) f()= 3 (+) (d) f()=arctg(e ) (e) f()=arcsen(ln).. Utilize o diferencial para fazer uma estimativa da variação emf()=3 3 se: (a) varia de7 para7.0 (b) varia de8para Considere a funçãof definida porf()= 3 +. (a) Determine a aproimação linear da função f em torno de 0 e utilize-a para calcular uma aproimação do número (b) Ilustre o resultado anterior esboçando o gráfico def e o da recta tangente. v/06

8 Eercícios para as aulas PL FichaPL6 Teorema de Rolle e teorema de Lagrange. Regra de Cauchy e indeterminações.. Considereafunçãof definidaporf()=sen()e. Mostrequeeistepelomenosumvalor c no intervalo[0,π], em que a recta tangente ao gráfico da funçãof é horizontal.. A altura de um objectotsegundos após ter sido largado de uma altura de500 m é f(t)= 4.9t (a) Calcule a velocidade média do objecto durante os primeiros 3 segundos. (b) Use o teorema de Lagrange para mostrar que, em algum instante durante os primeiros 3 segundos de queda, a velocidade instantânea se iguala à velocidade média. Determine esse instante. 3. A velocidade instantânea de umautomóvel às 4:00 h é30 km/h e às 4:0 héde50 km/h. Prove que eiste um instante desse intervalo de tempo em que a aceleração é igual a 0 km/h. 4. Calcule os seguintes limites: (a) lim + (e ) (b) lim +[ln()ln( )] (c) lim ln (d) lim (+) + (e) lim ln v0/06

9 Eercícios para as aulas PL Polinómio e fórmula de Taylor e de Mac-Laurin. Resto de Lagrange. Etremos e estudo de funções. Optimização. FichaPL7. Considere a funçãof definida porf()=ln(). (a) Obtenha os polinómios de Taylor de ordense4da funçãof, centrados emc=. (b) Use o polinómio de Taylor de ordempara determinar uma aproimação deln(.).. Considere a função real de variável real definida por: f()= /3. (a) Escreva a fórmula de Taylor da funçãof em potências de( ) com resto de Lagrange de ordem. (b) Mostre que 3 <+ ( ), ],+ [ Considere a funçãof definida porf()= 3. (a) Determine os pontos críticos def no intervalo[,]. (b) Determine os etremos relativos e absolutos def no intervalo[,]. 4. (TPC) Considere a função real de variável realf definida por f()= ln() 3. (a) Determine o domínio def e os seus zeros. (b) Estude f quanto à continuidade no seu domínio. (c) Determine os etremos relativos de f e os intervalos de monotonia. (d) Determine os pontos de infleão do gráfico def e o sentido das concavidades. (e) Determine as assímptotas de f. 5. (TPC) Um editor decidiu que as páginas de um livro a editar deveriam ter margens de cm em cima e em baio e decm de cada lado, e que a área da página seria de00cm. Determine as dimensões da página para que a área impressa seja a maior possível. v/06

10 Eercícios para as aulas PL FichaPL8 Primitivas.. Determine as seguintes primitivas: (a) P 3 3 (b) P[(+3)] + (c) P (d) P + (e) P 5 (f) P 3 e 4 (g) Pcos(5) sin( ) (h) P 5 (i) P + 6 (j) P + 6 ln () (k) P ln() (l) P (m) P sin(3)cos 3 (3) cos (n) P +sin e (o) P e (p) P cos 4. v/06

11 Eercícios para as aulas PL Primitivação por partes, por substituição e primitivação de funções racionais. FichaPL9. Determine as seguintes primitivas: (a) P(ln( )) (b) P((3+)cos()) (c) P(cos(ln())).. Determine as seguintes primitivas: (a) P + (b) P (c) P e. 3. Determine as seguintes primitivas: 4 (a) P ( ) 8 (b) P. ( +) 4. Calcule as seguintes primitivas: (a) P cos e +e (b) P e +4e (c) P sin (d) P 3 e (e) P +3 6 (f) P((+3)ln(+)) (g) P (e +) (h) P +3 (+)( +). v/06

12 Eercícios para as aulas PL Cálculo Integral em R. Teorema da Média. Fórmula de Barrow. Integral indefinido.. Considere a função definida por, se0 f()=, se< 3. (a) Esboce a região cuja área é dada pelo integral 3 (b) Determine o valor médio da funçãof no intervalo[0,3]. 0 f()d e calcule o seu valor. (c) Mostre que não eistec [0,3] tal quef(c) seja igual ao valor médio obtido na alínea anterior. Confirme graficamente a partir do gráfico da alínea a). (d) Eplique porque razão a alínea anterior não contradiz o Teorema da Média.. Calcule os seguintes integrais: (a) + + d (b) 3 d. 3. Considere a funçãog, definida emrpor g()= 3 +. (a) Determine a epressão deg()= g(t)dt. (b) Determine o valor médio da funçãog no intervalo[,3]. v/06

13 Eercícios para as aulas PL Teorema Fundamental do Cálculo Integral. Integração por partes e por substituição. FichaPL. Considere a funçãoh definida emr por H()= (a) Calcule, justificando, a funçãoh. (b) Estude a monotonia da funçãoh. 3 0 e t dt.. Calcule os seguintes integrais: (a) π send (b) (c) (d) 0 6 lnd d 4 d. v/06

14 Eercícios para as aulas PL Cálculo de áreas, volumes e comprimentos de linha. FichaPL. Determine a área da região do plano, limitada pelas linhasy = ey+=.. Calcule a área da região do plano limitada pelas linhasy=e,y= +e+,=0ey=0. 3. Considere a região do plano limitada pelas linhas: y= +,y= e=0. Calcule o volume do sólido obtido pela revolução da região definida anteriormente em torno de: (a) eio dos (b) eio dosyy. 4. Calcule o comprimento da curvay=3+ 3 entre os pontos de abcissas= e=8. v/06